基于变分贝叶斯的自适应鲁棒滤波算法

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(1.海军工程大学导航工程系，武汉 430000；2.海军902厂，上海 200083)

基于变分贝叶斯的自适应鲁棒滤波算法

左云龙1，尹伟伟2，高敬东1，李开龙1

(1.海军工程大学导航工程系，武汉430000；2.海军902厂，上海200083)

针对组合导航姿态估计中，观测同时受到野值与时变观测噪声影响的问题，构造一种基于变分贝叶斯的自适应鲁棒滤波算法。该算法可以有效地解决自适应与鲁棒滤波策略的矛盾，利用变分贝叶斯近似估计变换的观测噪声，在变分贝叶斯的滤波框架内，利用Huber滤波鲁棒化方法处理连续野值。在组合导航姿态估计试验中，验证了该算法具有良好的自适应与鲁棒性，并能够保持较高的估计精度。

卡尔曼滤波；变分贝叶斯；鲁棒；自适应

0 引言

在卡尔曼滤波(Kalman Filtering,KF)的众多性能指标中，除了在通常情况下所关心的估计结果是否准确和可靠稳定外，在面对现实问题中，人们更关心在干扰的情况下，滤波算法是否仍能够提供可靠而精准的估计结果，即滤波的抗干扰能力。滤波抗干扰能力总结起来有两种重要策略，即鲁棒和自适应。

从鲁棒和自适应的定义上来看，鲁棒和自适应策略在滤波中的体现主要集中于三个方面的观点：其一，从滤波模型的观点来看，自适应更多地体现为处理系统状态方程的干扰问题，诸如模型假设偏差，模型参数干扰等问题，而鲁棒则更多体现为处理观测方程的干扰问题，诸如观测噪声污染等问题；其二，从观测量的观点来看，Kalman滤波的系统状态方程本质也是一种观测方程，只不过观测量不是外界辅助信息，而是状态量本身，依据这种观点，自适应处理的是状态量中的干扰问题，而鲁棒处理的是观测量中的干扰问题；其三，从噪声处理方式来看，自适应多采用针对系统噪声或进一步预测的滤波方差加权或估计等处理方式来体现滤波抗干扰能力，而鲁棒多采用针对观测噪声加权等处理方式来体现滤波抗干扰能力。因此，可以说鲁棒和自适应策略是一对此消彼长的矛盾策略，比较直观的例子是，当系统受到干扰时，自适应会通过加权增大系统噪声方差的方式，将更多的外部信息引入到系统中来，用大量新信息来稀释干扰信息实现滤波抗干扰，在Kalman滤波算法中具体体现为增大增益K；而鲁棒则是通过加权减小观测噪声方差的方式，一旦敏感到系统受到干扰，将不再信任外部信息，用尽可能少的外部信息来实现滤波抗干扰，在滤波算法中具体体现为减小增益K。显然，自适应和鲁棒对于外部信息的认识造成了实现鲁棒自适应滤波算法构造的困难。而目前的主要鲁棒滤波方法[1-6]和自适应滤波方法[7-10]均没有很好地兼容两者之间的矛盾。

因此，为了解决鲁棒与自适应在同一种滤波算法中的矛盾性，本文提出了一种基于变分贝叶斯的自适应鲁棒滤波算法，利用变分贝叶斯(Variational Bayesian，VB)估计和高斯迭代滤波框架，提出一种兼顾鲁棒与自适应的Kalman滤波算法，该算法能够较好地实现鲁棒与自适应在同一滤波算法框架内的使用，在不同干扰类型和强度下，均取得了较好的估计效果。

1 变分贝叶斯自适应鲁棒滤波算法

考虑一个高斯线性系统运动模型为

(1)

式(1)表示从k-1到k时刻，xk是n维状态量，yk是m维观测量，Fk-1是系统矩阵，Hk是观测矩阵，wk-1～(0,Qk-1)，vk～(0,Rk)，Qk-1是系统噪声方差，Rk是观测噪声方差。

对于一般情况来说，可视yk不受外界干扰，并且vk完全服从零均值的高斯白噪声影响。但是，在组合导航、信号处理等实际问题中，这种理想情况并不存在，一种较为普遍的情况是观测量yk中含有野值，并且vk的先验知识并不已知或时变。对于单独处理以上某一种问题，相关的研究是比较充分的，但是，如何将两者同时考虑的研究相对较少。因此，本文针对这种情况，将VB估计和M估计方法结合起来，构造一种可以同时处理观测方程中两种干扰的鲁棒滤波方法。

1.1 变分贝叶斯估计

VB估计的核心思想在于将难以求解的贝叶斯估计的概率密度分解为易于求解的多个概率密度，即求解基于y1:k的条件概率密度p(xk,Rk|y1:k)，如果Rk是已知的，那么KF可以解决;而如果Rk是未知或者时变的，就很难给出解析解。VB估计方法将这种复杂的联合条件概率密度分解为2个可以求解的独立参数的概率密度乘积的形式，如

p(xk,Rk|y1:k)≈ϑx(xk)ϑR(Rk)

(2)

(4)

VB估计通过近似概率密度和p(xk,Rk|y1:k)的Kullback-Leibler(KL)散度距离最小的，将状态量xk和未知量Rk分离为2个近似概率密度分布乘积形式，这2个近似概率密度分布表示为高斯概率密度分布和Inverse-Gamma(IG)概率密度分布的近似乘积如

p(xk,Rk|y1:k)≈

(5)

(6)

1.2 M估计

M估计是一种由Huber提出的鲁棒估计方法，具有良好的滤波鲁棒性。M估计的本质在于求解得该代价函数最小值时的滤波估计值，如

(7)

式中，ρ·为引入的鲁棒代价函数，ei是残差。因此，可见构造具有良好鲁棒性的代价函数是M估计的核心。Huber提出了一种代价函数，如

(8)

式中，γ为调节因子，是代价函数的门限，体现了对外部干扰情况的处理程度，γ一般取1.345。对于Huber的滤波鲁棒化框架，通常有两种解释：其一是重加权平均；其二是构造伪观测量。重加权平均是观测噪声方差的鲁棒化过程，而构造伪观测量是观测量的鲁棒化过程，本文主要采用重加权平均的形式，即

构造形如下式的权重函数

Ψk=diagφek,j/ek,j

(9)

式中，ek,j表示第j维的归一化残差。Ψy,k为权重函数，φ=ρ′为影响函数，重加权平均就是对观测噪声方差的鲁棒化改造过程，即

(10)

1.3 变分贝叶斯鲁棒滤波算法

基于以上滤波方法，构造变分贝叶斯鲁棒滤波算法，即通常VB来说跟踪估计时变的观测噪声方差，再将估计的观测噪声方差带入Huber鲁棒滤波框架中，处理观测量干扰问题。具体算法如下所示。

(1)时间更新：

(11)

(12)

αk|k-1,i=ρiαk-1|k-1,i

(13)

βk|k-1,i=ρiβk-1|k-1,i

(14)

其中，ρ为变分衰减参数，一般在(0,1]内取回。

(2)观测更新

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

2 仿真验证

2.1 SINS/GPS组合滤波模型

本文采用SINS/GPS组合滤波模型进行仿真试验，其中，间接式的状态方程是以捷联惯导误差方程为基础的，其状态量为姿态、速度和位置的误差量等，其中姿态误差量一般采用欧拉角(θ,γ,ψ)表示(其中，θ为俯仰角，γ为横滚角，ψ为航向角)。考虑间接式的捷联惯导姿态、速度与位置更新的连续时间微分误差方程[11]

(22)

(23)

(24)

其中

M1=Rp

(25)

(26)

其中，εb为陀螺的常值漂移，ηgv和ηgu分别表示不同方差的零均值高斯白噪声。加速度计误差方程为

(27)

间接式的观测方程如下

(28)

2.2 对比试验

仿真比较传统KF、基于Huber鲁棒滤波(简称HKF)、自适应滤波(简称AKF)、基于变分贝叶斯的自适应鲁棒滤波(简称HAKF)四种滤波算法的滤波效果。首先，对以下四种仿真情况加以说明：

情况1：高斯假设分布情况；

情况2：在时变观测噪声方差情况；

情况3：在含有野值情况；

情况4：在时变观测噪声方差和含有野值同时存在的情况。

其中，情况1是理想状态，rk=[10/glv.Re10/glv.Re10]且Rk=diag(rk)2，其中glv.Re=6378137，地球半径(GPS-84)；

对于情况2，假设时变观测噪声如下所示

其中

(1+tanh(0.01×(k-len/4)))

(29)

(30)

(31)

式中，k是时刻，len是总时长。

对于情况3，采用混合高斯分布来定义，如

(32)

式中，α为干扰因子，表示观测量受污染程度；σ1和σ2分别表示独立的高斯分布的标准方差。仿真时长len=850。

情况4是情况2和情况3的结合。

以下分两种情况分析四种滤波算法的滤波效果。

(1)对比KF在四种情况下的滤波效果

对比在四种情况下，KF算法的姿态估计滤波效果，如图1～图3所示。由图1～图3可见，KF在情况1条件下的滤波效果最好，要优于在情况2、3、4条件下的滤波效果，在滤波稳定性和滤波精度方面都有明显表现。同时，KF在情况3条件下的滤波效果与在情况1条件下的滤波效果比较接近，要优于情况2条件下的滤波效果，情况2条件下的滤波效果要优于情况4条件下的滤波效果。

图2 在高斯情况下和观测噪声变化情况下姿态估计误差比较Fig.2 Comparison of attitude estimation errors between Gauss and observation

图3 在高斯情况下和含野值以及观测噪声变化情况下姿态估计误差比较Fig.3 Comparison of attitude estimation errors in the presence of Gauss outliers and observation

(2)对比KF、HKF、AKF和HAKF在情况1和情况4条件下的滤波效果

图4 在高斯情况下姿态估计误差比较Fig.4 Comparison of attitude estimation errors in Gauss case

对比在情况1和情况4条件下，四种滤波算法的姿态估计滤波效果。为了进一步观察滤波效果，另外进行了50次蒙特卡罗仿真，如图4～图7所示。由图4可见，在情况1条件下，四种滤波算法滤波效果较为接近，相差不大；但从图5可见，经过50次蒙特卡罗仿真实验，长时间仿真实验的情况下，在四种滤波算法中，HAKF的滤波稳定性是最好的，而且滤波精度与KF基本相当；由图6可见，在情况4条件下，四种滤波算法的滤波效果中，HAKF滤波效果最好，滤波稳定性和精度都是最佳的，AKF滤波效果与HAKF滤波效果较为接近，要明显优于KF和HKF，KF的滤波效果与其他三种滤波算法的滤波效果相差较大；由图7可见，在情况4条件下，经过50次蒙特卡罗仿真实验，在长时间存在外在干扰的情况下，四种滤波算法的滤波效果中，HAKF滤波效果最好，滤波稳定性和精度都是最佳的，AKF滤波效果与HAKF滤波效果较为接近，要明显优于KF和HKF，KF的滤波效果与其他三种滤波算法的滤波效果相差较大。

图5 在高斯情况下姿态估计误差比较Fig.5 Comparison of attitude estimation errors in Gauss case

图6 在高斯情况下与含野值和观测噪声变化情况下姿态估计误差比较Fig.6 Comparison of attitude estimation errors in the presence of Gauss outliers and observation

图7 在高斯情况下与含野值和观测噪声变化情况下姿态估计误差比较Fig.7 Comparison of attitude estimation errors in the presence of Gauss outliers and observation

3 结论

本文针对组合导航姿态估计中观测同时受到连续野值与变化的观测噪声影响等问题，利用高斯牛顿迭代方法，通过VB估计和Huber M估计提出了一种基于变分贝叶斯的自适应鲁棒滤波算法。自适应和鲁棒性两种滤波策略在HAKF中结合到了一起。基于自适应策略的VB方法具有对时变噪声协方差的强跟踪能力；基于鲁棒策略的Huber M估计方法通过改进滤波更新的方式具有解决污染分布或者异常值的能力。使用高斯牛顿迭代方法不仅能将M估计方法自然地融合到HAKF中而且还能提高滤波精度。通过大量的仿真实验证明了HAKF的效能，验证了该算法具有良好的自适应与鲁棒特点，并能够保持较高的估计精度。

[1] Boncelet C G,Dickinson B W.An approach to robust Kalman filtering[C]// The 22ndIEEE Conference on Decision and Control.New York，USA:IEEE，1983:304-305.

[3] Karlgaard C D,Schaub H,Crassidis J.Huber-based divided difference filtering[J].Journal of Guidance Control and Dynamics,2007,30(3):885-891.

[4] Chang L,Hu B,Chang G,et al.Huber-based novel robust unscented Kalman filter[J].IET Science,Measurement & Technology,2012,6(6):502-509.

[5] Chang L,Hu B,Chang G,et al.Multiple outliers suppression derivative-free filter based on unscented transformation[J].Journal of Guidance Control and Dynamics,2012,35(6):1902-1906.

[6] 常国宾，许江宁，常路宾，等，一种新的鲁棒非线性卡尔曼滤波[J].南京航空航天大学学报，2011,43(6):754-759.

[7] Sarkka S,Nummenmaa A.Recursive noise adaptive Kalman filtering by variational Bayesian approximations[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2009,54(3):596-600.

[8] Beal M J.Variational algorithms for approximate Bayesian inference[D].London:University of London,2003.

[9] Chandra K P B,Gu D W,Postlethwaite I.Square root cubature information filter[J].IEEE Sensors Journal,2013,13(2):750-758.

[10] Zhang C.Approach to adaptive filtering algorithm[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,1998,19(7):96-99.

[11] 李开龙.捷联惯导基组合导航姿态估计关键技术研究[D].武汉：海军工程大学，2015.

AdaptiveRobustFilteringAlgorithmBasedonVariationalBayesian

ZUOYun-long1,YINWei-wei2,GAOJing-dong1,LIKai-long1

(1.NavigationEngineeringDepartment,NavalUniversityofEngineering,Wuhan430000，China；2.Navy902Factory,Shanghai200083，China)

In this paper, an adaptive robust filtering algorithm based on variational Bayesian method is proposed to solve the problem of the simultaneous observation of outliers and time-varying noises in the attitude estimation of integrated navigation.The algorithm can effectively solve the contradiction between the adaptive and robust filtering strategy, using variational Bayesian approximation to estimate the observation noise transformation, and deal with continuous outliers by using Huber filter robust method in the variational Bayesian filtering framework.In the integrated navigation attitude estimation experiment, it is proved that the algorithm has good adaptability and robustness, and maintains high estimation accuracy.

Kalman filter；Variational Bayes；Robust；Adaptive

2017-03-30；

：2017-06-09

：国家自然科学基金(61374206)；国家自然科学基金(61304241)；国家自然科学基金(61703419)；海军工程大学自主立项项目(20161576)

：左云龙(1988-)，男，硕士研究生，主要从事惯性技术及应用方面的研究。E-mail：327731817@qq.com

10.19306/j.cnki.2095-8110.2017.05.008

U666.12

：A

：2095-8110(2017)05-0048-06