“有心力”及其做功特点的简介

马剑

1有心力

质点受力通常与质点的位置、速度和时间有关。如果一确定的质点所受的力仅与质点位置有关，即：

F=F（r）

则称作场力，存在场力的空间称为力场。如图1所示，一点电荷受到另一固定电荷的静电力仅取决于该电荷相对于固定电荷的距离和方位，静电力为场力；将弹簧一端固定，另一端与质点相连，质点所受之力仅与弹簧受壓情况相关，亦为场力。以上两种情况中，质点受力作用线总是通过某一固定点，则将该场力称为有心力。

图1力场图1（a）为正点电荷周围引入另一正点电荷受到的场力。图1（b）为弹簧固定于O点，运动质点A受到弹性场力；黑点处表示弹簧自由伸展，弹性力为零。

高中物理知识体系中，除静电力外万有引力也是有心力，其大小是距离的单值函数。在课堂教学的过程中，也会时常遇到有心力做功的问题。例如：①（只考虑中心天体的万有引力作用）按椭圆轨道运行的行星机械能守恒问题；②库伦力做功时的电势能改变问题。

2有心力做功的理论推导

鉴于教师的长足发展，很有必要去弄清楚有心力做功的过程。不难证明，所有有心力场所做的功都与路径无关。在此作如下证明。

图2有心力做功如图2所示，设想把质点沿任意路径L从点P搬运到点Q，计算有心力F所做的功。由于有心力的大小和方向沿路径L逐点变化，在此将L分割成许多小线元。考虑其中任一线元dl，在其上的元功为：

dW=F·dl=Fcosθdl

沿着整个路径L从P到Q的总功为：

WPQ=∫QPF（r）cosθdl

考虑路径L上任一线元dl，令其起点和终点分别为K和M。从力心O作直线过P和K。以O为圆心过K、M、Q诸点作圆弧，交OP或其延长线于K′、M′、Q′，过M的圆弧交OK或其延线于N。以万有引力为例，在K点万有引力F的方向平行于KO。故上式中θ=∠NKM，cosθdl=KMcosθ=KN=K′M′=dr（由于dl较短可认为MN⊥KN），即移动线元dl时半径r增加。

WPQ=-∫rQrPGmm′r2dr=Gmm′（1rQ-1rP）

此式只与两端点到力心的距离rP和rQ有关，与路径L无关。

图3行星运动当行星按椭圆轨道从A运动到B的过程中（只考虑中心天体的万有引力作用），如图3所示。根据动能定理可得：

12mv2B-12mv2A=WAB=Gmm′（1rB-1rA）

12mv2B+-Gmm′rB=-Gmm′rA+12mv2A

只考虑中心天体的万有引力作用，绕椭圆轨道运行的行星机械能守恒得证。endprint