一类具有非线性中立项的二阶微分方程振动性

杨 甲 山

(梧州学院信息与电子工程学院，广西 梧州 543002)

一类具有非线性中立项的二阶微分方程振动性

杨 甲 山

(梧州学院信息与电子工程学院，广西 梧州 543002)

研究了一类具有一个非线性中立项的二阶变时滞微分方程的振动性.利用广义的Riccati变换及Bernoulli不等式和Yang不等式，获得了该类方程振动的2个新的适用范围更广的判别定理.特别地，获得的Hille型和Kamenev型振动准则推广并改进了一些相关文献中的已有结果.

振动性;变时滞;非线性中立项;Riccati变换

0 引言

由于微分方程在工程技术、航空航天、生物医药及金融学等领域都有广泛应用，近年来微分方程振动性理论的研究引起了国内外学者的广泛兴趣和高度重视.[1-16]考虑如下具有拟线性中立项的二阶Emden-Fowler型微分方程的振动性问题：

{a(t)|[x(t)+p(t)xα(τ(t))]′|β-1[x(t)+p(t)xα(τ(t))]′}′+q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0，t≥t0.

(1)

假设以下条件成立：

称函数x(t)∈C1([Tx，+∞)，R)(Tx≥t0)是方程(1)的一个解，如果函数x(t)满足a(t)|[x(t)+p(t)xα(τ(t))]′|β-1[x(t)+p(t)xα(τ(t))]′∈C1([Tx，+∞)，R)并且在区间[Tx，+∞)满足方程(1).本文仅关注方程(1)的非平凡解.方程(1)的一个解x(t)称为是振动的，如果它既不最终为正也不最终为负.否则称它是非振动的.方程(1)称为是振动的，如果它的所有解都是振动的.

因为方程(1)的中立项是非线性的，这给研究带来了很大困难，所以多数已有文献或是回避这类方程的研究，或是附加一些条件将非线性中立项转化为线性的来讨论.[1-4，6-16]而文献[5]直接研究了如下一类具有一个拟线性中立项的一阶微分方程

并得到了其解振动的一些判别准则.

1 方程振动的判别定理

首先给出3个引理，其中引理2和引理3是众所周知的，而引理1由函数f(x)=xλ(0<λ≤1)的凹凸性容易得到，故略去其证明.

引理1 设X，Y为非负实数，则当0<λ≤1时，Xλ+Yλ≤21-λ(X+Y)λ.

引理2(Bernoulli不等式) 对任意实数x>-1，当0≤r≤1时，(1+x)r≤1+rx;当r≤0或r≥1时，(1+x)r≥1+rx.

为了方便，引入下列记号：

z(t)=x(t)+p(t)xα(τ(t))，φ+(t)=max{φ(t)，0}.

定理1 设条件(H1)和(H2)成立，0<α≤1和γ>0均为两个正奇数的商.如果存在函数φ∈C1([t0，+∞)，(0，+∞))使得当β≥γ时有

(2)

当β<γ时有

(3)

证明反证法. 设方程(1)存在一个非振动解x(t)，不妨设x(t)最终为正(当x(t)最终为负时类似可证)，则∃t1≥t0，使得当t≥t1时，x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0.由z(t)的定义和方程(1)可得z(t)≥x(t)>0(t≥t1)，且有

[a(t)|z′(t)|β-1z′(t)]′=-q(t)xγ(δ(t))<0.

(4)

利用条件(H1)，由(4)式不难推出z′(t)>0(t≥t1).由引理1和引理2，有

x(t)=z(t)-p(t)xα(τ(t))=z(t)-p(t)[1+xα(τ(t))]+p(t)≥

z(t)-21-αp(t)[1+x(τ(t))]α+p(t)≥z(t)-21-αp(t)[1+αx(τ(t))]+p(t)=

z(t)-α21-αp(t)x(τ(t))+(1-21-α)p(t)≥z(t)-α21-αp(t)z(τ(t))+(1-21-α)p(t)≥

[1-α21-αp(t)]z(t)-(21-α-1)p(t).

(5)

作Riccati变换：

(6)

显然w(t)>0(t≥t1).对(6)式两边求导，并利用(4)与(5)式及a(t)(z′(t))β≤a(δ(t))(z′(δ(t)))β，得

(7)

情形(ⅰ) 当β≥γ时. 由于当t≥t1时z(t)>0，z′(t)>0，所以当t≥t1时，

z(δ(t))≥z(δ(t1))=k1，

(8)

(9)

于是，利用(6)、(8)及(9)式，由(7)式得

(10)

则

将上式代入(10)式得

两边从t1到t(t≥t1)积分，得

这与(2)式矛盾.

情形(ⅱ) 当β<γ时.由(7)式，并利用(6)、(8)式及引理3，类似地可得

(11)

两边从t1到t(t≥t1)积分，得

这与(3)式矛盾.定理证毕.

定理2 设条件(H1)和(H2)成立，0<α≤1和γ>0均为两个正奇数的商.如果存在函数φ∈C1([t0，+∞)，(0，+∞))及常数ω≥1，使得当β≥γ时有

(12)

当β<γ时有

(13)

其中函数Q(s)如定理1所示，常数t1≥t0，ki>0(i=1，2)，则方程(1)是振动的.

证明类似定理1的证明，当β≥γ时可得(10)式，当β<γ时可得(11)式. 于是当β≥γ时，将(10)式中的t改成s，两边同乘以(t-s)ω，然后从t1到t(t≥t1)积分，并应用引理3可推得

所以

这与(12)式矛盾.

当β<γ时，由(11)式，利用与上面同样类似的方法，可得到一个与(13)式矛盾的结果.定理证毕.

注1 从定理1和定理2可以看出，在β<γ和β>γ两种不同的情形下，方程(1)的振动准则是不同的，但当β=γ时(2)式和(3)式以及(12)式和(13)式的情形是相同的.当α=1(即中立项是线性的情形)且β≥γ时由定理1可得到文献[16]中的定理2.2，但这里去掉了文献[16]中的限制条件“a′(t)≥0”.

2 例子和应用

例1 对常数q0>0，考虑二阶时滞微分方程

(E1)

这里a(t)≡1，p(t)=1/5，q(t)=q0/t2，τ(t)=t/5，δ(t)=t，α=1，β=1，γ=1.此时容易验证条件(H1)和(H2)都是满足的.取φ(t)=t，则当q0>5/16=0.312 5时，

因此由定理1知当q0>0.312 5时方程(E1)是振动的.

注2 可以用文献[7]中的定理3.4来判定方程(E1)的振动性：由于当q0>2.5时，

因此当q0>2.5时方程(E1)是振动的.

显然，本文定理1的特殊情形即当α=1(相当于方程(1)的中立项是线性的)时的振动准则比文献[7]中的有关结论要“精细”得多.

例2 对常数q0>0，考虑下列具非线性中立项的二阶微分方程

(E2)

这里α=1/3，β=5/3，γ=7/5，a(t)=t，p(t)=1/5，q(t)=q0/t，τ(t)=t/2，δ(t)=t/3.此时显然条件(H1)和(H2)均满足.为了计算简单，取φ(t)=1，则

从而由定理1知方程(E2)是振动的.

注3 由于方程(E2)是具有非线性中立项的微分方程，并且β≠γ，所以文献[1-4，6-16]中的定理均不能用于方程(E2).

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(责任编辑：李亚军)

Oscillationofcertainsecond-orderdifferentialequationswithnonlinearneutralterm

YANG Jia-shan

(School of Information and Electronic Engineering，Wuzhou University，Wuzhou 543002，China)

The oscillatory behavior of a certain class of second-order variable delay differential equations with a nonlinear neutral term is studied. By using the generalized Riccati transformation and Bernoulli’s inequality and Yang’s inequality，two new oscillation theorems are presented that can be used in cases where known results fail to apply. In particular，the Hille-type and the Kamenev-type oscillation criteria obtained here extend and improve some related results reported in the literature.

oscillation;variable delay;nonlinear neutral;Riccati transformation

1000-1832(2017)03-0013-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.03.004

2016-02-18

国家自然科学基金青年科学基金资助项目(61503171)；广西教育厅科研项目(2013YB223);硕士学位授予单位立项建设项目(桂学位[2013]4号);梧州学院2014年校级科研重大项目(2014A003).

杨甲山(1963—)，男，教授，主要从事微分方程理论与应用研究.

O 175.7 [学科代码] 110·54

A