矩形截面悬臂梁自由端受力三种力学方法解的对比*

郑恒伟　袁玉兴　田祖安　丁剑平　杜鹏飞　世嵬

摘要：材料力学在研究构件的应力和变形时通常引入一些相应假设，而弹性力学研究相应问题时一般不必引用那些假设，因而得出的结果更为精确。本文主要对悬臂梁自由端受力的材料力学解采用弹性力学方法检验其精确性，并对具体算例通过有限元数值解进一步验证。

关键词：悬臂梁，材料力学解，弹性力学解，有限元数值解

1、矩形截面悬臂梁自由端受力材料力学解和弹性力学解

矩形截面悬臂梁在自由端受有集中荷载F，体力不计，尺寸如图所示。其弯曲应力σx挤压应力σy和切应力xy的材料力學表达式分别为[1]

（1）

下面采用弹性力学的方法检验上述解是否为本问题的精确解，即看上式是否满足弹性力学应力解法中的平衡微分方程、相容方程和应力边界条件[2]。将式（1）代入应力平衡微分方程

2、矩形截面悬臂梁自由端受力材料力学解和有限元数值解

本文采用具体算例比较矩形截面悬臂梁自由端受力最大弯曲应力值的材料力学解和Ansys有限元软件数值解。如图1所示，这里取梁长l=100mm，截面为正方形且h=10mm，F=100N，下面给出Ansys计算出的梁弯曲正应力云图，如图2所示。

3、结论

本文主要对矩形截面悬臂梁自由端受集中载荷作用时应力的材料力学解、弹性力学解和有限元数值解进行验证和对比，得到材料力学的解亦满足弹力力学应力解法正确解的条件，亦与有限元数值计算结果相等，这说明此构件应力的材料力学解是其精确解。

参考文献：

[1] 苟文选， 材料力学教与学. 北京：高等教育出版社， 2013， p152-153.

[2] 徐芝纶， 弹性力学简明教程. 北京：高等教育出版社， 2013.endprint