K-拟加测度空间上Borel-Cantelli引理的局部推广

李 艳 红

(辽东学院师范学院数学系，辽宁 丹东 118000)

K-拟加测度空间上Borel-Cantelli引理的局部推广

李 艳 红

(辽东学院师范学院数学系，辽宁 丹东 118000)

基于K-拟加运算证明了集函数关于一般集合列满足次可数可加性，进而给出了K-拟加级数收敛的一个必要条件.其次，在K-拟加测度空间上获得了概率论中Borel-Cantelli引理的第一个结论，并通过构造子集合列方法对Borel-Cantelli引理进行了局部推广.

诱导算子；拟加法；K-拟可加测度；K-拟加级数；Borel-Cantelli引理

0 引言

众所周知，概率与测度之间主要区别在于概率引入了条件概率和事件的独立性概念，并且概率是特殊的测度.Borel-Cantelli引理是概率论中一个重要结论，它阐述的主要思想是：若无穷多个事件的概率和为有限值，则这无穷多个事件同时发生的概率为零.近年来该结论在证明概率论中的一些重要结论时起到举足轻重的作用，众多学者对该引理自身条件的推广及应用进行了大量研究.[1-4]然而，由于Borel-Cantelli引理本身要求的条件比较苛刻，致使其应用范围还主要集中在概率论中.在国内，虽然早期就有文献[5]将Borel-Cantelli引理模糊化并给出类似结论及证明，但至今在超出概率空间以外的某些测度空间上的应用及推广研究十分少见.

1989年，日本学者Sugeno等[6]通过引入拟加算子首次提出拟加测度概念，并建立了拟加积分理论框架.1993年，文献[7]在拟加测度空间上定义并研究了Kt积分和tK积分，获得了一些类似于传统Lebesgue积分的结果.1998年，文献[8]通过统一两类算子建立了K-拟加测度空间和K-拟加积分模型.文献[9]讨论了K-拟加积分的收敛性及其自连续等问题.近些年来，李艳红[10-11]在上述工作基础上进一步讨论了K-拟加模糊积分和广义Sugeno模糊积分的若干扩展性质及收敛性.这些结果对传统积分或模糊积分理论来说是一种有效推广.

本文在K-拟可加测度空间上通过诱导算子和拟加运算的性质给出了K-拟加级数收敛的必要条件，并推广了Borel-Cantelli引理中的第一个结果.

1 K-拟可加测度空间

给定经典集合X，设R+是非负实数集，R表示X上若干子集构成的σ-代数.

定义1.1 设K：R+→R+为严格递增的凸函数，且在(0，+∞)上可导，并满足K(0)=0，K(1)=1，则称K为R+上一个诱导算子.

显然，K(x)=x2，K(x)=2x-1均为诱导算子，且K和K-1在[0，+∞)上都连续.

定义1.2 设K是给定的诱导算子.∀a，b∈R+，由K诱导a与b的拟加运算⨁定义为a⨁b=K-1(K(a)+K(b))，称此运算⨁为K-拟加运算或K-拟加算子.

按上述定义，∀a，b，c∈[0，+∞)，易得以下运算性质：

(1) (a⨁b)⨁c=a⨁(b⨁c)；

(2)a⨁b=b⨁a，a⨁0=a；

(3) 若a≤b，c≤d，则a⨁c≤b⨁d；

(4)K(a⨁b)=K(a)+K(b)；

(5)K-1(a+b)=K-1(a)⨁K-1(b).

命题1.1 设K是诱导算子，则∀a，b∈R+，必有K(a)+K(b)≤K(a+b)，且a⨁b≤a+b.

证明采用数学分析中Lagrange微分中值定理给予证明.

事实上，∀a，b∈R+，不妨设0

K(a)=K(a)-K(0)=K′(ξ1)a，K(a+b)-K(b)=K′(ξ2)a，

其中0<ξ1

又因K是可导的凸函数，当且仅当K′(x)是单调递增函数，故有K′(ξ1)≤K′(ξ2)，从而

K(a)+K(b)≤K(a+b).

此时明显有K(a)+K(b)≤K(a+b)⟺a⨁b=K-1(K(a)+K(b))≤a+b，亦即K-拟加运算 “⨁”是比普通加法“+”更小的运算.

Study on the Yellow River Tourism in Shanxi Oriented by the All-For-One Tourism_____________________SANG Ziyu,HU Weixia 1

则：

(1)

结论得证.

(2)

2 Borel-Cantelli引理的局部推广

经典概率论中Borel-Cantelli引理有两个主要结果：在由事件概率值构成的数项级数收敛的条件下，任意随机事件序列的上极限概率为0；在事件概率值构成的数项级数发散的条件下，相互独立的随机事件序列的上极限概率为1.其在概率空间中结果如下：

下面针对Borel-Cantelli引理的结论(1)在K-拟加测度空间上加以推广.

(3)

因此，对一切j∈N，

(4)

ε/2⨁ε/22⨁…⨁ε/2k≤ε/2+ε/22+…+ε/2k.

对上式令k→∞有

[1] PETROV V V.A note on the Borel-Cantelli lemma [J].Statistics Probability Letters，2002，58(3)：283-286.

[2] PETROV V V.A generalization of the Borel-Cantelli lemma [J].Statistics Probability Letters，2004，67(3)：233-239.

[3] 蒋兴妮，赵联文.Borel-Cantelli引理的推广[J].西南师范大学学报(自然科学版)，2013，38(7)：20-23.

[4] 刘继成，张立丹.条件Borel-Cantelli引理与条件大数定律[J].应用数学学报，2014，37(3)：537-546.

[5] 孙群.FUZZY Borel-Cantelli引理[J].青海师专学报，1985(2)：80-84.

[6] SUGENO M，MUROFUSHI T.Pseudo-additive measures and integrals [J].J Math Anal Appl，1987，122(1)：197-222.

[7] 蒋兴忠.tK-积分和Kt-积分[J].四川师范大学学报(自然科学版)，1993，16(2)：31-39.

[8] 王贵君，李晓萍.K-拟可加模糊积分的绝对连续性[J].四川师范大学学报(自然科学版)，1998，21 (3)：251-255.

[9] 王贵君，李晓萍.关于K-拟可加模糊积分连续性的继续探讨：自连续性[J].四川师范大学学报(自然科学版)，1999，22 (1)：43-47.

[10] 李艳红.K-拟可加集值模糊积分的扩展性质[J].东北师大学报(自然科学版)，2008，40(4)：7-11.

[11] 李艳红.K-拟可加模糊测度空间上的广义Sugeno模糊积分[J].浙江大学学报(理学版)，2010，37(4)：376-380.

[12] 张广全.模糊测度论[M].贵阳：贵州科技出版社，1994：14-15.

(责任编辑：李亚军)

AlocalgeneralizationofBorel-CantellilemmaonK-quasi-additivemeasurespace

LI Yan-hong

(Department of Mathematics，Teacher’s College，Easten Liaoning University，Dandong 118000，China)

The weak countable additivity of the set function is proved by means ofK-quasi-additive operation for a general set sequence.A necessary condition of convergence forK-quasi-additive series is given.Meanwhile，the first conclusion of Borel-Cantelli lemma is obtained onK-quasi-additive measure space and Borel-Cantelli lemma is locally generalized by constructing a subsequence of set.

inductive operator；quasi-addition；K-quasi-additive measure；K-quasi-additive series；Borel-Cantelli lemma

1000-1832(2017)03-0029-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.03.007

2015-12-18

国家自然科学基金资助项目(61374009).

李艳红(1965—)，女，教授，主要从事模糊测度与模糊积分研究.

O 211.1 [学科代码] 110·64

A