中学数学习题课优化的实证研究

卢献庆

摘 要：高中数学的练习题不但可以检查学生对知识的掌握程度，也可以培养学生的探究与实验的能力、综合运用能力、获取信息的能力和理解能力，从而使学生进一步具备自主学习的条件。因此，高中数学的习题课教学可以提升学生的思维品质。实践证明，各种能力的根源是思维能力，要具备高程度的思维能力就需要具备优良的思维品质。思维品质指的是个体思维活动特殊性的外部表现，包括思维的灵活性、广阔性、深刻性、敏捷性等。

关键词：中学数学；习题课；优化；实证研究

中图分类号：G633.6

引言：习题课是课堂教学中的常规课型之一，也是重要的课型，然而在实际教学过程中，这种课型的重要性往往容易被忽视，经常表现为：备课过程中很少涉及到教学设计，上课时把所留的习题从头到尾讲一遍，如果能做到讲课中重点明确、归类清晰的已属不易。笔者在十多年的高中数学教学实践与研究中，总结了优化习题课教学，并不断提升习题课重要性，打造数学高效课堂的一些做法，取得了良好的教学效果。

一、从学生的自学学案上进行优化

习题课是学生学习新知之后的一种“补课”教学，它的目的是鞏固所学、查漏补缺、发展思维。这类课程，学生具有相应的知识基础和相应的解题方法。因此，在“函数的概念与表示法”习题课设计时，安排了以下自学学案。

例1：已知函数

（1）当 时，值域为_____；当 时，值域为_____。

（2）当值域为 时，定义域可以是_____。

这样的设计，能让学生根据已有的知识水平，解决基础的数学问题。在这个过程中，教师通过巡视了解学生的掌握情况，同时回顾知识点，为下面的内容开展做好铺垫。在这个环节，教师应对学生的学习情况有一个深入的了解，所选习题要有针对性，要针对教学目标，针对知识点，针对学生的学习现状方面进行训练。

二、从典型例题剖析上进行优化

习题课的课堂特征是体现学生的学习活动是在进行“解决问题学习”，也就是把已经掌握的基本概念，基本的公式、法则、定理，迁移到不同情境下加以应用，找出解决当前问题的方法，并加以比较、择优。在“函数与方程解法”的习题课例题设计时，主要围绕“概念和解法”两个方面进行例题示范教学。

例1：函数 的单调递增区间是_____。

A.（-∞， ] B. [ ，+∞）

C. （- ， ] D. [ ，3）

例1目的是通过应用，让学生在审题中体会概念的内涵与外延，从而更好地理解和应用概念。在典型例题剖析设计这个环节，教师的课前反思是关键所在。教师应从“新知的教学过程、学生的作业情况”等方面进行反思；所选的例题要有典型性，切勿贪多、贪全，要从学生的实际与教学内容的特点出发，要关注知识点的覆盖面，还要让学生能通过训练掌握规律，达到举一反三、触类旁通的目的。

三、从变式训练上进行优化

变式练习即在不改变知识的本质特征的前提下，变换其非本质的特征，让学生在不同的情境的应用中突出对本质特征的理解。变式训练是高中数学教学中的一种重要教学策略，恰当、适量的变式练习不但能巩固新知和技能，防止思维定势，还对培养学生思维的深刻性、灵活性、批判性、创造性具有十分重要的作用。下面是习题课变式训练环节的设计。

例1：实数x、y满足4x2-5xy+4y2=5 ，设S=x2+y2，求1/Smax + 1/Smin 的值。

变式：已知实数x、y满足x2+y2-xy=2，求xy的取值范围。

此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S=x2+y2与三角公式cos2α+sin2α=1的联系而联想和发现用三角换元，将两个变量统一为一个变量。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S=x2+y2而按照均值换元的思路，设x2=S +t、 y2=S -t，转化为二次函数与方程问题。例题之后再给出变式练习，可以训练学生解题的应变能力，开阔思路，培养思维的灵活性。

四、引导学生力争“一题多解”，提高思维的灵活性

学生在学习或解答问题时经常会因为思维定势的原因，解题模式化，缺少灵活性。这就应要求并训练学生在练习中要努力做到“一题多解”。“一题多解”可以拓宽学生的思路，使学生从不同方向、不同角度、不同思路，运用不同的解题方法进行研究和分析，在得出多种不同的解法之后，学生进行综合分析、评价，并从中选择出最佳的解答方案，而且能够将总结出来的规律纳入到自己的认知结构之中并迁移到新问题的解决之中。

例1：已知a>0，b>0，1a +2b =1，求ab的最小值。

解法一：利用不等关系

∵a>0，b>0，1=1a +2b ≥2 ，

∴ab≥8（当且仅当1a =2b = ，即a=2，b=4时取“=”号），

∴ab的最小值是8。

解法二：平方法

∵a>0，b>0，1a +2b =1，

∴1=（1a +2b ）?= + + ≥2 + = （当且仅当1a =2b = ，即a=2，b=4时取“=”号）。

∴ab的最小值是8。

解法三：利用三角恒等关系换元

∵a>0，b>0，1a +2b =1，可令 ， 。

∴ ， ，

∴ （当且仅当1a =2b = ，即a=2，b=4时取“=”号）。

∴ab的最小值是8。

解法四：均值换元

∵a>0，b>0，1a +2b =1， 可令1a = +t，2b = -t，其中-

∴ab= ，﹙∵1-4t? （0，1]，当1-4t?=1，即t=0，a=2，b=4时，取“=”号）

解法五：导数求最值

∵a>0，b>0，1a +2b =1，∴b= >0，a>1，∴ab= 。

令 = （a>1）， ∴ = 。令 =0，解得a=2>1

当a （1，2）时， <0，此时 是减函数，

当a （2，+∞）时， >0，此时 是增函数。

∴当a>1时， = = =8（此时a=2，b=4）。

这种多知识点的解法，让学生真正体会到了数学的魅力，更深刻的理解了“条条大路通罗马”的寓意，对培养学生的发散思维能力起到了积极的作用。在实际教学过程中，教师要把握好选题、审题、质疑问难、适时总结等环节。

结语：习题课教学是灵活性很大、发挥余地很充足的教学活动，老师不能从头到尾就题论题，死板说教；而应当眼中有学生，不能眼中只有题目，认为只要将题全部讲解完就大功告成了，而应当以学生的实际为出发点，考虑习题课的教学高效性，运用科学的方法组织习题课教学，使学生不仅能巩固知识，提高思维能力，还能培养学生的学习兴趣，培养他们独立思考及解决问题的能力。也愿通过我们教师不断的努力，让习题课的高效性得以最大限度地发挥。

参考文献：

[1]刘莉.如何上好高中数学习题课[J].中国数学教育：高中版，2011（12）.

[2]戴素琴.高中数学习题课教学的课堂研究[D].上海师范大学，2012（02）.