音乐与混沌分形理论

康啸

作曲技术理论研究

音乐与混沌分形理论

康啸

混沌理论(Chaos Theory)的提出，从科学角度探讨了世界的本质问题。与之密切相关的分形理论(Fractal Theory)无可争议地成为了20世纪的三大科学革命之一，该理论不仅改变了人们观察世界的角度，更启迪了我们反思往昔习以为常的一切。文章重点审视音乐作品与生律方式中展现的混沌与分形特质。从巴赫的古钢琴作品中探讨混沌理论中对于初始条件的依赖性；在约翰·凯奇的音乐创作中探索不可预测性；探究申克分析法与作品自相似性特征；探寻三分损益律所展现出的分形图形等。总之，从音乐作品，到音乐分析观念，再到广阔的音乐文化，我们在纷繁复杂的音乐现象背后的确能够发现混沌分形的特质。

混沌理论；分形理论；音乐分析

引言：混沌分形理论

混沌与分形理论是20世纪人类最为重要的科学发现。这两个理论的发现都起源于科学家对于世界的细致观察与深入反思。美国气象学家洛伦茨(Edward Norton Lorenz，1917-2008)从巴西蝴蝶的振翅引发美国的一场龙卷风的设想中探究混沌理论①1972年12月29日，美国数学家、气象学家洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议中发表了论文《可预见性：在巴西的蝴蝶震动翅膀是否会引起德克萨斯州的一场龙卷风？》(Predictability:Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?)解释“混沌理论”。。国美籍数学家曼德布罗特(Benoît B.Mandelbrot，1924-2010)在探究英国海岸线到底有多长的问题中提出了分形理论②1967年曼德布罗特在《科学》杂志上发表论文《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分形维数》(How Long Is the Coast of Britain?Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension)，标志着分形理论的初步形成。。这两个密切关联的理论，迅速成为影响深远的前沿科学，并成为继相对论和量子力学之后的第三次革命。通过这一理论的研究，我们发现大到星空宇宙，小到微观粒子，都在混沌和分形理论的指挥棒下运行。混沌与分形相互关联，混沌即时间上的分形，分形即空间上的混沌③马建华、管华：《系统科学及其在地理学中的应用》，北京:科学出版社2003年版，第191页。。混沌现象的主要特征体现为对于初始条件敏感的依赖，并且表现出一种不可预测性。分形理论则尤其关注自相似，即整体与局部的高度相似④[英]肯尼斯·法尔科内：《分形几何——数学基础及其应用》，曾文曲等译，沈阳：东北大学出版社1991年版，第200页。。混沌分形本身并不是发明，而是一个伟大的发现。混沌分形本身就是世界存在的本质特征，其规则存在于世界的每一个角落中，音乐中同样展现了混沌分形的现象，我们从生律方式、音符发展、调性布局、创作观念等方面详细分述。

在巴赫《平均律曲集》第一卷(Das wohltemperierte Klavier I)第一首《C大调前奏曲》(Prelude in C major，BWV846)中，巴赫向世人展示了“分形”的魅力。整首乐曲的原点是质朴的“主三和弦”，它亦是整首作品音符生长的初始条件。自第二小节开始，所有和弦都在之前的和弦基础之上进行“微调”，即某些声部同音保持，而某些声部则缓行级进。巴赫手稿则更为突出地显现出低声部与高声部发展差异。低音声部基本保持在C音上，稳定了作品的调性，从“分形”角度而言是对初始条件的依赖性。作品上方各声部则通过级进方式，逐步脱离了原始的运行轨迹，绘出了分形的图形(见谱1)。

谱1 巴赫《C大调前奏曲》第1-9小节手稿⑤巴赫1722年1月亲笔手稿，摘自现存德国柏林国家图书馆的《巴赫手稿集》第415页。

一、对初始条件的依赖性：巴赫《C大调前奏曲》

整首作品随着时间的推演，和弦逐渐偏离了最初的音符轨道，形成了音乐图形的渐进位移。每一个和弦都试模仿前一个和弦，体现出对初始条件的依赖性(保持音)，同时总是出现略微的差异(级进音)，“小偏差”的累积，导致整首作品不断“偏离轨道”。基于作品的和弦缩写图，可以更加明显地看出和弦的细微变化，展现出所有和弦的变化轨迹(见谱2)。

如果前奏曲中的和弦从初始条件开始，按照一定规律发展下去，我们可以得到公式“Rn+1=a∗Rn+a2Rn−1+...+anR1”，能够推算和弦的发展样态。

R表示和弦，n表示当下和弦的序列数，a是变化常量。由此可见，前一个和弦R本身的特性与和弦变化的规律共同作用，决定下一个和弦的形态(Rn+1)。当我们记录所有和弦的信息与变化参量进行图像化处理，和弦如同一张张应声倒下的多米诺骨牌，呈现出“蝴蝶效应”的音乐图谱。这部经典的作品能够在视觉层面重新呈现(见图1)。

谱2 巴赫《c大调前奏曲》和弦缩写谱

图1 与巴赫《C大调前奏曲》类似的分形图形

二、不可预测性：约翰·凯奇与偶然音乐

约翰·凯奇(John Milton Cage，1912.9.5-1992.8.12)是第二次世界大战以后西方音乐历史中颇具争议的人物。凯奇的音乐创作，展现了二十世纪艺术家对于传统音乐观念的反思，也成为20世纪先锋音乐的代表性人物。在混沌分形理论视角下，约翰·凯奇的音乐创作尤为符合其理论的核心特征。

1.加料钢琴(预制钢琴，Prepared Piano)

对钢琴进行“加料”的方式，早在20世纪初就有作曲家进行了尝试。但“破坏力”最强的则是约翰·凯奇，很多人都无法理解他为什么要将一些杂物，包括螺丝、硬币、电线、竹片、破布、橡皮等一股脑的洒在三角钢琴的音板上。其实，约翰·凯奇最初是因为创作舞蹈《酒神狂欢》(Bacchanale，1940)时，由于没有足够的打击乐器而将钢琴进行了改造⑥维基百科：英文词条“Works for prepared piano by John Cage”，https://en.wikipedia.org/wiki/Worksforpreparedpianoby⁃JohnCage。。但是他却从中得到了灵感，自二十世纪40年代以来他对“加料”方式情有独钟，从作为舞蹈伴奏乐器到独奏乐器，从一架钢琴到多架钢琴，再到与乐队合奏，他将这一形式发挥得淋漓尽致，产生了超过三十部作品，如《先祖图腾》(Totem Ancestor，1942)、《大地将再次承受》(And the Earth Shall Bear Again，1942)、《看似无忧虑的抛掷》(Tossed As It Is Untroubled，1944)、《为马塞尔·杜尚而作的音乐》(Music for Marcel Duchamp，1947年)等⑦James Pritchett,R and Laura Kuhn,Charles Hiroshi Garrett：John Cage,Stanley Sadie and John Tyrrell:The New Grove Dic⁃tionary of Music and Musicians,Macmillan Press Ltd.,2001.。从后现代主义思潮来看，当演奏者按动琴键的时候，可以发出意想不到的声音效果，此举使得作曲家在创作中的主体性失落，也消解了创作者的话语权⑧后现代理论中对于创作者主体性消解例子不胜枚举，最具代表性的是文学领域的“零度写作”，最初由法国作家罗兰·巴特(Roland Barthes，1915-1980)在《写作的零度》(Le degré zéro de l'écriture)中提出，主张将情感降到“冰点”，客观、理性的进行写作。。而且，作曲家使用日常物件作为“乐器”，也模糊了艺术与生活的界限，这一观念亦是后现代理论所主张的⑨作为后现代艺术事件中，模糊日常物品与艺术品的例子，可举杜尚(Marcel Duchamp，1887－1968)作品《泉》(Fountain，1917)。其直接将从商店买来的小便池，作为展品送到了美国独立艺术家展览中心。凯奇作品《为马塞尔·杜尚而作的音乐》也充分展现了作曲家对于杜尚艺术观念的推崇。。笔者则关注作曲家所追求的创作“随机性”。确定系统的内在随机性(Randomness)是混沌·分形理论重要的特征之一。随机性的发现使人类对世界的认识进入了新的阶段，约翰·凯奇的做法即对随机性的音乐阐述。当演奏者触压琴键时，他是无法预料到出现的后果。由于小物件的作用，音色呈现初不确定性。虽然约翰·凯奇也曾经创作过“定点加料”的钢琴作品⑩定点加料指在某些指定的琴弦上放置物品。，但最终他还是放弃了走“回头路”的方式，充分发展创作随机性，夸大偶然的因素，这一做法表达了艺术家对“主体消解”的再思考，也隐喻了他眼中的世界观。

2.投币作乐

投币作乐：通过投掷的硬币的正反面，决定下一个音的走向。1951年开始，约翰·凯奇的音乐创作几乎都带有随机性的因素。凯奇受到《易经》的影响，采用问爻的方式，进行音乐创作。约翰·凯奇使用三枚硬币投六次，并且将结果与数理化的爻卦表格进行对应(见图2)，以此决定每一个音的走向，创作了钢琴独奏曲《变化中的音乐》(Music of Changes)。

作曲家在之后的投币创作进一步扩展到其他音乐元素，如升降符号、谱号以及演奏技法等。乐谱创作的随机性也逐步扩展到演奏过程之中，凯奇将更多演奏技法选择交由演奏者决定，提升了乐曲呈现过程中的随机性，也进一步创作了《黄道带星图》(Atlas Eclipticalis，1961–62)以及多套练习曲(Etudes Australes，1974–75；Etudes Boreales，1978)。偶然音乐的创作方式逐步被世人所熟悉，也成为20世纪后现代音乐艺术理论的核心特点。⑪Marc G.Jensen:John Cage,Chance Operations,and the Chaos Game:Cage and the"I Ching",Musical Times,2009,p.99.

偶然性创作不仅在音乐界展现了革命性的意义，也预示了科学领域的重要发现。英国沃里克大学数学教授伊恩·斯图尔特(Ian Stewart，1945.9.24-)博士1989年在其著名的著作《上帝投骰子吗？混沌之数学》(Does God Play Dice?The New Mathematics of Chaos)中，论述了混沌学对体力学、天体力学、统计学、拓扑学等自然科学的影响，提出了自然科学中耗散系统的内在随机性，并形象地比喻：上帝是通过投骰子的方式创造了世界⑫Ian Stewart:Does God Play Dice:The New Mathematics of Chaos,Blackwell Publishing,1989.。其实在混沌、分形理论发现之前，人们已经开始意识到混沌的存在，测不准原理的运用，亦体现出人们对牛顿经典力学理论和后来量子物理学的一个补充或修正。而凯奇的观念艺术似乎就是对科学革命的预言，他的行为似乎在告诉世人“我替上帝投骰子”，由此音乐创作中的随机性被突显出来，作曲家无法通过自己的意志改变音乐的走向，音乐是“上帝”的恣意创造。《变化中的音乐》(Music of Changes)受到东方老庄哲学和《易经》的重大影响，其作品的深层寓意探讨了世界的变化本质和系统各部分的内在微妙联系，这与混沌理论更重视内在联系方面有共通之处。

图2 《易经》的卦谱与用于创作《变化中的音乐》的卦谱表格

另外，投币作曲法更体现了混沌·分形理论的一个重要思维：系统对初始条件的敏感依赖性。由于是通过投币进行创作，所以作品中的音符之间有着内在的联系，每一个新的音符都是在前一个已经确定音符的基础上产生的。如此方式，作品从头至尾成为了对初始条件(第一个音符)敏感依赖的系统。如同长链条，作品中的音符环环相扣，后一个音都试图按照前一个音符的轨迹进行运动，但是由于投币的出现，随机性加入，即形成了偏离轨道的新轨迹，孕育出音乐的魅力。

3.《4分33秒》

1952年8月29日，约翰·凯奇在纽约推出了他的惊世之作——《4分33秒》。这是一段虚无的演奏时间，但设计得有板有眼：钢琴家戴维·图德(David Eugene Tudor，1926.1.20–1996.8.13)走上台，在钢琴前坐下，虽然钢琴家始终没有触碰琴键，但是通过打开与合上钢琴盖板，将作品随机分割为三个部分，时间分别为30秒，2分23秒，1分40秒。观众在第一部分保持安静，第二部分就开始出现嘀咕声，最后一部分则是不可抑制的愤怒喧哗。大部分现场观众的反应是被耍弄，有一小部分则冷眼旁观，还有更小部分似乎有些领悟⑬W.Joseph:John Cage and the Architecture of Silence,October,1997,p.85.。其实这部作品的创造者是在场的观众，作曲家希望观众能够倾听自身的声音，从而唤醒人们对“声音”观念的重新思考。在这部作品之后，凯奇又创作了后续作品《0分00秒》以及《1的三次方》，进一步思考声音主体性问题？

偶然性是《4分33秒》的核心特征，其冲击着传统的艺术观念。演奏者打开琴盖的动作是观众可以预测的，按照常理，此后的动作应该是演奏，但是演奏者关上了琴盖，使观众的对以往钢琴音乐会的经验预期出现了偏差，而当演奏家又以此重复了此动作的时候，观众已经意识到自身已无法预测下一个动作了，于是剧场终于沸腾了。观众似乎被这种无法预测的表演所激怒了(观众也无法预测到自己的愤怒)。而钢琴家仍然悄然无声他将表演的舞台交给了观众。由此得出，这部作品的内容正是观众自身，观众通过自己愤怒的动作，构造了一个内在随机性的混沌系统。约翰·凯奇对于观众的愤怒应该是有预先的设想，但是他永远无法控制到底是哪位女士“扔出香蕉皮”，哪位男士破口大骂，“表演”的具体的过程完全是一个愤怒的非线性系统。作曲家的极端做法告诉了所有人，音乐的作品永远无法做到精确控制，你是无法预期演出的所有细节的，随机性是事物的真正的本质。

以分形理论的视角观察，《4分33秒》亦展现出自相似特性。自相似性是分形理论的核心内容，整体与局部的相似使其呈现出分形形态。整首作品中只有一个全休止符，且从头至尾持续，如同中国绘画中的留白⑭作曲家在创作作品之前，体验了哈佛大学的消声实验室，自称听到了自己血液和神经系统的声音。Peter Gutmann:the sound of silence,http://www.classicalnotes.net/columns/silence.html.。这一点如同印度古典音乐中的持续音。印度古典音乐中的持续音看似简单，但是印度音乐家却坚持认为持续音富含了多层次，反映了印度宗教轮回思想。约翰·凯奇本身也对于印度等东方哲学非常感兴趣。因此，音符表面的单一并不代表着简单。在分形理论角度，作品从整体到局部保持了“休止”自相似特征。钢琴家的几个动作将作品4分33秒划分为三个部分，而“静籁”将其统一，成为核心的特征。

三、科赫曲线：结构的自相似性与申克分析法

科赫曲线(Koch Curve)是一种独特的分形曲线，由瑞典数学家科赫(Helge von Koch， 1870.1.25-1924.3.11)于1904年首次提出⑮H.von.Koch:Sur une courbe continue sans tangente,obtenue par une construction géométrique élémentaire,Arkiv for Matematik,1904(1),pp.681-704.。科赫曲线的形成并不复杂，需要三个步骤。第一，有一条线段；第二，将这条线段中间的1/3处向外折起；第三，依照相同的方式，把每个线段的1/3处向外折起。如此无限发展下去，能够绘出科赫曲线。我们可以将每一次线段外折称为“一次迭代过程”。迭代不断进行，图形中的折点数量倍增，而曲线最终显示细节的多少将取决于迭代次数和显示系统的分辨率(见图3)。

图3 迭代6次的科赫曲线

科赫曲线是人工设计的数学曲线，经典地展现了局部和整体的自相似性，即在任意小的比例尺度中都包含了整体的构造。看似简单的线段却蕴含着宇宙中的某种秘密。在音乐作品之中，也存在“科赫曲线”。我们以格里格《培尔·金特》(Peer Gynt，Op46，1888)组曲第一套(1888)中的第二首《奥赛之死》(La mort d’Åse)为例。《奥瑟之死》为复二部结构。首部A通过对材料a的呈示、引申和再现，形成了单三段结构，调性分别为：b小调-#f小调-b小调，形成了主、属、主的五度调性布局。而作品中主属和弦交替最为频繁，在微观层面形成了五度的关系(见谱3、4)。

在第二部分B中的材料呈现方式与A部类似，对材料b的进行呈示、引申以及再现，调性布局为D大调-G大调-D大调的布局，乐曲最后回到了主调b小调。从整首乐曲的调性布局来看，我们能够发现其中多重五度结构。在乐曲首部A的调性存在上行五度调性布局，第二部分B中同样体现出下五度(上四度)的调性结构(见图4)。

图4 格里格《奥塞之死》调性布局所呈现出的“科赫曲线”

谱3 格里格《奥塞之死》(钢琴版)第1-4小节

谱4 格里格《奥塞之死》(钢琴版)第9-12小节

音乐作品中的属主五度结构不仅体现在宏观的调性布局方面，也存在于微观的和弦连接层面。如此特点如同科赫曲线的图形一般，体现出局部与整体的自相似特征，这使得我们想到了申克的还原分析法。奥地利音乐理论家申克(Heinrich Schenker，1868.6.19–1935.1.14)在对J·S·巴赫、亨德尔、贝多芬等作曲家的作品进行了深入的研究，强烈的感受到大师笔下的那些形态各异的作品的深层，必定隐藏着对位法的严格程序⑯周勤如：《音乐深层结构的简化还原分析——申克分析法评介》，《音乐研究》1987年第2期，第25-36页。。为了探寻作品中隐藏的本质特征，探索在不同结构水平方面的特点与关联，申克将音乐作品作为一个有机整体进行分析，并且划分前景、中景、背景三个层面，探寻作品从宏观结构到微观形态所遵循的规律。整首乐曲就是一个宏观层面的终止式，这与微观层次的多次终止形成了自相似性特征。此特点在很多作品中都有体现，如果我们将一部作品理解成为一个独立的系统，无论大小、长短，其整体就形成了它的基础层(基础结构)，在其整体基础上又能划分出若干组成部分，这些组成部分就构成不同等级的次级层(高级结构)，不同层级的部分之间存在着自相似特质⑰姜万通：《耗散系统与音乐作品中的自组织现象》，《黄钟》2004年第2期，第41-46页。(见谱5)。

图5 与三分损益生律方式类似的分形图形

谱5 格里格《奥塞之死》A部背景、中景图

四、永不闭合的分形图形：“三分损益律”

“三分损益律”是中国古代最早也是广泛应用的律制。此生律方式从基础律(即黄钟宫)开始，通过“三分损一”(取弦长2/3)或“三分益一”(取弦长4/3)的方式，产生了新的律，如此周而复始，循环往复。三分损益生律方式会导致“黄钟不能回归本位”，形成古代音差(24音分)⑱陈正生：《三分损益律的算式》，《中央音乐学院学报》1993年第2期，第74-75页。。“仲吕不能还生黄钟”导致汉代的京房六十律，南朝宋人钱乐之的三百六十律的出现，七目的都是为了缩小“古代音差”，但永远无法与黄钟律数一致。有学者研究认为，十二律循环相生、黄钟周而复始，体现出道家学说中“周行”、“复归”的特征，即在“一”的本原中，通过“周行”、“复归”的方式形成了“永不止息”的运动状态。这也就是宇宙万物所体现出来的核心规律⑲修海林：《先秦道家音乐学术思想的主要特征——以〈吕氏春秋〉诸篇为例的分析》，《汉唐音乐史首届国际研讨会论文集》，2009年，第1-7页。。笔者基于此观点进一步认为，十二律的如此循环特征，明显体现出“分形”的特征。黄钟律是“分形结构”的初始条件，“三分损益”(取弦长的2/3或4/3)则是自相似的常量，生律依照基本条件不断重复发展，永不停歇。生律越多，黄钟越接近本位，但终归无法回归本位。如同三分损益所致黄钟不能还原，分形特征的图形永远无法形成闭合。由此可见，三分损益法中包含的数理逻辑存在着分形特征。中国古老的道家学说与20世纪的数理逻辑在“三分损益法”寻找到了共通点(见图5)。

结语

从巴赫的古钢琴杰作，到约翰·凯奇的“加料钢琴”实验，从申克的还原分析法到三分损益的生律原则，基于混沌分形理论的，研究者能够在音乐形态方面获得全新的研究视角，并且很多创作观念进行深入的思考。音乐是人类智慧活动的产物，是人类思考万事万物的规律的音声表达，其中也必然显示出宇宙运行的某些规律，因此音乐作品中流露出混沌与分形特质并不罕见。我们探索音乐中的混沌分形，尝试深入的理解音乐作品，也试图透过这些作品，进一步发现世界万物的本质特征。由此可见，从具象的音符到宏观的观念思想，混沌与分形理论不仅帮助我们理解音乐作品，其在音乐中的体现也能够反观世界的奥妙。

(责任编辑 张 璟)

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：ADOI：10.3969/j.issn1003-7721.2017.03.010

1003-7721(2017)03-0091-08

2017-04-10

康 啸，男，音乐学博士，中国音乐学院音乐研究所副研究员,北京市民族音乐研究与传播基地专职研究员，英文学刊《音乐中国》编辑部主任(北京 100101)。