培养思维活动方法 提高问题解决能力

湖北宜昌市长阳贺家坪中心校 向兴河

培养思维活动方法 提高问题解决能力

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一谈到数学学习，师生们首先想到的就是“会解题”。确实，解决数学问题是数学学习的重要方面，新课标也要求 “学生在学习基础知识和掌握基本技能的同时，不断积累解决数学问题的活动经验，获取分析问题和解决问题的能力”。那么，如何才能提高学生解决数学问题的能力呢？当然，基础知识与基本方法的掌握是万能的法宝，同时，培养学生有效的思维活动方法，也是促进学生有效、高效解决数学问题的重要环节。

一、图形拆分法，问题单元化

有许多几何题，图形复杂，学生望而却步，如果我们能对图形进行有效的拆分，使复杂图形变成一个个基本图形，就会达到使“问题层次清楚，知识点明显”的效果，自然问题也就迎刃而解。

例1 如图1，OC是半圆M的直径，点D在半圆上运动（点D与O，C不重合），∠OCD的平分线与半圆M交于点E，连接OE，交CD的延长线于点B，点A在直径OC上，且OA=OD。

（1）△OCB是什么特殊的三角形？为什么？

（3）过E作CO的平行线交CB于点N，当NA⊥OC时，求tan∠EOC的值。

图1

图2

图3

图4

拆分解析：图1是把圆、四边形、三角形等图形综合在一起，图形复杂，难度大，如果将原图进行合理的拆分，就可化繁为简，化难为易。

拆出图2，即可简单判断△OCB是什么特殊的三角形。

对于（2）问，我们从原图中拆出图3，易证△OEF～△BOD，求出或者作OC边上的高BG，通过求得出的值。

对于（3）问，设⊙M的半径为r，EF=a，则OA=2a，因为NE是△OCB的中位线，四边形AFEN是矩形，则NE=CM=OM=AF=r。我们从原图中拆出图4，在图4中求出OF。在直角三角形这一基本图形中，OF=2a-r，CF=2r-（2a-r）=3r-2a，根据EF2=OF·CF可求得则所以tan∠EOC=3。

二、情景舍弃法，问题核心化

有很多数学问题往往都被赋予某一数学问题情景，使得题目长，阅读量大，学生在分析问题的时候，容易受非数学问题因素的干扰，从而导致很难顺利解决问题。如果我们能从非本质的问题情景中摆脱出来，舍弃非本质因素，抓住问题的核心，就会轻松地解决问题。

1．舍弃文字式情景

例2 某企业生产一种产品，每件成本400元，销售价为510元，本季度销售量为m件。为了进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件售价降低4%，销售量提高10%，为使销售利润保持不变，该产品每件成本应降低的百分数是多少？

分析：如果舍弃问题的枝叶，留取主干，问题可简洁为：“原成本400元，售价510元，销售量m件，现售价降低4%，销售量提高10%，求成本下降的百分数。”这样思维变得简洁方便。

2．舍弃图形式情景

例3 如图5，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点M，N分别是边AB，AC上的动点，△AMN与△A′MN关于直线MN对称，点A的对称点为A′。当∠AM A′=30°时，求△BMC的面积。

分析：因为∠AM A′=30°，而∠NM A′是由∠AMN对折而来的，所以∠AMN=15°。在后面的分析中与∠NM A′无关，因此将图中的线段A′N和A′M舍弃，图形简洁为图6，使我们能够抓住核心图形进行分析，解决问题。（方法提示：过B作CM边上的高BG，根据即可求出面积）

三、抽象模型法，问题直观化

数学问题模型化，可使抽象的数学问题变得直观明了，便于归纳概括，帮助学生准确清楚地理解数学问题，解答问题。因此在教学中，要提高学生的建模能力，从而提高学生解答数学问题的能力。

1．式子型模型

首先根据数学问题列出数学模型，然后依照模型列出式子。这种思维活动方法就是将“解答题”变成“填空题”，这样就能迅速地解决问题。主要包括等式型、方程型、函数型三种模型。

例4 某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件。后来经过市场结果分析，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件。

（1）求商场按100元的价格出售该商品，一天可获得的利润是多少元？

（2）若商场经营该商品一天要获得利润2160元，则每件商品应降价多少元？

（3）每件商品降价多少元时，可以使商场每天所获得的利润最大？最大利润为多少？

第（1）问是等式模型：“总利润=每件商品的利润×件数”，将“每件商品的利润=100-80”和“件数=100”填入“总利润= × ”的空格中，列出算式即可解决问题；

第（2）问是方程模型：“每件商品的利润×件数=2160”。设每件商品降价x元，然后将“每件商品的利润=100-x-80”和“件数=100+10x”填入“ × = 2160”的空格中，列出方程即可解决问题；

第（3）问是函数模型：即“y=每件商品的利润×件数”。设每件商品降价x元，总利润为y元，将“每件商品的利润=100-x-0”和“件数=100+10x”填入“y= × ”的空格中，列出函数解析式即可解决问题。

2．表格模型

将抽象的数学问题表格化，使抽象思维变得具体直观，从中清楚地概括规律，解决问题。

例5 A、B两家公司都准备向社会招聘员工。两家公司的招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司年薪10000元，从第二年开始每年加工龄工资200元。B公司每半年薪5000元，从第二个半年开始每半年加工龄工资50元。从经济收入的角度考虑，员工选择哪家公司有利？

表格模型如下：

总之，掌握好数学基本知识、基本技能和基本方法是解决数学问题的基础，而培养学生各种思维活动的方法，更是不断提高学生的数学抽象概括能力、解决问题能力的重要环节。