由一道数列极限题的求解引发对海涅定理的思考

刘功伟　岳红云

【摘要】 首先分析一道数列极限的两种解法，并指出其中一种是错误的，进而指出联系函数极限与数列极限的重要纽带—海涅定理。最后通过实例介绍海涅定理在极限的判断及求解中应用。

【关键词】海涅定理 数列极限 函数极限

【中图分类号】 O171

一、引例

上述两种方法中都用到了 的最小正周期为 。初学者可能认为此两种方法都没有是没问题，从而得到两个相互矛盾的结论，但是方法二中最后一步判定极限不存在是错误的，因为误用了函数极限与数列极限的关系—海涅定理。

二、海涅定理及推论

数列极限和函数极限是分别独立定义的，但是两者又是紧密联系的，其联系的纽带就是海涅定理，也称归结原则。

定理 （ 海涅定理） 设 在 内有定义。 存在的充分必要条件为：对于任何含于 且以 为极限的数列 ，极限 都存在且相等。

注：该定理对于 等情形都成立。

推论1 若存在某个数列 ，而数列 不存在极限，则函数 在 处也不存在极限。

推论2 若存在两个数列 ，且 与 ，分别有 则函数 在 也不存在极限。

推论3 函数 在 内无界等价于存在数列 ， 使得 。

如果函数在某一点的极限存在，那么由海涅定理对于收敛于这一点的任何子序列所对应的函数序列必收敛到同一极限，但是一旦函数在某一点的极限不存在，收敛于这一点的子序列对应的函数序列就有可能出现各种性态，甚至也可能是收敛的。比如极限 不存在，但是子函数列 。引例中的方法二就是典型的一个错误，是没有理论根据的，最后一步作为函数列而言其极限可能是存在的。

三、海涅定理的应用举例

3.1 利用函数性质及海涅定理求数列极限

对于求数列的极限，有时直接求不好求，此时可先求与之对应的函数的极限，比如常见的三角函数的数列极限、带积分的数列极限等。

例1 求极限

解 由洛必达法则得 所以由海涅定理知原式=1。

3.2 证明函数极限不存在

推论1、推论2为我们证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法。

例 2 证明极限 不存在。

解 取 ，符合推论2的条件，故此极限不存在。

3.3 判断函数在某点的可导性

利用海涅定理，可求出函数差、商的极限，从而判断函数在某点的可导性。

例 3 证明函数 在原点可导，而在其他

點不可导。

证明 因为 ，即 在原点处可导且 当 时，设有理序列 无理序列 于是当 为非零有理数时

而 ， 由海涅定理可知， 在非零有理点 不可导；同理可证 在无理点 处也不可导， 因而命题得证。

3.4 利用海涅定理对函数极限的运算法则、判断定理等相关性质的证明

若已知数列极限的运算法则、判断定理等相关性质，则可利用海涅定理将函数转化为数列来证明。我们仅举一例，其它可以类似证明。

例 4 若极限 的存在，则此极限唯一。

证明 设 都是 的极限，作数列 且 ，由海涅定理知 ，由数列极限的唯一性知

四 结束语

以上是对海涅定理及应用的一些总结，它给我们提供了在求解数列极限和函数极限问题中一种转换的思想，并指出运用海涅定理时需注意的问题。海涅定理适用范围远不止于此，比如在判断级数的敛散性中的作用等 ， 海涅定理在实变函数和泛函分析中的作用 。海涅定理还有许多作用需要我们在工作和学习中挖掘和整理，实现对定理的全面、深刻的理解，以期在求解问题时达到事半功倍的效果。

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