有限元方法在结构动力分析中的应用

曹瑞峰++乔羽++高鹏

摘要：有限元法（FEM：FiniteElementMethod）作为一种最有效的数值方法，在工程实际中得到了广泛、深入的应用。本文阐述了FEM应用的有关过程，介绍了结构动力学及其有限元方法的研究内容，重点探讨了作为结构动力学分析重要手段的模态分析的研究过程。

关键词：有限元法；结构动力学；模态分析

1引言

FEM作为求解数学物理问题的一种数值方法，已经历了60余年的发展。有限元方法半个世纪以来已经由弹性力学平面问题扩展到板壳问题和空间问题，从静力学问题扩展到稳定性问题和动力问题，从一般的线性求解问题扩展到非线性求解问题，从典型的固体力学问题的研究扩展到相对复杂的流体力学等其他物理场的研究，从相对单一简单的物理场研究与计算扩展到多物理场的耦合问题的计算[1]。随着科学技术的飞速发展，各种复杂的结构设计层出不穷，新兴结构相继出现，因而以经验、类比和静态设计为设计方法的传统工程设计方法已经无法适应现代工程设计的需要，传统的设计开始向着动态设计转变。在此过程中，结构的动力学问题的研究起到了至关重要的作用。

2 FEM的应用过程[2]

2.1 问题的数学描述：建立微分方程及给出工程问题的边界条件作为列有限元方程的前提，运用数学方程和表达式对客观的工程问题进行描述

2.2 有限元方程的建立：建立一组可以用数值方法来求解的有限元方程，在建立有限元方程过程中通常会用到有限元理论中典型的原理和方法（例如利用变分原理，通过离散、单元分析、整体分析等过程来对有限元问题进行求解）

2.3 算法研究：在考虑有限元计算条件的前提下，利用最优算法对计算量巨大的有限元方程进行精确而有效地计算

2.4 程序开发：利用计算机程序来实现算法的求解

2.5 有限元建模：也即為有限元计算的前处理过程。它为数值计算提供所有原始输入数据（节点数据、单元数据和边界条件数据）

2.6 数值计算：有限元的数值计算是由一系列的计算机程序而组成，这样的计算程序又被称之谓求解器。特定类型的计算程序完成特定类型的有限元计算

2.7 结果处理：也即为有限元计算的后处理过程。它对计算结果进行处理、显示、运算和列表等

从过程（2.1）到过程（2.7）是求解有限元问题最典型而又完整的过程，合理运用这一过程可以使有限元问题得以求解。然而，对于大多数实际工程问题都是已知的问题，因此可以省略前四步过程而可从第（5）步开始，即直接利用已有的FEA系统（例如ANSYS、ADAMSD等大型商业软件系统），建立有限元模型。

3 结构动力学的研究内容

结构动力学是研究结构在动载荷作用下产生响应的规律的科学，或者说是研究结构、动载荷和响应三者关系的科学[3]。

结构动力学问题的有限元法，实质就是将一个弹性连续体的振动问题离散为一个以有限个节点位移为广义坐标的多自由度的振动问题。其基本原理和方法类同于静力学问题的有限元法，按照杆梁、薄板等不同结构进行分析。不同的是，应用振动理论建立动力学方程时，在单元分析中除需要形成刚度矩阵外，还需要形成质量矩阵、阻尼矩阵；在整体分析中，不仅求动力响应还有求解特征值问题（结构振动的固有频率及其相应的模态）。在动力分析中，由于惯性力和阻尼力出现在平衡方程中，因此引入了质量矩阵和阻尼矩阵，最后得到求解方程不是代数方程，而是常微分方程。

3.1 模态分析的研究内容与现状

结构动力学中的模态分析作为一种“逆问题”分析方法在求解动力学问题方面经历了将近50年的发展。模态分析是根据结构的固有特性，包括频率、阻尼和模态振型，这些动力学属性描述结构的过程。机械结构动态设计之中，机械结构的振动问题尤其是共振问题是机械设计工程师需要特别关心的，机械结构的共振或疲劳引起的结构破坏通常是因为在设计过程之中没有很好的解决振动问题。因此模态分析对于熟悉和了解机械结构的振动特性起到了重要的作用，进而可以避免在实际工况中因为机械结构的共振造成结构损坏。

3.2 ANSYS模态分析

ANSYS软件是集结构、热、流体、电磁、声学于一体的大型通用有限元商用分析软件，可广泛应用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、电子、造船、汽车交通、国防工业、土木工程、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等一般工业及科学研究。

ANSYS的模态分析过程包括四个步骤：

建立模型：建立项目名称并给定标题，定义单元属性（包括单元类型和实常数）、材料属性以及模型的其他相关几何性质；

（2）加载与求解：定义分析类型和分析选项，施加约束和载荷，指定模态阶数和频率范围，求解。应该注意的是模态分析与静力学分析不同，模态分析中唯一有效的载荷是零位移约束；

（3）扩展模态：将振型写入结果文件，只有扩展模态后才能在后处理中看到振型；

（4）后处理：经过扩展模态后，模态分析的结果包括固有频率、扩展的模态振型、相对应力和力分布将被写入到结构分析结果文件中去。

ANSYS提供了六种模态提取方法[4]：

（1）子空间迭代法：用于求解特征值对称的大矩阵问题；

（2）分块法：也可用于以上的问题求解，收敛速度更快；

（3）缩减法：这种方法较子空间迭代法速度快，但准确性相对要较差。使用缩减法时，必须仔细选择主自由度；

（4）阻尼法：有些问题阻尼不能忽略，阻尼法允许在结构中包含阻尼因素。

（5）Power Dynamic法：用于非常大的模型，主要是用在求解结构的前几阶模态以了解模型特征的问题；

（6）非对称矩阵法：用于求解模型生成的刚度矩阵、质量矩阵存在不对称的问题；

4 结束语：

FEM是20世纪 50年代发展起来的一种数值计算方法，随着有限元理论研究的逐步深入和计算机技术的飞速发展，FEM在结构动力学领域得到了广泛的应用。

参考文献：

[1]于亚婷，杜平安，王振伟.有限元法的应用现状研究[J].机械设计，2005，22（3）：6-8.

[2]王勖成，邵敏.有限单元法基本原理与数值方法[M].北京：清华大学出版社，1998.

[3]白松，徐新喜，高振海等.结构动力学研究及其在机动卫生装备中的应用[J].医疗卫生装备，2010，31（9）：45-49.

[4]程坤.PCR_80冷辗扩机模态分析及整机刚度多目标优化[硕士学位论文].合肥：合肥工业大学，2005，（4）：27.endprint