基于疲劳强度分布假设的P—S—N曲线模型

王长江

摘 要：疲劳寿命服从对数正态分布的假设在应力水平趋于疲劳极限时不合理，为描述这一区域的P-S-N曲线，假设疲劳强度服从正态分布，将普通试验点看作破坏寿命下的疲劳强度，将升降法中的对子应力作为给定寿命下疲劳强度的样本值，基于极大似然法原理提出了一个新的P-S-N曲线模型。对几组金属材料的疲劳试验数据进行统计分析，结果表明该模型对中长寿命区和疲劳极限附近的P-S-N曲线拟合效果较好，且对疲劳试验方法没有限制。

关键词：疲劳强度；P-S-N曲线；极大似然法；正态分布

中图分类号：O211 文献标志码：A 文章编号：2095-2945（2017）27-0020-02

1 概述

由于不确定因素的影响，材料的疲劳性能数据存在很大的分散性。概率疲劳性能曲线是结构疲劳寿命预测和可靠性分析的重要基础。P-S-N曲线拟合问题已有大量研究，常用的是最小二乘法和极大似然法。

傅惠民等[1]对疲劳寿命和疲劳强度的百分位值进行最小二乘法拟合得到三参数的P-S-N曲线。文献[2]中的双加权最小二乘法考虑了样本容量和试验结果分散性的影响，可以处理包含成组法和升降法在内的疲劳试验数据。

Nelson假设疲劳寿命服从对数正态分布，提出了一种拟合包含截尾数据的极大似然法。Pascual等基于極大似然法原理提出了一个随机疲劳极限（RFLM）模型。

最小二乘法在拟合P-S-N曲线时没有考虑疲劳寿命分散性的变化规律，数据有限时会出现曲线对数寿命标准差为负或应力水平越高对数标准差越大的反常情况。

此外，若疲劳试验没有按照成组法或升降法来进行，最小二乘法也会失效。

上述的几种极大似然法模型对升降法试验数据的处理无能为力。一般认为疲劳寿命服从对数正态分布或威布尔分布，但是当应力水平趋于疲劳极限时，这一假设不再合理，传统的疲劳寿命分布假设无法描述低应力水平的P-S-N曲线。

本文以疲劳强度的分布假设为基础提出了一个新的极大似然法模型，该模型合理地描述了中长寿命区和疲劳极限附近的P-S-N曲线，同时对试验方法没有限制，可以处理包含单点法、成组法、升降法和截尾数据在内的疲劳试验数据。

2 疲劳强度分布假设

2.1 传统极大似然法

大量的金属材料疲劳性能曲线的研究表明，中长寿命区的P-S-N曲线可采用三参数公式来描述

式中，Np为具有可靠度p的疲劳寿命；S为最大应力；S0p为理论疲劳极限；mp和Cp为待定常数。假设指定应力水平下，疲劳寿命服从对数正态分布，指定应力水平S下的对数疲劳寿命的均值和标准差可写为

式中C、m和S0为均值疲劳性能曲线的参数；Cs、ms和S0s为p=15.87%时的疲劳性能曲线参数；μN和σN为对数疲劳寿命均值和标准差，是应力水平S的函数。对于一组疲劳试验数据，构造似然函数[3]

其中lnL为取对数的似然函数，？兹为参数，Ni，Si为第i个试样的疲劳试验数据，n为数据点个数，f为正态分布的概率密度函数，？椎为正态分布函数。当似然函数lnL取最大值时，六个参数即为最佳取值。实际应用过程中，为缩短计算时间，可以采用最小二乘法估计均值寿命曲线的参数C、m和S0，然后再采用最优化方法求解其它参数。一般情况下，P-S-N曲线有如下规律：

（1）各级应力水平下，疲劳寿命的标准差σN大于0；

（2）应力水平越低，寿命分散性越大，σN对S的导数大于0；

（3）S0s>S0，本文对多种材料的升降法试验数据进行统计分析发现，疲劳极限的变异系数通常小于0.13，即（S0s-S0）/S0<0.13。

以（1-3）作为约束条件，对式（5）进行最优化求解，得到Cs、ms和S0s的取值。任意可靠度下的P-S-N曲线可以表示为

logNp=？滋N（S）+upσN（S） （6）

其中up为与可靠度对应的标准正态偏量，式（6）在中长寿命区是合理的，但是当应力水平趋于疲劳极限时，会出现奇异现象，与实际情况不符。究其原因，疲劳寿命服从对数正态分布的假设在疲劳极限附近不合理，此时，可以采用疲劳强度分布假设。

2.2 疲劳强度的概率分布

给定寿命下疲劳强度的概率分布不能通过试验方法直接获得，只有采用间接方法来研究。最早Weibull以给定应力水平的疲劳寿命分布规律推导出给定寿命的疲劳强度分布规律，提出疲劳寿命破坏率与疲劳强度破坏率相等。疲劳强度概率分布问题从统计角度出发，利用统计推断方法处理，对三组大样本试验数据的分析结果表明疲劳强度可以用威布尔分布或正态分布描述。

3 基于疲劳强度分布假设的极大似然法

对式（1）进行变换，疲劳强度可以写成寿命N的表达式

式中，Sp为具有可靠度p的疲劳强度；N为疲劳寿命。假设给定寿命的疲劳强度服从正态分布，疲劳强度的均值和标准差可写为

式中，μS和σS为疲劳强度的均值和标准差，是寿命N的函数。疲劳强度S的概率密度函数为

对于一组疲劳试验数据，构造似然函数[3]

式（12）对疲劳试验数据的类型没有限制，升降法“对子应力”为指定寿命下疲劳强度的样本，单点法和成组法的试验点（Si，Ni）可以看作是寿命Ni下的疲劳强度Si。当似然函数lnL取最大值时，六个参数即为最佳取值。

以2.1中的（1-3）作为约束条件，对lnL进行优化求解，P-S-N曲线的拟合过程可以表述为

其中，σN（S）由式（2）计算。式（13）中的优化问题在实际计算中可以先通过最小二乘法估计均值寿命曲线的参数C、m和S0，然后再采用优化方法求解其他参数，以缩短计算时间和已有的均值寿命曲线拟合保持一致。任意可靠度下的Sp-N曲线可以表示为

将式（8）代入式（13）得

4 结束语

假设疲劳强度服从正态分布，基于极大似然法原理给出了一种新的P-S-N曲线拟合方法。两组试验数据的拟合结果表明中等寿命区疲劳强度服从正态分布的假设与疲劳寿命服从对数正态分布假设在工程上近似等效。疲劳强度假设能更好地描述疲劳极限附近的P-S-N曲线。与最小二乘法和传统极大似然法的对比表明，本文方法对各类型的试验数据拟合效果更佳。

参考文献：

[1]傅惠民，高镇同，梁美训.P-S-N曲线拟合法[J].航空学报，1988，9（7）：A338～A341.

[2]谢金标，姚卫星.疲劳S-N曲线拟合的双加权最小二乘法[J].宇航学报，2010，31（6）：1661～1665.

[3]王强，林元华. QPQ盐浴复合热处理中渗氮温度对4145钢疲劳寿命的影响[J].科技创新与应用，2016（33）：23-24.endprint