分析代入法在初中代数中的应用

关树毅

摘 要：代入法最初是数学解题方法的一种，主要集中运用在解方程组中，发挥着极其重要的作用。让计算变得更加简单，并且能够有效的验证答案的对错，减少出错率。本文主要分析代入法在初中代数中的应用，以供参考。

关键词：代入法；初中数学

代入法是一种基本的解代数题的方法，尤其是解方程组和求代数值时，代入法非常有效，使计算变得简便、快捷。而其中代数式求值是初中数学中常见的问题，也是中考、竞赛中常见的题型。下面通过一些数学解题实例来具体探讨一下代入法在初中数学解题中的应用。

1代入法概述

使用代入法的目的是“消元”，常被运用在二元一次的方程当中。通过简单系统选择，用X（未知数）来代替的方式进行求解问题。通过代入法运用，把二元一次转化为简单的一元一元方程，此时即可求解一元一次方程，把所得的值代入原来的二元一次方程中得出另一个值，此时，二元一次方程的问题就变得非常简单。

2代入法在初中代数中的应用

2.1整体代入法

“整体代入”是数学中常用的解题方法，其用法是当单个字母的值不能或不用求出时，将“含有字母的式子”看做一个“整体”直接代入到待求的代数式中去求值的一种方法，从而求出结果。通过整体代入，实现降次、归零、约分的目的，以便快速求得其值。

解题方法：首先应从题设中获取含字母的代数式（不含常数项）的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值。

例1.已知x2+x-1=0，求x3+2x2+3的值。

解：∵x2+x-1=0

∴x2+x=1

∴原式=x（x2+x）+x2+3=x2+x+3=1+3=4

评注：在单个字母取值不确定的情况下，某些代数式的求值要借助于“整体代入法”，即把某个代数式看作一个整体。用“整体代入法”求值的关键是确定“整体”。

2.2化简代入法

化简代入法是指把所求的代数式先进行化简，然后再代入求值。这是代数式求值中最常见、最基本的方法。

例2.先化简，再求值（a2b-2ab2-b3）÷b-（a+b）（a-b），其中a=1/2，b=-1。

解：原式=a2-2ab-b2-（a2-b2）

=a2-2ab-b2-a2+b2

=-2ab

当a=1/2，b=-1时，

原式=-2ab=-2×1/2×（-1）=1

2.3式子变换法

当已知条件或求值的代数式不易化简时，可以变换已知条件或求值的代数式，使两者之间建立联系。

2.3.1变换已知条件

例3.已知α是方程x2+x-1/4=0的根。求α3-1/α5-α4-α3-α2的值。

解：∵α是方程x2+x-1/4=0的根，

∴α2+α=1/4

原式=（α3-1）/（α5-α4-α3-α2）

=[（α-1）（α2+α+1）]/[（α-1）（α2+α）2]

=α2+α+1/（α2+α）2

=（1/4+1）/（1/4）2

=20

说明：把题目给定的条件经过适当变形，使之出现要求值的代数式且没有其他字母，这样就可以求出代数式的值。

2.3.2变换求值的代数式

例4已知x2-3x-2=0。那么，代数式[（x-1）3-x2+1]/（x-1）的值为（ ）。

解：[（x-1）3-x2+1]/（x-1）

=（x-1）2-（x+1）

=x2-3x

∵x2-3x-2=0，

∴x2-3x=2

故（x-1）3-x2+1/x-1=x2-3x=2。

说明：变换所求值的代数式，使它成为用已知条件中的式子表示的形式，然后代入求值。

2.4直接代入求值

直接代入法是做选择题时的一种高效、准确的解题方法，即直接将选项中的答案一一带入题目要求中，符合题意与题目要求的即为正确答案，因此，直接代入法也被称为验证法，可以有效地提高解题的准确性和做题的速度。

例5.求当α=-3，b=2/3时，代数式时代数式α2+ab+3b2的值。

分析：用宇母数值代替代数式中的字母按代数式指明的运算，计算出结果。

解：当α=-3，b=2/3时，

原式=（-3）2+（-3）×2/3+3×（2/3）2

=9-2+3×1/9

=25/3

评注： ①相应数字均应代人相应字母，特别是有两个或两个以上字母时，切不要代错。②代入时除按已知给定的数值，将相应的字母换成相应的数字外，其他的运算符号，运算顺序，原来的数值都不改变。③代数式中省去的“×”号或“？”号代入具体数后应恢复原来的“×”号，遇到字母取值是分数或者负数时，应根据实际情况添上括号。④代入时，一定要书写规范，如当α=-3时，α2=（-3）2，而不是α2=-32，（2/3）2不等于22/3等，只有书写规范，才能反映出代数式所隐含的运算顺序。

2.5取特殊值代入求值

例6.已知-1

A.a+b B.a-b C.a+b2 D.a2+b

分析：取b=-1/2，a=1/2，分别代入四个选择再计算得：A的值为0；B的值1；C的值为3/4；D的值为3/4。

解：选B。

例7.设（1+x）2（1-x）=a+bx+cx2+dx3，则a+b+c+d=？

分析：a+b+c+d恰好是a+bx+cx2+dx3当x=1时的值。故取x=1分别代入等式（1+x）2（1-x）=a+bx+cx2+dx3左边是0，右边是a+b+c+d，所以a+b+c+d=0。

解：填0。

评注：在选择题与填空题中，由于不用计算过程，也可以用特殊值法来计算，即选取符合条件的字母的值，直接代入代数式得出答案。

3结束语

在初中数学中，经常会用到代入法这种解题方法。而在一些數学解题方法中，除了代入消元法之外，还包括“微元法”、图像解题法，利用几何图形或是函数方法来解答和计算题目。直接代入法、特殊值代入法以及整体代入法都是行之有效的解题方法，可以为学生解题带来极大的便利。

参考文献：

[1]朱定符，葛余常，刘锦海.例说用代入法求分式的值[J].初中生数学学习，2002（32）.

[2]马先龙.巧用代入法求条件分式的值[J].初中数学教与学，2015（5）.

[3]陈永志.初中代数解题教学研究[D].广西师范大学，2016.