浅谈初中数学中的分类讨论思想

梁澍刚

一、分类思想定义与特点

所谓分类讨论思想，就是当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略.分类思想有三个明显特点，一是对什么东西分类，即确定分类的对象；二是按什么标准分类，即选择分类的标准；三是分成哪几类，即确定分类的结果。通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。划分只是手段，分类研究才是目的.既可以将复杂的问题分解成若干个简单的问题，而且恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学素养。

二、分类讨论思想应遵循以下的原则

1、同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。

有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。

2、相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和，应当与母项的外延相等。

3、互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。

4、层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。有些对象的分类情况比较复杂，这时常采用“二分法”来分类，就是按对象有无某性质来进行分类。按“二分法”作分类，就是把讨论对象的外延一直分为两个互相矛盾的概念，一直分到不必再分为止。

四、分类讨论思想主要步骤

通过上述问题的讨论，分类讨论的思想方法在初中数学教材中有着广泛的渗透。在运用分类思想解题时主要步骤有：（1）明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；（2）对所讨论的对象进行合理分类（分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级）；（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决。（4）归纳总结：将各类情况总结归纳。

五、培养学生分类讨论思想的路径

分类讨论思想贯穿中学整个数学课程的始末，充分发挥分类讨论思想的优势，可以将复杂的问题大大简化，不仅有助于提升学生的学习效率，还有助于培养的数学思维能力。

1、概念、定理、公式讲解全面透彻

要做到全面、合理的分类讨论，拥有扎实的知识储备是必不可少的，因此，教师一定要对存在变化的数学概念、定理、公式进行全面的讲解，把各种情况透彻的传达给学生。

初中课本中很多定义、定理、公式本身是分类定义、分类概括的，教师在教学过程中要有意识地让学生在学习中逐渐的体会分类讨论的思想。初一数学课本在引入负数后即对有理数进行分类：将有理数分为正数、零、负数或将有理数分为整数、分数。让学生辨别不同分类的依据，初步体会分类要不重复，不遗漏；标准不同则分类不同的基本原则。此时可提出问题“-a一定是负数吗？”启发学生分a>0，a=0，a<0三种情况考虑。在学习绝对值的定义时，要有意识地启发学生从有理数分类进行认知的迁移，帮助学生概括出a>0，a=0，a<0时， 应如何表示，并要求学生能做一些简单的化简题。

在日常教学中的这种有序的、有目的渗透，使学生在学习的过程中逐步领悟出和接受解决问题中的分类讨论的思想，明确分类讨论的思想是解决某些数学问题的一种重要的、有用的思想方法。

2、 在单元小结、专题讲座中提炼与概括分类思想

在单元小结时，不仅要教会学生梳理知识，更要教会学生用数学思想方法进行“反思”。

由于数学学习中，有时同一内容可体现出不同的数学思想，而同一数学思想如分类思想又常常分布在许多不同的知识点中。于是，我在单元小结时注重从纵横两方面去整理单元知识中所蕴藏的数学思想方法，变教材的“单元内容小结”为“内容+数学思想方法”形式的小结。在单元小结中注意指导学生把常用的数学方法提高到思想方法的高度来认识，注意把数学知识所揭示的本质规律加以提炼、概括，使学生真正从思想方法上去掌握。

3、 在解题规律过程中突出与强化分类讨论的思想。

就分类討论思想方法而言，在题规律过程中以下两种情况居多。

一是由几何图形的可变性引起的讨论。在解题过程中有些几何问题的图形位置或形状不能确定，如果解题时进行统一处理，将会遇到较大困难，这时就必须进行讨论，把问题分成几类或几部分来处理，采取分而治之的方法来各个击破。

在实际教学中可以碰到很多这种习题。如：

1.等腰三角形的两边为4，6，求该三角形的周长？

2、 ⊙O的半径为5cm，AB和CD为⊙O中的两条平行弦，求AB和CD间的距离？

3、如图1，已知 中， ，点P在斜边AB上移动（点P不与点A、B重合），以P为顶点作 ，射线PQ交BC边与点Q。 能否是等腰三角形？如果能够，试求出AP的长，如果不能，试简要说明理由。

二是由数量大小不确定引起的讨论。在计算或推理过程中，遇到数量大小不能确定是应进行讨论。

它揭示了二次根式性质： 在分类讨论化一般为特殊，变抽象为具体所起的转化作用。又如解关于x的不等式：x2-（a-1）x-a≤0，此二次不等式的解应根据a与-1的大小来确定，因此同样要进行讨论。

总之，初中是学生接触分类讨论思想的起始站，教学中一定要揭示分类讨论思想的本质，进行渗透、概括、提炼与强化，使学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，掌握分类讨论数学思想方法这个锐利武器，从而提高学生的综合运用的能力和良好的思维品质。

参考文献：

[1]刁卫东.如何运用分类讨论思想解题.《中学数学》1997，5.

[2]王燕春.学会分类方法，提高分类意识.《中学生数学》，1998，5.

[3]蔡上鹤.《数学思想和数学方法》.endprint