浅淡初中几何中一题多解

关树毅

摘 要：一题多解问题能够开阔学生的思路，提高学生综合运用数学知识的能力。而数学中以几何习题的一题多解最为常见。初中几何教学中，学生的能力培养是教学中的首要任务之一。在能力培养工作中，“一题多解”能力，占据几何教学能力培养的大部分比重。基于此本文举例说明了三个几何问题的一题多解，就此谈谈自己的看法。

关键词：初中；几何问题；一题多解

数学课程标准中，要求使学生经历站在不同角度，探索分析和解决问题的方法这一重要过程。使学生能够体验到解决问题的多样性方式，能够掌握分析及解决问题的基本技巧和方法。一道优秀的几何试题往往可以从不同的知识层面考査学生运用所学知识分析并解决问题的能力。一题多解能够从不同的角度启发学生获得解决问题的思路，当然多解要立足知识的交汇点，思路的发生整合点进行训练、注意度的调控。

1几何定理推导中的“一题多解”

应用定理解决问题是数学解题中的重要组成部分，但往往学生只注重定理的结论，而忽略定理的推导证明。下面给出证明三角形中位线定理的多种证明推导方法。

例1.在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点。求证：DE//BC且DE=0.5BC

证法1：由条件易得AD/AB=AE/AC=0.5，而∠A=∠A

∴△ADE～△ABC

∴DE/BC=AD/AB=0.5 ∠ADE=∠ABC

∴DE=0.5BC DE//BC

原命题得证

评注：此证法简单利用相似的方法，不作辅助线，证法简洁。

证法2：如图1-1，连结BE、CD交于点0

∵D、E分别是AB、AC的中点

∴点0是△ABC重心

∴OD/OC=OE/OB=0.5

∵∠EOD=∠BOC

∴△EOD～△BOC

∴DE/BC=OD/OC=0.5∠OED=∠OBC

∴DE=0.5BC DE//BC

原命题得证

评注：此法利用三角形重心性质和相似的方法，证法简练。

证法3：如图1-1，连结BE、CD

∵D是AB中点

∴CD是△ABC的中线

∴S△BCD=0.5S△ABC

同理S△BCE=0.5S△ABC，S△ABE=0.5S△ABC，S△BDE=0.5S△ABE

∴S△BCD=S△BCE S△BDE=0.5S△BCE

∵△BCD和△BCE有相同底边BC

∴△BCD和△BCE同底BC边上的高相等

∴DE//BC

∴△BDE边DE上的高和△BCE边BC上的高相等

∵S△BDE=0.5S△BCE

∴DE=0.5BC

原命题得证

评注：此证法利用三角形面积的等量关系和平行线的性质证明，证法简约、别具一格。

当然，三角形中位线定理的证明不拘于以上三种方法，也可构建直角坐标系，利用斜率以及点与点之间的距离等证明。以上三种证法简洁而精炼，体现了学生独立思考、积极探索的证精神，激发了学生学习数学的兴趣，同时也展示了学生的创新性和开拓力。“一题多解”对学生逻辑思维的培养具有显著的提高效果。

2几何计算中的“一题多解”

例2.如图1，在△ABC中，D是AC边上一点，AD∶DC=1∶2，E是BD的中点，AE的延长线交BC于F，求BF∶FC的值。

2.1运用平行线分线段成比例的性质

解法1如图2，过D作DM//AF交BC于M，由E是BD的中点，易证BF=FM，而CM∶FM=CD∶AD=2∶1，得到CM=2FM=2BF，于是得到BF∶FC=1∶3。

2.2添加辅助线，构造相似三角形，运用相似三角形的性质

解法2如图3，由于AD∶DC=1∶2，且AD、DC又在同一直线上，从而考虑从点A或点D出发添加平行线构造相似三角形，然后应用相似三角形的性质求解。

过A作AG//BC交BD的延长线于G，则△AGD～△CBD，△AGE～△FBE，从而AG∶CB=AD∶DC=GD∶BD=1∶2，AG∶FB=GE∶BE=2∶1，推出AG=2BF，AG=1/2CB，从而求得BF∶CB=1∶4，于是求出BF∶FC=1：3。

2.3利用三角形的面积比求解

因为等底等高的两个三角形面积相等，同高的两个三角形面积的比等于底的比，同底的两个三角形面积的比等于高的比。所以此题还可以从面积比入手，寻求解法。

解法3如图4，连结CE，分别作BP⊥AF交于P，CQ⊥AF于Q，易证△BFP～△CFQ，于是BF∶FC=BP∶CQ，因为△ABE与△ACE有同底AE，所以S△ADA∶S△ACE=BP∶CQ=BF∶FC，又因△ABE与△ADE等底同高，所以S△ABE=S△ADE，于是有S△ADE∶S△ACE=BF∶FC。又△ADE与△ACE同高，所以S△ADE∶S△ACE=AD∶AC=1∶3，于是得到BF∶FC=1∶3。

由于数学题往往存在着几种不同的解法，所以在解题时，可以尝试改换其它思路，寻找除了已有的解法以外，是否还有其它解法，并可以进而比较这些解法的繁简，从中选择最佳解法，若能长期坚持这样做，必定会开阔思路，提高解题能力。

3结束语

几何证明题千变万化，因此在做题时要善于观察、思考，从不同角度分析问题，力求灵活驾驭所学知识。遇到一个问题，通过多种途径给出多种解法，称为一题多解，这对提高自己对不同题目的分析、应变能力很有帮助。

参考文献：

[1]葛筱桀.浅谈几何证明中的一题多解[J].考试：中考版，2004（11）：8-9.

[2]馮喜奎.一道几何证明题的一点思考[J].读写算：教育教学研究，2010（25）.

[3]詹国梁.观察·联想·分析—几何证题的三要素[J].苏州教育学院学报，1985（1）：53-57.endprint