基于图像处理的多小波变化理论及其应用
2017-09-25茹庆云郭献洲
茹庆云+郭献洲
摘 要： 為了使图像处理更好地服务于信息的传递和表达，在此引入多小波变换理论。通过对多小波变换的原理进行分析，在结合离散多小波变换实现方法的基础上，对图像处理中多小波变换的应用展开了深入研究。研究表明，与单小波相比，多小波变换在图像压缩以及图像去噪等方面均具有更加显著的效果。
关键词： 图像处理； 多小波变换； 图像去噪； 图像压缩
中图分类号： TN911?34； TP391.9 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2017）18?0095?03
Multi?wavelet transform theory based on image processing and its application
RU Qingyun1， GUO Xianzhou2
（1. Henan Institute of Technology， Xinxiang 453003， China； 2. Hebei University of Technology， Tianjin 300401， China）
Abstract： In order to make image processing serve the information transmission and expression better， the multi?wavelet transform theory is introduced. On the basis of analyzing the multi?wavelet transform theory and combining discrete multi?wavelet transform implementation method， the application of multi?wavelet transform in image processing is studied deeply. The research results show that， in comparison with single?wavelet transform， the multi?wavelet transform has better effect in the aspects of image compression and image denoising.
Keywords： image processing； multi?wavelet transform； image denoising； image compression
0 引 言
小波变换是当前应用数学以及工程科学中一个迅速发展的全新领域，是傅里叶变换发展的一个新阶段。而作为20世纪80年代末产生并得以发展的典型时频分析工具之一，小波变换被广泛应用在图像处理领域，并促进着图像处理技术的整体发展[1]。例如，同离散余弦变换（DCT）相比，小波零树编码方案的应用在有效克服方块效应的同时，也帮助人们实现了低比特率下获得高质量图像的主观。除了获得高质量的图像主观外，小波变换的相关算法可以获取更加光滑的图像。
在对信号进行处理的过程中，人们也开始将传统的滤波器组进行了改进，并将其进一步推广到图像的矢值滤波器组以及子块的滤波器组。在此基础上，在信号处理领域中形成了基于矢值滤波器组的相关理论体系，进而研究了此理论体系与多小波变换之间的关系[2]。由于在矢值滤波器组所处理的信号实质上是矢值信号，因此，在对其进行处理过程中，需要保持信号矢量自身具有较强的相关性。基于此，矢值信号更适合与信号的矢量量化。作为矢值滤波组的典型应用，矢值变换已经被人们证实为最有效的图像压缩处理方法。因此，无论是国内还是国外相关方面的研究学者均认为在图像处理方面，矢值滤波器以及多小波变换均具有较高的应用价值。随着多小波变换理论以及矢值滤波器理论体系的不断发展，其在信号处理特别是图像处理方面所表现出来的优势逐渐被人们所熟知和重视[3]。此外，Lee等人提出了如下观点，即将单小波中由单个尺度函数所生成的多分辨分析空间扩展为由多个尺度函数生成的多分辨分析空间，进而使小波获得更大的自由度，此观点即多小波思想[4]。多小波在图像处理中的应用既保持了单小波的特征，又化解了单小波对称与正交之间的矛盾，大幅提高了图像处理效率。
本文通过对多小波变换的理论以及多小波变换的过程进行分析，进而在得出多小波变换公式[C（j）n=kHTn+2kCj-1k+kGTn+2kDj-1k]的基础上，从预滤波与基于边界处理的信号拓展两方面说明了离散多小波变换的实现方法。并以此为基础，对多小波变换在图像压缩以及图像去噪等方面的应用做出了系统分析。
1 多小波变换理论
对单小波与多小波进行分析可知，二者的主要差异为，多小波主要是由若干个小波的母函数经过一系列的平移和伸缩而生成的，故多小波具有多个尺度函数，而单小波则主要由某一小波母函数经相关变化生成，故单小波只有一个尺度函数。对多小波的变换过程做出如下分析：在多分辨分析当中，令V-1[?]V0[?]V1[?]…[?]Vj，且有[j=-∞∞Vj=L2R]和[j=-∞∞Vj={0}]。由于多小波具有若干个尺度函数，故设V0是由r个尺度经平移变换[φ0（t-k）]，[φ1（t-k），…，φr-1（t-k）]生成的。令V0=W0，并与[φ0（t），φ1（t），…，φr-1（t）]相对应的r个小波函数[ψ0（t）]，[ψ1（t）]，…，[ψr-1（t）]共同组成子空间W0的基[5]。记[?（t）]=[[φ0（t）]，[φ1（t）]，…，[φr-1（t）]]T，[Ψ（t）]=[[ψ0（t）]，[ψ1（t）]，…，[ψr-1（t）]]T，[?（t）]与[Ψ（t）]满足：[?（t）]=[2k=0N-1Hk?（2t-1）]；[Ψ（t）]=[2k=0N-1GkΨ（2t-1）]。其中，Hk与Gk均为尺度函数个数r×r的常数矩阵。从处理的角度进行分析，[H（ω）]=[kHk]e-jωk，[G（ω）]=[kGk]e-jωk均是与尺度函数以及小波函数相对应的矢量滤波器。当[?（t）]满足<[φt（?-k）]，[φj（?-l）]>≥[δi，j][δk]时，值得注意的是
[ft=k∈zC（0）k?（t-k） =k∈zCj0-kT?2j02?（2j0t-k）+j0≤j≤0k∈zDjkT?2j2Ψ（2jt-k）]
进而将[Cj-1n]与[Dj-1k]进行合成得到多小波变换的最后形式，即[C（j）n=kHTn+2kCj-1k+kGTn+2kDj-1k]。
2 离散多小波变换的实现
2.1 预滤波
对于离散的单小波而言，可直接利用Matlab的快速分解算法进行离散小波变换。就现阶段而言，预滤波器的主要设计方法包括了以下几种：高/低通预滤波器结合法；逼近法[6]；自适应法[7]。
通过对各个分辨率进行分析，进而选取各个具有显著差异分辨率下的小波分量，在以其能量的最小化作为基本目标的基础上，对预滤波器进行优化设计。与上述两种方案相比，该方法具有最好的性能，但其不足在于计算量较为庞大。
2.2 基于边界处理的信号对称拓展
在实际应用中任一小波所发出的信号长度均是有限的，故有必要对边界进行相应的拓展。就现阶段而言，多小波分析的边界拓展主要有以下两种方法：
（1） 周期拓展。缺点在于，不能在边界上产生良好的连续性，从而产生边界效应；
（2） 对称拓展。由于与单小波相比，多小波具有较多的滤波系数，而滤波系数的增多又使得以对称拓展为主的边界拓展方法更加灵活。
2.3 离散多小波变换的实现
总体来说，离散多小波变换的实现主要分为三个步骤：
（1） 预处理。对所接收的信号进行预处理，进而得到具体的初始矢量信号。
（2） 边界拓展。根据初始矢量信号的特点，对分析所用的多小波以及边界拓展（周期拓展和对称拓展）方法做出正确的选择。
（3） 系统选择。对多小波系统进行正确选择，以便提高其对信号的处理效率。较为常用的多小波系统主要包括了CHM多小波系统、CL多小波系统等正交型多小波系统以及BIGHM和BIHERMITE双正交多小波系统。
（4）多小波分解。利用[C（j）n=kHTn+2kCj-1k+][kGTn+2kDj-1k]对所得的正交或双正交多小波进行分解和变换处理，并对相应的小波变换域[Ψt（?-k）]，[Ψt（?-l）]和<[φt（?-k）]，[φj（?-l）]>进行适当处理，并对所得到的结果进行后处理操作进而得到最终信号[8]。
3 图像处理中多小波变换的应用
在图像处理中，多小波与单小波具有如下几方面的差异：
（1） 多小波变换在对传入的图像数据进行分解前，需先对数据进行预处理，而在图像被恢复后还要对其进行后处理操作，而单小波则可直接用来对图像处理进行分析；
（2） 由于在多小波中通常存在多个尺度以及若干个小波，故对多小波进行分解则可得到数量较多的子块。以L级多小波变换为例，现有的研究表明，处于L级的多小波变换可将图像分解成子块的个数[9]为r2（3L+1）。
下文则主要选取图像压缩编码以及图像去噪，当前应用最广的两种多小波变换应用分析了图像处理中多小波变换理论的应用。
3.1 多小波的图像压缩
利用多小波对图像进行编码的基本思想就是将图片进行多分辨率的分解，通过将图像分辨率分解成具有不同空间以及不同频率的子图像，进而根据各个子图像的特点再分别对其进行编码。作为小波变换应用于图像处理中图像压缩工作的关键内容也是核心内容，系数编码不仅关系着图像压缩的效率和质量，而且对于处理后图像的整体质量也具有重要影响，对小波变换压缩图像的实质进行分析可知，实际上是对小波系数的量化压缩。利用塔式分解法可将经多小波变换后的图像分解为4个频带，分别为垂直频带、水平频带以及对角线频带和低频频带。
其主要表现在：
（1） 图像的水平、垂直以及对角线部分可以对原图像水平、垂直以及对角线部分的边缘信息进行较好的表征，变换后图像具有较为鲜明的方向性；
（2） 变换后，图像的能量大都集中于低频部分，而对于分布在水平、垂直以及图像对角线方面的能量较少。对变换后能量高度集中的低频部分而言，其可被称为亮度图像，而与之对应的能量分布较少的水平、垂直以及对角线部分则可称为细节图像。对经过多小波变换后得到的水平、垂直以及对角线和低频部分的四个子图像以人的视觉特点和心理特点为依据，对各个子图像进行量化与编码处理。就现阶段而言，对图像处理中图像压缩编码具有较高效率的单小波编码为小波零树编码，但其效果同DPCM以及DCT等编码相比，对所需处理图像的压缩效果仍存在较大差距。
由于基于多小波变换的图像处理过程中所涉及到的子图像较多，因此，在具体的图像处理过程中需要对不同的子图像分别进行相应的量化处理。对单小波的零树编码和图像的量化处理进行分析可知，若只是单纯地将单小波的零树编码移植到多小波当中，而并未考虑多小波自身的特点以及多小波对零樹编码的适应情况，则所得到的图像量化处理结果将不如单一的零树编码的单小波图像处理效果明显。因此，为了使多小波变换中不同子带中的r2个子块的相关性得以更好的利用，进而提高图像的处理效果，而对于类似于Lena图像处理方法所处理的一类平滑图像，也可以逼近9?7单小波对图像的压缩处理效果。此外，对于具有较多纹理成分的图像如Barbara图像而言，同单小波的压缩处理相比，仍然是多小波的对图像的压缩效果更佳。
3.2 基于单/多变量门限法的图像去噪
作为多小波变换应用于图像处理中的另一典型领域，基于单变量门限法的图像去噪使得图像经处理后其光滑度得以进一步提升，提高了图像的质量和效果。在多小波变换用于图像去噪方面，Strela等人通过将单小波变换中“软阈值门限”的图像去噪方法直接转移到基于多小波变换的图像去噪当中，进而对高斯随机噪声在多小波变换过程中的性质进行了进一步讨论和研究。相关实验结果为：endprint
（1） 以PSNR（dB）对图像去噪效果进行衡量可知，利用多小波变换对图像去噪的效果要好于单小波变换的图像去噪效果；
（2） 在进行图像去噪处理后，多小波变换去噪处理后的图像质量也要好于单小波变换去噪处理得到的图像质量。Slverman等人在对Strela等人的上述方法进行的分析和研究后，将上述方法归结为单变量门限法，并在结合多小波对图像进行处理是对图像的矢量信号进行处理实质的基础上，提出了基于多变量门限去噪法，通过一系列相关实验验证了多变量门限法对图像的去噪效果要显著优于单变量门限法的图像去噪效果。随着多小波方法的不断完善以及多小波构造方法的不断发展，以多小波变换为基础的图像去噪方法将会拥有更加广阔的发展和应用前景。
4 结 论
本文对小波变换的概念以及单小波变换对信号处理的弊端进行阐述，通过引入多小波变换的相关理论以及多小波变换的具体过程，进而对预滤波以及基于边界处理的信号对称拓展等方面做出了系统分析。又从多小波的图像压缩以及基于单变量门限法的图像去噪等方面对图像处理中多小波变换的应用展开了深入研究。
通过研究可知，同单小波变换相比，多小波变换在图像处理中的应用对于提高图像质量具有更加显著的效果。可见，未来加强对多小波构造方法以及多小波变换在图像处理领域中的研究和应用力度对于提高图像处理效果和图像整体质量具有重要的历史作用和现实意义。
参考文献
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