总结规律配方归类

颜廷亮

总结规律配方归类

颜廷亮

词典中对规律一词的解释是：自然界和社会诸现象之间必然、本质、稳定和反复出现的关系.在数学解题方面，往往也会有必然、本质、稳定和反复出现的题型和方法，我们掌握了这样的规律，便能对一类题“一通百通”.

例如学完“用配方法解一元二次方程”之后，同学们知道了“配方法”在解方程方面的作用，其实它的作用可不止这一个，我们可以按照“配方法”这一方法，对题型进行归类.

例1用配方法解方程x2+6x+2=0.

变式1将代数式x2+6x+2化成（x+p）2+q的形式为_______.

解：x2+6x+2

=（x2+6x+9）-7

=（x+3）2-7.

变式2若x2+2xy+2y2-4y+4=0，求x与y的值.

解：由题意知：

x2+2xy+y2+y2-4y+4=0，

∴（x+y）2+（y-2）2=0，

∵（x+y）2≥0，（y-2）2≥0，

∴x+y=0，y-2=0，

求得x=-2，y=2.

【点评】上述例题都是直接运用配方法来解决问题，跟同学们分享如下经验：

1.如果ax2+bx+c是常见的完全平方式，对其系数要熟悉，例如a、b、c的取值分别为1，2，1或1，4，4，或1，6，9，或9，6，1等.

2.对x2+bx型代数式进行添加常数项配方时，常数项等于；若二次项系数不为1，则先提取二次项系数，再利用上述规律配方.

例2求m2+m+4的最小值.

变式1若x为任意实数，求-2x2+4x+7的最大值.

解：原式=-2（x2-2x）+7

=-2（x-1）2+9.

当x=1时，原式最大值为9.

变式2某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成.如图，设AB=xm，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

解：由题意得花园面积为

x（20-2x）=-2x2+20x

=-2（x-5）2+50，

∵-2（x-5）2+50≤50，

∴原式≤50，当x=5时，原式有最大值50.

答：x取5m时，花园面积最大为50.

A.M＜NB.M=N

C.M＞ND.不能确定

解：∵N-M=a2-a+1

=（a-）2+，

而（a-）2≥0，则N-M＞0，

∴M＜N，选择A.

变式4求证：x，y取任何实数时，多项式x2+y2-4x-6y+15的值总为正数.

解：原式=（x2-4x+4）+（y2-6y+9）+2

=（x-2）2+（y-3）2+2＞0，

即原式的值总是正数.

变式5求证：无论m取何值，x2+（m-5）x +m-8=0一定有两个不同的实根.

解：Δ=（m-5）2-4（m-8）

=m2-14m+57

=（m-7）2+8，

∵（m-7）2≥0，

∴Δ＞0，原方程一定有两个不同的实根.

变式6阅读材料：已知x，y为非负实数，

∴x+y≥2，当且仅当“x=y”时，等号成立.

解决问题：当x＞0时，求y=x++4的最小值.

解：y=x+，所以最小为6.

【点评】上述例题都是应用配方法来解决相关问题，题目种类虽多，但是万变不离其宗，跟同学们分享以下几点：

1.配方法的应用，都涉及二次三项式ax2+ bx+c的最值求解，如求最大值或者最小值.判断ax2+bx+c的符号、比较代数式的大小、应用题求最佳方案等.

2.a＞0时，ax2+bx+c取得最小值，a＜0时，ax2+bx+c取得最大值，同学们可以结合配方法，用a、b、c表示出这个最值，这对以后学习其他知识很有帮助.

（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校）