半开式离心叶轮与扩压器间流动模态提取与分析∗

邵昱昌 王 彤

（上海交通大学机械与动力工程学院）

半开式离心叶轮与扩压器间流动模态提取与分析∗

邵昱昌 王 彤

（上海交通大学机械与动力工程学院）

考虑到半开式离心叶轮叶顶间隙流动对离心压缩机流动稳定性的影响，本文采用动态模式分解的方法对比了离心叶轮和无叶扩压器分别在设计工况和近失速工况下的流动结构及其频率信息。结果表明：叶轮出口附近的叶顶间隙流动对无叶扩压器中流动有显著影响，无叶扩压器中出现了和叶顶泄漏流流动相关的涡结构。随着流量的减小，叶顶间隙流动进一步影响无叶扩压器内部流动，涡结构频率变高，径向直径减小并向动静交界面移动，同时靠近盘侧的流场出现不稳定流动趋势。

离心式压缩机；叶顶间隙；无叶扩压器；动态模式分解

0 引言

与闭式叶轮相比，半开式叶轮极限圆周速度大，单级压比高的优点而受到广泛的青睐。随着机械装置向轻量化、高负荷发展，其应用范围正在不断拓展。对于半开式离心叶轮，虽然可以降低应力提高转速，而叶顶间隙的存在，不可避免地产生叶顶泄漏流动。叶顶泄漏流和叶片通道的二次流相互作用，进一步和主流相互掺混，导致了叶轮和扩压器中复杂的流场结构。

Senoo和Ishida[1-2]在上世纪八十年代研究了叶顶间隙对压缩机效率和压升损失的影响，结果表明叶顶间隙大小是影响间隙损失的重要因素之一。2008年Schleer和Abhari[3]指出叶轮出口的流动结构和叶顶间隙处的流体流动密切相关。国内刘长胜[4]、吴海燕[5]等人研究了叶顶间隙对离心式压缩机气动性能的影响。2007年楚武利[6]采用数值模拟方法研究了不同的叶顶间隙对流场的影响，结果表明泄漏流动和通道涡的相互作用严重影响了通道中的流场分布。2012年刘正先[7]通过对半开式离心叶轮几种不同间隙结构下流动参数进行分析，指出叶顶间隙流主要对流道后半段的主流产生影响，叶片吸力面形成涡流聚集区，造成能量损失。

叶顶间隙不仅影响了离心叶轮的气动性能和流场结构，也影响了整个离心压缩系统的流动稳定性[8-9]。在工程实际中，人们常用叶顶喷气和机匣处理等清除叶顶间隙低能流体来实现扩稳。叶顶间隙流体的运动和旋转失速的产生有何关系？2017年Zhao[10]为了解答这个问题，对Krain叶轮非定常流场进行了数值模拟，结果表明在小流量时叶顶间隙位置存在周期性的压力脉动，频率约为二分之一叶片通过频率。近失速工况下和叶片前缘分离流动相关的低频信号会出现。

可见，叶顶间隙流场作为离心压缩机流场中的重要相关因素，可以通过模态分解的方法进行提取，以研究其运动演化规律。Cizmas[11]和Sterian[12]将本征正交分解方法应用在叶轮机械的数值模拟流场中，成功提取出速度场和压力场的主要流动结构。Schmid[13]在2010年提出了基于整体稳定性分析的动态模式分解方法（DMD）。该方法可以对流场的时序数据进行分析，可以得到非定常流场不同拟序结构的时空演化特性。通过DMD方法获得的流场结构具有单一的频率，可以准确的抓取出叶顶间隙流场中的流动结构。

1 动态模式分解算法

动态模式分解来自整体性稳定分析中的koopman映射方法，使用koopman映射可以将流场展开成koopman模态的叠加。Rowley[14]指出DMD模态和koopman模态具有等价性，即在线性系统中，DMD模态的特征值即为koopman模态的特征值。在非线性系统中，DMD模态的特征值为koopman模态特征值的近似值。

基于迭代方法的Arnoldi算法常用来求解一个矩阵的特征值或者解决其他代数问题。在Arnoldi算法中，对采集得到的数据进行数学形式上的变换，得到式（1）：

此时伴随矩阵S反映了系统矩阵A部分的特征值信息。算法的关键在于求出一个合适的S使式1的残差最小。对进行奇异值分解

最后动态模式分解的模态为：

模态Φi的特征值λi可以用复平面表示。特征值落在单位圆上的模态流动相对稳定，特征值不在单位圆上的模态流动不稳定。流场各阶模态的能量可以用对应模态的范数来表示。流场分析中取能量高的稳定模态，能量低的模态反映原始流场的流动信息少，可能是算法导致的噪声信号。

2 物理模型和数值模拟方法

研究对象来自某工业用空气压缩机。叶轮为长短叶片结构，叶片总数为16片，设计转速18300r/min。叶轮出口直径D=318mm，采用等宽无叶扩压器，宽度b=0.079D。

数值计算流道模型中叶轮包括两个长叶片和两个短叶片的通道，叶轮出口盘侧z=0mm，流道出口延伸至1.6D。叶轮流道网格如图1所示，绕z轴顺时针旋转。网格最小面交角17.36°，满足网格正交性要求。整个叶轮流道网格总数为160万，整个计算模型网格总数为200万。

图1 叶轮流道网格图Fig.1 The mesh of impeller

采用ANSYS CFX商用软件进行数值模拟。边界条件根据性能测试给定：进口设置为均匀入流，总温300K，总压101 325Pa；扩压器出口给定静压。湍流模型选取SSTk-ω模型。空间上采用高精度格式，时间上选取二阶差分格式，以便得到流场的精细化信息。非定常计算中叶轮旋转一周物理时间步取为256步。

图2比较了数值计算通道模型和整机实验的总压比曲线和多变效率曲线。二者趋势一致，在设计流量工况附近，流量系数约为0.08，多变效率达到最高。从图2中可以看出数值计算的总压比和效率都高于实验值。对比数值模拟通道和压缩机整机，数值计算模型不包括蜗壳及出口管道，未计算蜗壳及出口管道内流动损失，故认为数值模拟的性能结果合理，内部流场数据可以用于分析其流动特征。另外，由于空间、时间格式选用了高阶精度，导致数值计算在小流量点收敛困难，未能得到与实验一致的失速点。下文的近失速工况点为数值计算点。

图2 性能曲线图Fig.2 Performance curve

3 数值模拟结果讨论

3.1 叶顶间隙泄漏流发展特性

叶轮出口叶顶间隙位置的瞬态流线图如图3所示，其中红线代表流经叶顶间隙处的流体流线，黑线为主流流线，云图颜色代表当地z=0.9b截面上流体相对马赫数Ma。从图中可以看出流量工况不同，旋转叶轮内的流动运动规律不同。设计流量工况下，如图3（a），长叶片吸力面靠盖侧前缘处未发生明显的流动分离现象，流经该位置的流体大部分汇入到由长叶片吸力面和分流叶片压力面组成的流道（右流道）主流中，叶轮中后部叶顶间隙处的低能流体呈现螺旋状地汇入到由分流叶片吸力面和长叶片压力面组成的流道（左流道）主流中，也就是说左流道出口处存在着由于叶顶泄漏流而产生的三维涡结构。

当流量降低到近失速工况时，从图3（b）中可以看出此时长叶片吸力面靠近盖侧前缘处就发现明显流动分离现象，该位置的流体开始汇入到左流道主流中，恶化了叶轮中后部左流道中的流动。同时叶轮出口的低速尾迹区开始向叶片吸力面移动。

图3 叶轮流线图Fig.3 The streamlines of impeller

从叶顶间隙泄漏流与主流相互作用可见，在小流量工况下，叶轮主流通道流动分离是从进口处就会产生，进而影响叶轮通道中后部区域，并发展到无叶扩压器中。该流动结构与旋转叶轮通道相关，其模态的频率与叶片通过频率相关。

3.2 离心式压缩机动态流场模态分解

动态模式分解算法结果的准确性与采样频率fs和采样时长Ts的选取相关。Schmid指出在动态模式分解算法中采样频率fs至少需要是流场特征频率的2倍。实验证明采样频率fs是流场特征频率3倍时就可以得到较精确的结果。Pan[15]指出采样时长至少需要是流场中特征周期的一倍时才能准确捕捉到复杂流场的频率信息。在本文中采样频率fs=4fb=19 520Hz，采样时间Ts= 2Tn=2/305s，其中fb=4880Hz为叶片通过频率，Tn=1/fn=1/305s为叶轮转动一周的时间。在该采样频率和采样时长下，动态模式分解算法可以捕捉到150～9760Hz范围内的流场模态信息。

3.2.1 设计工况

设计工况下叶轮出口不同高度轴截面相对速度场和压力场的模态分解频谱如图4所示，其中横坐标为特征值的实部，纵坐标为特征值的虚部。模态的频率信息f由式（5）可得：

图4 叶轮流场模态频谱图Fig.4 The spectrum of modes in impeller

频谱图中能量越高的模态，点直径越大，无论是速度场还是压力场，三个轴截面上高能量的模态重合在一起，而低能量的模态在不同轴截面上稳定性和频率存在差异。从图4中可以看出高能量模态特征值都分布在单位圆上，流动相对稳定。不在单位圆上的低能量模态流动不稳定，不是流场中主要流动结构。横轴上单位圆的点的频率为0，其模态代表了流场中与时间无关的平均信息。对比速度场与压力场的模态分解频谱，二者都显示出fb和1715Hz两个共同频率。速度场和压力场相比多了由于叶轮旋转而产生的叶轮转动频率305Hz模态，由此在速度场主要模态附近都出现了该频率的影响。叶轮流场中的4880Hz模态体现了旋转叶轮所固有的模态信息，而1715Hz模态体现的是叶轮中后部叶顶间隙泄漏流与主流掺混的流动信息。

图5 叶轮模态流场图Fig.5 The flow field of modes in impeller

叶轮中和主流以及叶顶泄漏流相关的模态流场图如图5所示，三个截面从上到下分别是靠近叶顶间隙处的90%叶高轴截面（z/b=0.9）、50%叶高轴截面（z/b=0.5）和远离叶顶间隙处的10%叶高轴截面（z/b=0.1）。在代表主流流动的305Hz模态流线图中，50%叶高轴截面和10%叶高轴截面流动稳定，90%叶高轴截面受到叶顶泄漏流的影响，流线发生扭曲。由于叶顶泄漏流在叶轮通道中呈现三维特性，图5（b）中的流线较为紊乱，只在90%叶高轴截面分流叶片吸力面侧出现较明显的涡结构。图5（c）反映了叶顶泄漏流对叶轮出口压力场的影响，从图中可以看出相邻叶片通道压力波动的相位差为180°，叶轮出口压力面侧波动幅值最大。

设计工况下扩压器速度场和压力场的频谱图如图6所示，二者提取出的流场模态信息一致。除了与时间无关的0模态外，扩压器流场中725Hz模态的能量最高，亦存在该频率的高阶模态信息，说明这是扩压器流场中的一个基频模态。扩压器中的4 880Hz模态和旋转叶轮中流出的射流-尾迹结构相关，在本文中不做讨论。

图6 扩压器内流场模态频谱图Fig.6 The spectrum of modes in diffuser

图7和图8为无叶扩压器725Hz模态的流线图和压力云图。图7中箭头方向表示叶轮旋转方向。从图7中可以看出相邻涡的旋转方向相反。需要注意的是模态中涡的旋转方向并不代表真实涡旋转方向，模态中涡的旋转方向由逆时针变成顺时针再恢复成逆时针这一现象体现的是模态分解对流体周期运动规律的提取。也就是说四通道模型无叶扩压器中包含两个该涡结构，经过1/725s后该涡在周向上移动了45°。无叶扩压器中的725Hz频率的涡在轴向分布不均，在靠近盘侧轴截面涡核更加接近动静交界面，在靠近盖侧轴截面涡的平面流线图中未出现典型的涡核结构。图8为无叶扩压器中725Hz模态压力波动分布云图，从图中可以发现在50%叶高和90%叶高轴截面压力波动规律相同，10%叶高轴截面压力波动更加剧烈，无叶扩压器进口区域压力波动云图出现扭曲变形。

图7 725Hz模态流线图Fig.7 the streamlines of 725Hz mode

图8 725Hz模态压力波动等值线Fig.8 The contour of pressure fluctuation of 725Hz mode

对比图3可知，无叶扩压器中725Hz频率涡的数目和叶轮出口的叶顶泄漏流涡结构数目一致，同时725Hz模态和旋转叶轮中的1 715Hz模态两个模态的频率之和为2 440Hz，即为叶轮通道包含一组长短叶片的频率。也就是说无叶扩压器中的725Hz模态流场和旋转叶轮中的叶顶泄漏流相关，旋转叶轮中后部的叶顶泄漏流影响了无叶扩压器中的流场参数分布。

3.2.2 近失速工况

近失速工况（流量系数0.06）下旋转叶轮和无叶扩压器的频谱图如图9和图10所示。和设计工况相比，近失速工况下旋转叶轮中和叶顶间隙流动相关的模态频率从1715Hz变为1265Hz，无叶扩压器中和叶顶间隙流动相关的模态频率从725Hz变为1175Hz。1265Hz和1175Hz两频率之和仍为2440Hz。近失速工况下叶轮中的主要模态特征值仍分布在单位圆上，流动结构稳定。同时此时代表叶顶间隙流动的模态能量开始低于4880Hz模态能量。

图9 叶轮模态频谱图Fig.9 The spectrum of modes in impeller

图10 扩压器模态频谱图Fig.10 The spectrum of modes in diffuser

近失速工况下无叶扩压器50%叶高轴截面和90%叶高轴截面流场结构与设计流量工况下一致，流场能量仍稳定集中在1175Hz、4880Hz以及相关的倍频模态中，该类模态特征值分布在单位圆上。在10%叶高轴截面流场中未出现明显能量集中现象，大量模态的特征值开始偏离单位圆弧，流场结构信息随时间衰减。即流量减小时扩压器靠近盘侧截面流场结构不再稳定，新的流场结构开始产生。从图10（b）中可以看出在该平面的压力场中出现了特征值位于单位圆外的260Hz模态。该频率的流场结构能量随着时间在增强。

图11 1175Hz模态流线图Fig.11 the streamlines of 1175Hz mode

图12 1175Hz模态压力波动等值线Fig.12 The contour of pressure fluctuation of 1175Hz mode

近失速工况下无叶扩压器中1175Hz模态的流线图和压力波动分布云图如图11和图12所示。10%叶高轴截面速度场未捕捉到1175Hz频率的流动结构信息。随着流量的减小，从图11中可以看出，无叶扩压器中50%叶高轴截面和离心叶轮叶顶间隙流动相关的涡结构径向直径减小，涡核位置更接近动静交界面。从图12中可以看出无叶扩压器中50%叶高轴截面和90%叶高轴截面压力波动加剧，无叶扩压器中的高压力波动区域开始向出口区域移动。从图12中还可以看出近失速工况下，靠近盘侧的10%叶高轴截面动静交界面附近出现不规律的压力波动信息。

无叶扩压器压力场260Hz模态的压力波动云图如图13所示，从图中可以看出在动静交界面附近存在四对正负交替的压力团，每个压力团内存在尺度更小的不规律压力团。也就是说在近失速工况下旋转叶轮受到叶顶间隙流的影响，不同叶轮通道的流动参数开始出现不一致，影响了扩压器进口区域的流动稳定性。

图13 260Hz模态压力云图Fig.13 The contour of pressure fluctuation of 260Hz mode

4 结论

通过对离心压缩机设计工况和近失速工况下的动态流场进行动态模式分解，提取出叶轮与扩压器流场中对应流动结构的模态信息，经过分析可以得到以下结论：

1）叶轮叶顶间隙泄漏流影响了无叶扩压器中的流场分布，无叶扩压器中出现了和叶顶泄漏流流动相关的涡结构。

2）随着流量的减小，长叶片吸力面靠近盖侧前缘位置出现明显流动分离现象，影响了叶轮中后部的叶顶间隙流动。同时无叶扩压器流场受离心叶轮中的叶顶间隙气流影响加剧，涡结构频率变高，径向直径减小并更靠近动静交界面。

3）近失速工况下，不同叶轮通道流动参数出现不一致，扩压器靠近盘侧截面进口区域出现低于叶轮转动频率的压力脉动，影响了流场的稳定性。

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DMD Analysis of the Flow in an Unshrouded Impeller and Diffuser

Yu-chang ShaoTong Wang
（School of Mechniacal Engineering,Shanghai Jiao Tong University）

The tip clearance has a large impact on the flow stability of centrifugal compressors.In this paper the flow field in the impeller and vaneless diffuser is investigated with dynamic mode decompositioning to compare the frequency and the flow structures in the design and near stall operating conditions.The results confirm that the tip leakage flow affects the flow structure in the vaneless diffuser.The vortex is generated by the tip leakeage flow in the impeller and propagates into the vaneless diffuser.For mass flow rates lower than in the design condition,the influence of the tip leakage flow is more pronounced and the frequency of the vortex becomes higher.The radial diameter of the vortex is reduced and the vortex core moves closer to the impeller.This unstable phenomenon occurs close to the hub.

centrifugal compressor,blade tip leakage,vaneless diffuser,dynamic mode decomposition

TH452；TK05

1006-8155-(2017)04-0001-07

A

10.16492/j.fjjs.2017.04.0001

国家自然科学基金资助项目(51276108)

2017-06-12 上海 200240