行列式巧求平面法向量

董方翔

摘 要 在高考中，线面角，二面角问题无疑是出题频率最高的。解决这类问题最高效的解法无疑是运用空间向量求其平面的法向量。在此笔者推广一种新颖的巧求平面法向量的方法，即行列式巧求平面法向量。

关键词 线面角 二面角 行列式巧求平面法向量

中图分类号：G633.5 文献标识码：A

1 行列式背景及简单介绍

一阶

二阶

三阶

四阶

2 引入行列式法求法向量法

已知平面内不共线的两向量

设其法向量为，在三个方向的分项是为

则有：

即

3 典型例题

例1，在四棱锥中，底面，，，，，分别为中点，求面的法向量

解，以为原点，

为轴正方向

为轴正方向

过作底面垂线为轴正方向

建立空间坐标系：，

设，则

法向量

在此题中，若用常规方法，则要分别用，解两个方程来求解，其中还有参数。所以，在碰到求空间法向量，特别是平面内向量海带有参数时，行列式将是一种很简洁巧妙的方法。在二面角的求解中，此方法更有妙用。

例2如图，平面，是矩形，，与平面所成角为，点为中点，点在上移动，

求：当为何值时，二面角的大小为

以为原点，

为轴正方向

为轴正方向

为轴正方向

建立空间坐标系：

令面法向量為

又

总结，在立体几何中，线面角二面角问题固然棘手，但有了此方法后，计算繁复等困扰考生的问题便迎刃而解，更是省时省心的不二之选。endprint