一种应用于欠采样图像的自适应稀疏重建方法*

2017-09-18

电讯技术 2017年9期

(重庆邮电大学光电工程学院，重庆 400065)

管春,陶勃宇**

(重庆邮电大学光电工程学院，重庆 400065)

针对图像稀疏重建中因使用固定参数的全变分(TV)正则项所带来的图像细节缺失和阶梯效应问题，提出了一种自适应二阶广义全变分(TGV)约束的图像稀疏重建算法。该算法采用二阶广义全变分模型权衡图像的一阶导数和二阶导数，且能够根据每次迭代得到的重构解及对应张量函数自适应地修正权重系数，实现图像的稀疏重建。与全变分正则模型和固定参数广义全变分正则模型相比，该算法能更好地保持图像轮廓和细节信息，提高重建图像的峰值信噪比(PSNR)和结构相似度(SSIM)。

图像处理；稀疏重建；压缩感知；广义全变分；自适应正则约束；分裂Bregman算法

1 引言

压缩感知(Compressed Sensing,CS)理论指出完备正交空间中具备稀疏特征的信号可以通过非相干性欠采样获得的少量数据，结合适当的重建算法高概率精确地恢复出原始信号[1]。在现阶段重建算法中，全变分(Total Variation,TV)范数最小化约束模型利用了图像本身具备的稀疏特性，可以在抑制噪声的同时保留图像几何特征，在欠采样图像重建中得到了大量运用[2]。但全变分范数只使用了图像的一阶导数信息，无法很好地重建纹理细节区域，且易产生块状阶梯效应。

2010年，Kristian等人[3]提出了广义全变分(Total Generalized Variation，TGV)数学模型，其基本思想是引入高阶梯度信息，通过任意阶的多项式来逼近目标函数，有效地解决了阶梯效应问题。2011年，Knoll等人[4]率先将广义全变分函数作为正则约束项来重建磁共振图像，其重建效果和全变分约束相比能够明显改善图像伪影，且对噪声具有良好的抑制效果，但重建图像仍然具有高频混叠和锯齿状边缘。2013年，Ferstl等人[5]采用各向异性的广义全变分函数并结合一阶原始对偶算法来重建深度欠采样图像，但该方法需要预先获得基准数据集并通过多次迭代学习来对其进行优化。2015年，Ryan等人[6]将重建图像投影到归一化区间作为约束集并联合范数约束对图像进行重建，对含噪声图像具有良好的重建效果，但该方法需要对图像所有像素投影，而对投影区间粒度划分的差异会影响图像的重建效果。

传统广义全变分模型的权重系数是全局固定的参数，无法很好地衡量图像细节区域和纹理区域，导致重建图像细节信息不够完善。因此，本文提出一种自适应二阶广义全变分约束的图像稀疏重建方法。实验表明，本文方法能够改善图像线性部分丢失的问题，提升重构图像的边缘纹理细节的保持能力，相比于固定参数模型具有一定的优势。

2 广义全变分正则约束

2.1广义全变分模型

压缩感知理论中图像稀疏重建问题本质上是寻找满足欠采样条件下的最佳稀疏解的过程。求稀疏解的问题可以表示为如下最优化问题：

(1)式中：u为原始图像，Ψ为稀疏变换矩阵，Φ为欠采样矩阵，‖ΨTu‖0代表原信号在某个变换域中的非零元素个数。式(1)的求解属于NP难问题，直接求解会产生无穷解。Donoho等人[7]证明在满足采样矩阵和稀疏变换矩阵高度不相关的前提条件下，可以将l0范数求解问题转换为l1范数求解问题，从而借助线性规划理论进行求解。这类算法主要有基追踪类算法[8]、梯度投影算法[9]、交替迭代类方法等[10]。

广义全变分模型能够借助高阶多项式来对最小化方程进行逼近，有效地避免了全变分正则项中出现的阶梯效应。广义全变分模型属于巴拿马空间半范数，本身具有映射旋转不变、下半连续和凸函数特性，保证信号稀疏映射的完整性。由于二维图像可以通过分段仿射面逼近，本文采用二阶广义全变分模型作为最优化方程稀疏约束条件，其离散梯度表达式为

(2)

式中：Du为离散梯度算子;v为二级对称张量函数;ε(v)为二阶对称梯度算子;a0和a1为权重系数，用来平衡图像一阶导数和二阶导数。将式(2)作为最优化方程正则约束，则基于压缩感知的图像稀疏重建问题表示为

(3)

式(3)所表示的最优化方程中，前一项是数据拟合项，要求重构图像和原始图像的均方误差尽可能小，从而保证重建解和真实解尽可能逼近；后一项作为正则约束，即本算法采用的二阶TGV范数，用来约束最优化方程，保证重建误差或者叠加的噪声不会被人为过度放大。参数λ用来平衡这两项多项式。

2.2权重系数自适应

在原有广义约束模型中，经验的全局固定权重系数一般设置为a1=1，a0=2。广义全变分模型替换了全变分模型后，由于高阶变分函数的引入可能会导致矩阵乘法的不闭合性，固定参数模型无法很好地权衡拟合项和最小化约束的要求，影响重构图像的线性部分和边缘部分[11]。

在l1范数的无约束最优化问题中，权重系数越大的项，其惩罚值越大，约束效果越强。基于外罚函数的特点，本文提出一种动态调整惩罚值的方法，即对于光滑平坦的图像区域，其离散梯度值和张量函数值较小，应当增大权重值来抑制阶梯效应；对于细节纹理区域，其离散梯度值和张量函数值较大，需要减小权重值来减小罚值。因此，在每次迭代计算，a1设为当前迭代步骤的重构解和张量函数l1范数的倒数，a0设为当前迭代步骤中的二阶对称梯度算子l1范数的倒数，即

(4)

(5)

(6)

3 分裂Bregman数值迭代算法

(7)

其中，各中间变量的更新如下：

dk+1=dk+(Duk+1-vk+1-Mk+1)，

bk+1=bk+(ε(v)k+1-Nk+1)。

(8)式中：L为待求的目标函数，μ1和μ2为非负惩罚系数，M和N为拉格朗日乘子项，d和b为辅助变量。文献[13]指出当辅助变量d和b趋于零时，式(7)的增广拉格朗日方程和式(6)的最优化问题是同解的。

3.1子问题求解方法

3.1.1(uk+1,vk+1)子问题

根据式(8)中各个中间变量的表述，分别计算图像的水平离散梯度Dx和垂直离散梯度Dy，借助一阶必要条件和周期性边界条件，分别对目标函数取关于u、v的水平和垂直梯度[14]。uk+1中的子问题可以通过快速傅里叶变换求出：

(9)

式中：F代表傅里叶正变换，F-1代表傅里叶逆变换，Acs*代表压缩感知算子的共轭矩阵。

(10)

式中：“.*”代表矩阵的点乘运算;A1、A2、B1、B2分别为中间变量，且I=DxVy+DyVx,即

(11)

3.1.2(Mk+1,Nk+1)子问题

借助非线性shrinkage收缩算子[15]可以求解中的Mk+1和Nk+1问题，即

(12)

3.2算法迭代步骤

采用3.1中描述的分裂Bregman算法进行最优化问题求解，具体算法具体步骤如下：

Step2 执行式(9)更新参数uk+1，执行式(10)更新参数vk+1，执行式(12)更新参数Mk+1,Nk+1，执行式(8)更新辅助变量dk+1,bk+1。

4 实验结果及分析

为验证本文提出的算法能够保留重建图像细节特征，分别从伯克利分校(UC Berkeley)的开源图像库选取3幅具有代表性的256 pixel×256 pixel分辨率的单通道灰度图像，分别为Coral Thicket(纹理细节单一)、Cameraman(纹理细节适中)、Flower(纹理细节复杂)。实验软件平台统一采用Matlab 2016a，硬件平台是CPU为Intel E3-1231 v3 3.4 GHz，内存为16 GB的Windows10 台式机。实验结果的衡量指标采用峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio,PSNR)和结构相似性(Structure Similarity,SSIM)。

图1是采样率为20%时，3种算法对Coral Thicket的重建效果。图1(b)中，PSNR=27.46 dB，SSIM=0.731，TV模型重建图像整体细节纹理缺失，呈现块状阶梯效应；图1(c)中，PSNR=31.41 dB，SSIM=0.793，TGV模型重建图像细节有所提升，但珊瑚丛边缘和根茎等线性部分呈现效果不佳；图1(d)中，PSNR=32.73 dB，SSIM=0.814，本算法重建图像整体纹理细节更完善，其PSNR相比于TGV固定模型提高了1.32 dB，SSIM值提高了0.021。

图1 采样率为20%不同算法重建Coral Thicket 图像Fig.1 Reconstructed Coral Ticket image by different algorithm where sampling ratio is 20%

图2是采样率为20%时，3种算法对Camera-man的重建效果。图2(b)中，PSNR=24.03 dB，SSIM=0.687，TV模型重建图像的阶梯效应比较明显，出现明显的块状区域，且建筑物轮廓信息丢失较为严重；图2(c)中，PSNR=27.30 dB，SSIM=0.752，TGV 模型重建图像的图像颗粒感有所减轻，建筑物整体轮廓更清晰，但图像中人物边缘和建筑边缘细节不清楚；图2(d)中，PSNR=28.64 dB，SSIM=0.833，本文算法重建图像的人物和建筑物边缘细节保留相对完整，其PSNR值相比TGV固定模型提高了1.34 dB，SSIM值提高了0.081。

图2 采样率为20%不同算法重建Cameraman 图像Fig.2 Reconstructed Cameraman by different algorithm where sampling ratio is 20%

图3是采样率为20% 时，3种算法对Flower的重建效果。图3(b)中，PSNR=23.81 dB，SSIM=0.637，TV模型重建图像中花瓣边缘信息丢失明显，花蕊颗粒模糊不清;图3(c)中，PSNR=24.46 dB，SSIM=0.671，TGV模型重建图像中花瓣边缘信息明显改善，花蕊颗粒更清晰，但图像中高频混叠仍然较为明显；图3(d)中，PSNR=26.14 dB，SSIM=0.765，本文算法重建图像的花蕊和花瓣区域相比主观视觉更好，轮廓信息保留更完整，其PSNR值相比TGV固定模型提高了1.68 dB，SSIM值提高了0.094。

图3 采样率为20%不同算法重建 Flower 图像Fig.3 Reconstructed Flower by different algorithm where sampling ratio is 20%

表1给出在3种采样率下对3组重建图像衡量指标的统计。从两个方面对表1中的实验结果进行分析，可以看出本文所提算法具有一定优势。其一，对同一图像的重建结果进行对比分析，图像采样率越低，重建优势越明显。如:Coral Thicket图像重建结果中，本文算法与固定参数的TGV模型对比，在采样率为20%、33%和45%时，PSNR值分别高1.32 dB、1.08 dB、0.78 dB。其二，对同一采样率下的不同图像重建结果进行对比分析，图像纹理细节越复杂，PSNR值越高。如:在20%欠采样率下，对 Coral Thicket、Cameraman、Flower进行重建，本文所提算法重建结果的PSNR值比固定参数的TGV模型分别高了1.32 dB、1.34 dB、1.68 dB。

表1 3种采样率下不同图像在3种算法下重建实验结果Tab.1 Reconstructed image simulation results with different sampling ratio and algorithm

5 结论

本文在压缩感知理论框架下，提出了一种自适应二阶广义全变分约束的图像稀疏重建方法。该方法能在迭代计算中自适应修正权重系数，提高重建图像的纹理细节保持能力。实验结果表明，与固定参数模型相比，该方法能提高重构图像质量。但本文方法对纹理复杂图像的重建效果仍有待加强，下一步可以结合图像分块理论和贝叶斯统计理论来进行研究。

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AnAdaptiveSparseReconstructionMethodforUndersamplingImages

GUAN Chun，TAO Boyu

(School of Optoelectronic Engineering,Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing 400065,China)

Considering the image detail loss and staircase effect problems caused by the fixed parameters of total variation(TV) regularization constraints in image spare reconstruction,this paper proposes an adaptive sparse image reconstruction algorithm by using second-order total generalized variation(TGV) model as the regularization constraints. The second-order TGV model is applied to balance the first and second derivative in images,and it can automatically modify the weights on the basis of each iteration solution and tensor function to achieve image sparse reconstruction. Simulation results show that compared with the TV model and fixed TGV model，this algorithm can maintain both image detail information and image outline,as well as improving peak signal-to-noise ratio(PSNR) and structure similarity(SSIM) of the reconstructed image.

image processing;sparse reconstruction;compressed sensing;total generalized variation;adaptive regularization term;split Bregman algorith

date:2016-11-18；Revised date：2017-04-12

10.3969/j.issn.1001-893x.2017.09.001

管春,陶勃宇.一种应用于欠采样图像的自适应稀疏重建方法[J].电讯技术，2017,57(9):981-985.[GUAN Chun，TAO Boyu.An adaptive sparse reconstruction method for undersampling images[J].Telecommunication Engineering,2017,57(9):981-985.]

TN911.73

：A

：1001-893X(2017)09-0981-05