基于能量变分原理的单向悬索结构固有振动分析

刘文洋，王鹏，张文福

基于能量变分原理的单向悬索结构固有振动分析

刘文洋1，王鹏2，张文福3

（1.黑龙江八一农垦大学工程学院，大庆 163319；2.中国建筑股份有限公司技术中心；3.南京工程学院建筑工程学院）

固有振动分析是结构动力分析的基础，其目的是计算结构的固有频率和振型。基于能量变分原理提出了单向悬索结构的固有振动分析的简化方法，给出了自振频率和振型的简化计算公式。利用有限元方法对计算结果进行了验证，误差均在5%以内。与传统的Rayleigh法相比，由于考虑了各阶振型之间的相互耦合作用，计算结果更加精确。该方法可用于悬索结构的动力分析，也可作为有限元方法的补充。

单向悬索结构；固有振动；能量变分原理；Rayleigh法

固有振动分析的主要任务是确定结构的固有频率和振型，它是结构抗风和抗震等动力分析的基础。应用有限元法可以较精确地求出悬索结构的频率和振型，然而这种方法需要专门的计算程序，不便于一般工程技术人员掌握，特别是在结构方案设计阶段，经常要对结构形式、结构或构件尺寸以及网格划分等进行调整，这样每次均要对计算机的输入数据进行大量的更改，使得计算工作加大，计算时间加长，因而不便对更多的结构方案进行快捷的比较分析。在这种情况下，寻求一种既满足一般工程精度要求、又简便易行的简化计算方法就显得尤为必要。

近些年来，国内外学者针对桥梁和屋盖悬索结构固有振动分析的简化方法做了许多工作。谢官模[1]等人用Rayleigh法推导出了大跨度悬索桥竖向振动基频的近似计算公式，考虑了吊杆和索夹等对动能的影响。鞠小华[2]用Rayleigh-Ritz法对已有的悬索桥一阶竖向自由振动频率近似计算公式做了进一步的改进，考虑了边缆和桥塔刚度的影响以及悬索桥自由振动的实际振型。才英俊[3]基于能量变分原理给出了单向劲性索结构振动频率的简化计算公式。沈世钊[4]用Rayleigh-Ritz法推导得出了索网、双层索系和横向加劲单向悬索结构自振频率的简化计算公式。张文福[5]分别用Rayleigh-Ritz法和Rayleigh法推导得到了索网结构、双层索系和劲性索结构振动频率的简化计算公式。

在前述研究的基础上，基于能量变分原理对单向悬索结构进行研究，提出了固有振动分析的简化方法。

1 分析的基本思想

式中，w为悬索结构的竖向位移。

将分析限于微幅振动情况，略去高于二阶的微量，计算出结构的总势能，然后由势能驻值原理得到基于能量变分原理的振型方程，由振型方程可求得悬索结构各阶频率与振型。

2 单向悬索结构的固有振动分析

2.1 基本假定[4-5]

对单向悬索结构进行固有振动分析时，首先作如下基本假定：（1）索是理想柔性的，只能承受拉力；（2）索的材料符合虎克定律；（3）索是小垂度的，且结构只做微幅振动；（4）仅考虑竖向位移，忽略横向位移；（5）左右支座均为固定铰支座。

2.2 能量变分法

图1 单向悬索结构计算简图Fig.1Structural model of single-cable structure

式中，f为索的垂度，l为索的跨度。

设振动位移函数为

如图1所示的单向悬索结构，其曲面方程为

其中，W（x）与时间t无关，但应满足边界条件，称之为振型函数或模态函数，其形式选为

经推导得到单向悬索结构固有振动问题的总势能为[5-8]

式中，E为材料的弹性模量，A为悬索的截面面积。

将式（2）和式（4）代入到式（5），经积分可得到单索结构的总势能表达式，由势能驻值原理，∂Π/∂Am= 0，可得

式（6）就是基于能量变分原理导出的单索结构的振型方程，由该方程可求得各阶频率与振型。

对称振动时（m、i均为奇数），取p＝7，则方程（6）的展开式为

这是一个关于四个未知数（A1、A3、A5、A7）的4×4阶齐次线性方程组。欲使Am有非零解，则其系数行列式必为零，从而得到关于ω2的四次频率方程。求得四阶固有频率（i=1，2，3，4）并回代入方程（7）可确定四个未知数Am。由公式（3）可叠加得到相应的振型，即

反对称振动时（m为偶数），由方程（6）可得

2.3 瑞雷（Rayleigh）法[9-10]

若振型函数（4）取为仅有一个待定系数的形式，即

将式（2）和式（10）代入到式（5），经积分可得到结构的总势能表达式，由势能驻值原理∂Π/∂A1=0，可得

若给定m，则可由式（11）求得相应频率，并由式（10）得到相应振型。显然，单个正弦项难以描述复杂的高阶振型，因而其误差较大。

3 算例

已知：一单层悬索结构，EA=89 760 000 N，f=4.2 m， l=80 m，H0=160 000 N，=120 kg·m-1，计算前4阶频率。解：由式（7）可解得m=1，ω/3.72（1/s）m=3，ω=4.98（1/s）

由式（9）可解得m=2，ω=2.87（1/s）m=4，ω= 5.74（1/s）

这里需要特别说明的是，当m＝2时所求得的频率为基频。这是因为索反对称振动时，索力增量为零，即与EA有关的项不出现在频率中，显然，此时结构体系消耗能量最小。所以平面索结构的第1阶频率一般以反对称为主[4-5]。

前4阶频率与有限元结果的对比见表1，可见应用能量变分法求得的频率是非常精确的。同时也发现Rayleigh法在求解反对称振动频率时与能量变分法是等价的，但在求解正对称振动时由于未考虑振型之间的耦合作用，导致误差很大。

表1 能量变分法与有限元法计算的单索结构自振频率比较Table 1Comparison of energy variational method and finite element method

4 结论

基于能量变分原理提出了单向悬索结构固有振动分析的简化方法，给出了自振频率和振型的简化计算公式。通过与有限元结果的对比，表明了能量变分法的计算结果是比较精确的，误差基本在5%以内，而且能量变分法的结果普遍比精确解偏大。此外，与Rayleigh相比考虑了各阶振型之间的相互耦合作用，因而能量变分法的精确性自然比Rayleigh法要好。该文提出的方法可用于单向悬索结构的动力分析，也可作为有限元方法的补充。

［1］谢官模，王超.大跨度悬索桥竖向振动基频的实用近似计算公式［J］.固体力学学报，2008（29）：200-203.

［2］鞠小华，廖海黎，沈锐利.对悬索桥对称竖弯基频近似公式的修正［J］.土木工程学报，2002，35（1）：44-49.

［3］才英俊，刘迎春，张文福，等.劲性索结构固有振动分析［J］.大庆石油学院学报，2005，29（2）：91-129.

［4］沈世钊，徐崇宝，赵臣.悬索结构设计［M］.北京：中国建筑工业出版社，1997.

［5］张文福.空间结构［M］.北京：科学出版社，2005.

［6］李占国，陈乃熙，史尧臣.PL型多楔带横向振动规律试验研究［J］.长春大学学报2016（12）：1-4.

［7］黄文怡，梁波，孙传宗.基于有限元的风力发电机底盘故障分析及改善方案［J］.黑龙江八一农垦大学学报，2015，27（1）：25-28

［8］张文福，孙晓刚，张红星，等.预应力双层索静力分析的能量变分解［J］.空间结构，2007，13（1）：29-31.

［9］Krishna P.Cable-Suspended Roofs［M］.New York：McGraw-Hill，Inc，1978.

［10］张文福，刘文洋.劲性索网结构的固有振动分析［J］.空间结构，2006，12（1）：55-58.

Natural Vibration Analysis of Single-Cable Structure Based Upon the Theory of Energy Variation

Liu Wenyang1，Wang Peng2，Zhang Wenfu3
（1.College of Engineering，Heilongjiang Bayi Agricultural University，Daqing 163319；2.China State Construction Technical Center；3.School Architecture Engineering，Nanjing Institute of Technology）

Natural vibration analysis was the basis of structural dynamic analysis to obtain the natural frequency and vibration mode. Simplified method for natural vibration analysis of single-cable structure was presented based upon the theory of energy variation. The formulas for natural frequency and vibration mode were given out and the accuracy of the results was validated by finite element method.The error was less than 5%in general.Comparing with Rayleigh method，energy variation method was more accurate because the coupling effect of each vibration mode was considered.The presented method could be used in dynamic analysis of suspension cable as well as the supplement of finite element result.

single-cable structure；natural vibration；theory of energy variation；Rayleigh method

TU393.3

A

1002-2090（2017）04-0099-03

10.3969/j.issn.1002-2090.2017.04.022

2016-05-09

黑龙江省科学基金项目（QC2016071）。

刘文洋（1981-），男，讲师，同济大学毕业，现主要从事多高层钢结构和大跨空间结构方面的研究。