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运用行列式求解平面法向量

2017-09-15汪泽辰

科教导刊·电子版 2017年24期
关键词:行列式

汪泽辰

摘 要 在求解有关立体几何的问题时,常常要用到法向量。用法向量求解决有关二面角的问题。相比如其它方法更直接也容易下手,而在求法向量的过程中往往会出错,因为需要联立三元一次方程,计算量大。因此,可以用一种更为简单且不易出错的方法求解法向量,这便是行列式。

关键词 行列式 法向量 求解

中图分类号:G634.6 文献标识码:A

1什么是行列式?

行列式在數学中,是由解线性方程组产生的一种算式,是取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和。

对于二阶和三阶行列式计算比较容易,中学生通过基本定义可以快速理解。

2应用行列式求法向量

然而行列式对于立体几何求解法向量,可以大大的降低运算,尤其针对动点问题。如下:

已知平面内不共线的两向量

设其法向量为,在三个方向的分项是为

则有:

3例题分析

例1:平面,是矩形,与平面所成角是,点下是的中点,点在边上移动,当为何值时,二面角的大小为

分析:因为面,那么为面的法向量那么可以设面的法向量为,并用将表示。

解:设

以为原点,

为轴正方向

为轴正方向

为轴正方向

建立空间坐标系:

解得:

例2:(2013,湖南)在直棱柱中,,,,,求直线与平面所成角的正弦值

分析:题中无虚设未知数,那么可以求出平面的法向量

解:常规解法

设是平面的一个法向量,

则 令,则

设于平面所成角为

使用行列式求解

解得法向量

评注:若与互相垂直的向量坐标都不为0,那么运算量不仅大,验算也很麻烦。若用行列式,便显得简洁明了,以减少计算中出现不必要的错误。endprint

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