《函数的概念》教学设计

2017-09-12展胤

中学课程辅导·教学研究 2017年14期

关键词：值域定义域变量

展胤

一、教材依据

《江苏教育出版社》必修1 第二章第一节“函数的概念和图像”

二、教学目标

会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f（x）的含义；通过学习函数概念，培养学生观察问题，提出问题的探究能力。

三、教学重点

正确理解函数的概念，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

四、教学难点

函数概念及符号y=f（x）的理解。

五、教学方法

启发式与探究式

六、教学过程

一、复习引入

在初中，我们就已经学习了函数的传统定义，将函数看成两变量之间的依赖关系。现在我们学习了集合，函数也可以从集合的角度给出新的定义。

二、问题探讨

认真阅读课本上的三个例题，引导学生思考如下几个问题。

问题1：注意观察每个实例都涉及到了几个变量？

答：每个实例都存在两个变量。

问题2：每个实例中两个变量之间有什么关系呢？

答：当一个变量取一确定值时，另一变量有唯一确定的值与之对应。

问题3：那根据刚才的这些分析，大家能否用集合语言来阐述这三个实例的共同特点？

答：（1）每个问题都涉及两个集合A、B。

（2）两个集合之间存在某种对应。

问题4：大家能否从集合的角度给出函数的新定义？

（一）函数的定义

定义：一般地，设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的y與它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为：y=f（x）。其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f（x）的定义域，对于集合A中的每一个x，都有唯一一个输出值y与之对应，将所有输出值组成的集合称为函数的值域。

问题5：这个定义中有哪些地方值得大家注意的？

答：1.非空数集；2.任意性；3.唯一性。

问题6：我们能不能这样认为集合A就是函数的定义域？当然可以。那么，集合B就是函数的值域？

答：不可以。回到函数定义，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的y与它对应，这句话知识强调了对应过程中，B中元素的“存在性与唯一性”，并没有要求B集合只能包含与x对应的元素，所以，严格来讲，函数值域只是B集合的一个子集而已。

总结：（1）A、B是两个非空数集。

（2）集合A中元素的任意性，集合B中元素的存在性、唯一性。

（3）函数符号y=f（x）表示y是关于x的函数，f是指施加于x的某种对应法则。

（4）若f：A→B，函数的值域是C，那么CB。

例1 判断下列对应是否为函数。

（1）x→y，这里y=x，x∈R，y>0

（2）x→y，这里y=x2，x∈R，y∈R

（3）x→y，这里y=±x，x≥0，y∈R