数学概念有效性教学的策略探究

钱耀泉

摘 要：概念教学是数学教学工作中极其重要的组成部分，是奠定数学知识与技能的关键环节，是构建数学知识体系的核心。然而，该部分的教与学并未得到充分的重视，笔者基于APOS理论，以教学改革为导向，结合认知心理学及形成性评价机制等，得到了概念教学策略的启示，并进行了教学的实证研究，尝试运用本文的教学策略组织概念课的有效教学。

关键词：数学教学 数学概念 APOS 有效教学 教学策略

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）07（a）-0216-04

1 研究背景

概念教学是数学教学工作中极其重要的组成部分，是奠定数学知识与技能的关键环节，是构建数学知识体系的核心。

然而，在实际教学中因对其重视程度不够，容易出现相应的问题。对中职学生而言，他们常常会忽略掉学习数学概念中思维与理解的过程，只机械地记忆概念的“文字定义”；或者对概念的理解仅停留于文字表面，难将其与相关知识点建立有机联系；又或者对概念的理解过于简单、片面、主观，而没形成正确的概念，这就直接影响到日后相关知识的构建与运用。对部分教师而言，则过度倾向于解题教学，而对概念教学未予以足够的重视，对于概念的部分往往简单引入，生硬地一带而过，又或者为了节省时间来讲题，直接把概念枯燥地灌输给学生，试问这些是我们提倡的“有效教学”吗？恰恰相反，若不让学生经历、体验数学概念的“猜想、发现、探究”过程，学生就如同“硬盘”一样被动地储存知识，未能有效地激发他们的学习兴趣，未能有效地引导学生“吃透”概念，真正掌握概念的内涵与外延，这样就直接剥夺了他们的思考空间，同时也遏制了学生思维的健康发展、创造性的发挥；这些都将直接影响到我们后续教学的实施与拓展。

2 数学概念课的教学有效性分析

2.1 数学概念有效性教学的内涵

数学作为反映现实世界空间形式与数量关系的科学，是由概念与命题组成的逻辑体系。其中，数学概念是反映现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式。数学是思维的科学，数学概念则是思维的细胞。概念乃思维的基本形式[1]，是对一切事物进行判断和推理的基础；是构成所有数学知识及技能的基础与核心，所以正确理解概念是掌握数学知识和技能的前提；数学概念是数学教学的载体，是构成数学学科的基础成分。教师只有让学生充分探索与理解，并灵活运用数学概念，才能使學生明确其内涵与外延。而学生也只有亲身经历过数学概念的探索过程，才能把概念真正学懂，理解并掌握概念的来龙去脉，才能在获得概念的同时，锻炼他们的探究、观察、分析、比较、归纳等能力。

2.2 数学课程标准及学业质量评价标准

《广东省中等职业学校数学课程标准》中指出：数学课程要提高学生的数学素养，倡导学生自主学习、探究学习、合作学习的学习方式，发挥学生在学习上的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯[2]。

《广州市中等职业学校数学课程学生学业质量评价标准》及《广州市中职学校公共基础课程学业质量评价标准的研究与实践》中均有提到：依据学业质量评价标准开展的学业质量评价则是指“学生在学校课程上所取得的成就（包括知识与技能、过程与方法和情感态度价值观）的测量和评价”。依据学业质量评价标准所开展的评价，既有学前诊断性评价，也有学习过程中的“形成性评价”，还有学后的终结性评价。在“数学”课中，学习经历是学生学习的核心[3][4]。

因此，笔者认为我们的数学概念教学应鼓励学生积极参与课堂活动，主动探究学习，让学生成为课堂真正的主人，并积极采用形成性评价机制，对学生学习过程的各方面作充分而周全的评价。总体而言，二者不但没有矛盾，而且相得益彰，更有利于充分调动学生学习的积极主动性，有利于课堂教学效率的提高，有利于课堂活动的顺利开展，会使我们教学如虎添翼！

2.3 理论依据——APOS层次学习理论

APOS理论是美国数学教育家杜宾斯基（Ed Dubinsky）专门为研究“数学概念的学习”而提出的理论。他在APOS：A Construction Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research中提出学生学习数学概念是需要心理建构的，其建构过程需经历四个阶段。

第一阶段——活动（Action）阶段：概念的引入阶段，是以学生已有的认知结构为基础，综合考虑学生的学情与认识规律，在认真分析所授概念的具体内容与其在概念体系中位置的前提下设置活动，让学生亲身经历，主动建构，从而对所授概念形成较直观的理解。

第二阶段——过程（Process）阶段：概念的定义阶段，是对“活动”进行思考一定的抽象得出概念的特有性质，从而初步形成概念的一般定义的“过程”。

第三阶段——对象（Object）阶段：概念的分析阶段，是对“活动”与“过程”的升华，将抽象出的概念赋予其形式化的定义及符号，成为一个具体的“对象”，并由学生主动将其纳入已有概念体系的阶段，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动。

第四阶段——概型（Scheme）阶段：概念的运用阶段，是“对象”阶段中概念本质和概念体系进一步的理解、揭示和实例化，最终要形成综合的心理图式。

APOS理论是对皮亚杰（J.Piaget）的“自反抽象”（Refle ctive Abstraction）理论的拓展，它对数学学习过程中学生的思维活动做出深入的研究，揭示了数学概念学习的本质。其建构的四个阶段应当循序渐进，这样建立起来的概念具有丰富的内涵，其中包含着概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想方法和概念的形式化对象等[5]。

3 概念有效性教学的策略探究endprint

笔者基于杜宾斯基的APOS层次学习理论，按照数学课程改革及学业质量评价标准的要求，以应用价值取向为导向，结合认知心理学与形成性评价机制，进行教学策略探究，得出概念教学策略的启示。

3.1 “直观感知概念”策略

心理学指出人类认识新事物是从感觉和知觉开始的，我们可从学生的专业实际出发，引入与概念最相符合的实例或实物，设计恰当的活动环节，让学生经历概念的探索过程，以最直观的方式建立并感受概念和体验数学与现实的联系，这样一来也有助于学生对概念的理解与运用。

3.2 “学生抽象出概念本质”策略

在直观感知的基础上，教师引导学生经历探索、分析、内化、归纳等系列思维过程，再由学生用“自己的语言”抽象出概念的本质，当学生遇到疑惑并不解时，教师再提出进一步进行指导。笔者多年来的做法是用“学生语言”来对概念进行定义、板书。其好处有其一，以学生为主体，让学生经历探索，激发他们思考，并得出概念的过程，印象尤为深刻；其二，锻炼他们的思维与表达能力；其三，作为同龄人表达的语言更容易被其他学生领会与理解。

3.3 “以错纠错”策略

在学生形成概念后，教师可通过运用“正例为主，反例为辅”的方式，在帮助学生巩固新概念的同时，通过适量的变式训练发现错题，及时纠正学生认知上的偏差，完善他们的知识体系，提升学生对概念掌握的准确性。

3.4 “多维度应用”策略

數学源于生活，因而按照应用价值取向为导向，我们不但要引导学生在后续的相关学习中灵活运用数学概念，反复构筑完整的知识体系，更要让数学知识回归到学生的生活或专业中，找到现实对应的原型，逐渐形成综合的心理图式。因此鼓励学生从多个思维角度运用数学解决生活或专业上的问题，进一步帮助学生更全面、更清晰地认识概念，并感受数学的应用价值，是个十分重要的策略。

3.5 “提升参与度”策略

在课堂上学生是学习的主体，他们的参与度直接影响到教学的达成度。因此，教师应当凭借形成性评价机制，鼓励学生或学习小组积极参与学习的全过程，适当增强学习的趣味性或竞争性，对在学习过程中表现积极的学生或小组给予及时的肯定、表扬或加分等，并对其进行记录，以提高学生的学习兴趣，促进教学各环节的顺利开展。

上述的策略1～4之间为环环相扣、循序渐进的关系，共同构成螺旋式上升的教学过程。而策略5则应贯穿于学习的全过程，是开展各环节良好的催化剂。

4 概念有效性教学策略的实证研究

近年来，该校借着市精品课程建设为契机，以人才培养目标为导向，并根据《中职数学教学大纲》和《广州市中职学生学业质量评价标准汇编》拟定课程教学目标，结合我校专业课程的设置，对数学课进行整合与开发，形成具有我校特色的数学教学内容。譬如：在“空间几何体”内容中，我们将柱、锥、台及球作了整合，并进行合理的开发，使之更符合学生实际的学习需要，更有效地促进学生学好专业课，使数学课更好地服务于专业学习。

下面笔者以《认识几何体》概念课为例，进行教学的实证研究，尝试运用该文的教学策略组织概念课的有效教学，以抛砖引玉。

4.1 《认识几何体》的课程地位简析

该课位于北师大版的《数学（基础模块）》（下册）第九章的第9.5节中，它的学习要求是要让学生经历认识各类几何体的学习过程，能准确判断简单几何体的类型，为后继学习空间几何体的侧面积、表面积及体积等起着非常重要的作用。学生只有准确辨认出几何体类型、充分理解几何体构造，才能正确进行而后的计算，才能正确解决相应工程量及预算分析等专业应用问题。因此本节内容是学生后续学习非常重要的奠基。

4.2 《认识几何体》教学实践案例

4.2.1 “直观感知概念”策略

上课开始前，笔者准备了许多带编号的几何体手工模型，包括柱、锥、台及组合体等，而且每一类的几何体又包含各自的小类别，譬如柱体模型中有大小不一的圆柱、直三棱柱、正四棱柱、斜棱柱、五棱柱及正六棱柱等模型，并对学生以同构异质的方式编排分组，让学生经历观察、探索“几何体的分类”。

环节1活动：一上课，笔者就将几何体的手工模型全部散乱地放在讲台上，学生见状都非常好奇，窃窃私语。

老师：同学们，这里有很多的几何体手工模型，犹如刚从市场买回来的一堆食材一样，有萝卜、青菜、鱼、牛肉等，杂乱无章地摆放着，现请各学习小组讨论一下，能不能将它们分门别类摆放好呢？

学生听到后，热情瞬间被点燃，纷纷展开激烈的讨论。不一会儿，各小组轮流展示分类的结果。在学生得出了几何体模型的正确分类后，教师板书几何体的分类柱体、锥体、台体、球体，并对分对的小组给予加分，最快分对的小组再加2分。

点评：在本环节中，学生经历了对各种几何体进行最直观的分类过程，学生用自己的眼睛和感觉去感知、探索、认识几何体，通过观察与比较，对各类几何体有一个大致的印象，有了初步的认识。但这对准确辨别几何体是不够的，还需要进行环节2的探索过程，深入探讨几何体的结构特征，完善几何体的概念。

4.2.2 “学生抽象出概念的本质”策略

在学生初步感知的基础上，笔者引导学生继续深入探讨，抽象出几何体的结构特征。

环节2活动：虽然在环节1已提出各类几何体的概念，但笔者并不急于解释这些概念，先卖个关子，反问学生请各小组再仔细观察、讨论，为什么它们能够放在一起呢？各类几何体分别具有怎样的结构特征？表达越准确，得分越高。

学生继续展开讨论，积极思考问题，然后小组轮流发言。虽然在一开始的回答比较稀奇古怪，譬如有学生说“都有相同的颜色、都比较小”等，但这些答案立刻遭来其他学生的反驳，随后学生的回答，其思维点变得越来越精准。

有学生说：“柱体都有两个平行的底面”。endprint

接着有学生补充：“它不但有两个平行的底面，而且是两个一样的底面”。

后来有学生给出更准确的表达：“柱体有两个平行且全等的底面”。

在学生精彩地探讨回答中，我们渐渐得到了较清晰的结构特征。笔者尽量用学生的原话板书各类几何体的结构特征，并按答案的精准度对他们的回答给予加分。

点评：学生在该环节中经历了小组思考、比较、归纳的过程，这是学生由感性认识上升到理性认识的过程，学生用自己的语言抽象出各类几何体的结构特征，锻炼了他们的能力，进一步提升学生对几何体概念的认知水平，同时让学生体会“由具体到抽象”的数学思想在清晰地认识几何体之后，仍需要通过适量的练习进行巩固，即环节3。

4.2.3 “以错纠错”策略

教师通过变式训练，审视学生对各类几何体概念的理解程度，发现错题，适时引导，及时纠正学生认识上的偏差，提升学生对概念掌握的准确性。

环节3活动：

老师：认识了我们的新朋友之后，请各小组看看学案，是否能准确辨认我们“生活中的几何体”？看哪个小组完成得又对又快！

各个小组在展开讨论后，争先恐后地抢答。答对的学生加分。大部分学生的回答都是正确的，唯独对某工地沟渠的判断上有较大的分歧——本课的一个难点。

老师：我们仔细观察一下，该几何体的结构特征是什么？

有学生说：它有两个上下平行且相似的底面，它是台体。

也有学生回答：不对！它有两个平行且全等的梯形底面，所有它是四棱柱。

有学生反应过来，接着说：这是个放倒着的四棱柱。

老师：恭喜你！回答正确！它其实是水平放置的直四棱柱。為什么它不是台体呢？

片刻，有学生说：真正台体的侧棱延伸能交于一点。

其余学生马上恍然大悟。通过教师的引导，学生学会抓住“结构特征”，准确地辨识了该几何体。

笔者趁热打铁，提醒学生注意“结构特征”的重要性。

老师：看来我们几何体的结构特征非常重要，下面来巩固该知识点。请各小组完成学案的第三部分的连线题和填空题（做对的学生可以加分）。

点评：在该环节中，笔者先让学生辨认“生活中的几何体”，它们或横着、或竖着摆放，这其实是种变式训练。同时穿插了一个难点“水平放置的四棱柱”，多数学生的第一反应是“四棱台”，在经过教师的引导后，学生就较快地能通过“结构特征”进行正确的判断，从而突破该难点。紧接着，教师再次引发学生思考它不是台体的原因，加深对“台体”的认识。通过该题也让学生重视对“结构特征”的学习，教师因势利导，让学生完成“结构特征”的巩固练习，完善学生的认知。

4.2.4 “多维度应用”策略

（1）学生结合本课的知识，发挥自己的空间想象能力，在学案上画出柱、锥、台等几何体的正视图、侧面展开图，进一步加深学生对各类几何体构造的认识。

（2）鼓励学生自由组合制作小组，在课后制作几何体手工模型，再次加深学生对几何体构造的认识。要求：学生3～5人为一组，选出组长，使用卡纸按要求制作几何体手工模型，根据团队合作精神及制作水平对组长及组员进行评分。

（3）鼓励学生在后续几何体表面积、体积以及专业课等相关学习中灵活运用本课知识，继续构筑完整的知识体系，逐步形成综合的心理图式。

点评：该环节是学生的课后作业，让学生结合本课知识，充分发挥学生的主观能动性，动手画出各类几何体的正视图、侧面展开图，动手制作几何体模型，使学生从多个思维角度感受几何体的构造，不仅可巩固本课概念知识，还锻炼了学生的空间想象能力，而且为学生在后续学习表面积、体积，以及专业课中土方量、预结算等知识奠定基础，同时这些也是形成综合心理图式的过程，从而增强了概念教学的有效性。

综上，笔者依据数学概念课的教学目标，采用形成性评价为主要的评价机制，通过设计了“几何体模型分类、归纳几何体的结构特征、变式训练、动手画画图”及“制作模型”等系列环节，从而激发了学生学习几何体的兴趣，引导学生经历了猜想、观察、分析、类比、归纳等探究过程，对其渗透从具体到抽象，从特殊到一般的思想方法，从而构建了各类几何体的概念，培养了学生空间想象、归纳总结及逻辑思维等能力，提升了他们的数学素养水平，初步达成本课的教学目标。笔者在后续的授课中得到良好的教学反馈。

5 总结与展望

诚然，数学是一门环环相扣、逻辑极强的学科。正如华罗庚先生所言：“数学的学习过程，就是不断地建立各种数学概念的过程”。唯有透彻、有效的概念教学，给学生预留足够的思考时间与空间，才能有效构建完整的数学知识体系，才能有效增强学生的变通力与创造力，才能有效地提高学生的数学素养。让我们拆卸掉学生“硬盘”的负累，让他们自由地走进美丽的数学花园，充分地吸收养分，探索神秘的数学世界，绽放出绚丽的思维之花，结出智慧之果！

参考文献

[1] 陈静安，张然然.数学概念有效教学策略研究[J].广东第二师范学院学报，2014（5）：101-105.

[2] 广东省职业技术教育学会数学教学指导委员会.广东省中等职业学校数学课程标准（初稿）[EB/OL].http：//vs-maths.guangztr.edu.cn/a/jiaoxueyanjiu/xiangguanwenjian/2010/0520/10.html，2006-06-20.

[3] 广州市中等职业学校数学与物理教研会编.广州市中等职业学校数学课程学业质量评价标准（征求意见稿）[EB/OL].广州市数理教研网.http：//vs-maths.guangztr.edu.cn/a/jiaoyanhuigongzuo/huodongqingkuang/2012/0924/305.html，2012-09-24.

[4] “中职学校公共基础课程学生学业质量评价标准的研究”课题组.中职公共基础课程学业质量评价标准的研究与实践2[EB/OL].广州市数理教研网.http：//vs-maths.guangztr.edu.cn/a/jiaoyanhuigongzuo/huodongqingkuang/2012/0924/306.html，2012-09-24.

[5] 李莉.学生学习数学概念的层次分析[J].数学教育学报，2002（3）：12-15.

[6] Ed Dubinsky， M. A. Mcdonald. APOS： A Constructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research. The Teaching and Learning of Mathematics at University Level[J]. Springer Netherlands， 2001：275-282.endprint