应用GeoGebra软件深入研究一道高考物理题——等量同种点电荷连线中垂线上的场强研究

(江苏省沭阳高级中学，江苏 沭阳 223600)

·现代教育技术·

应用GeoGebra软件深入研究一道高考物理题
——等量同种点电荷连线中垂线上的场强研究

殷正徐

(江苏省沭阳高级中学，江苏 沭阳 223600)

本文利用GeoGebra软件研究了等量同种点电荷连线中垂线上的场强，从动态演示验证规律、数形结合全面认识、数学运算求出极值等三个方面深入剖析，从定性到定量，从形象到抽象，由表及里，层层递进，使学生对等量同种点电荷连线中垂线上的场强有深刻认识，提高了学生应用数学知识解决物理问题的能力。

GeoGebra软件；同种电荷；电场叠加；数形结合

1 高考原题及分析

例题(2014年江苏卷)：如图1所示，一圆环上均匀分布着正电荷，x轴垂直于环面且过圆心O，下列关于x轴上的电场强度和电势的说法中正确的是( )。

图1

A.O点的电场强度为零，电势最低

B.O点的电场强度为零，电势最高

C.从O点沿x轴正方向，电场强度减小，电势升高

D.从O点沿x轴正方向，电场强度增大，电势降低

解析：根据微元法和对称性容易得出：圆环轴线上的电场分布，与等量同种电荷中垂线上电场分布相似。电场强度的叠加原理是高中物理的重要知识点，也是高考热点，在教学实践中常以两个等量同种(和异种)电荷的电场叠加为载体进行教学。如图2所示，两等量正电荷电量Q1=Q2=Q，以中点O为原点、在中垂线上建立x轴，由场强叠加原理可知，中点O处的场强为0，x轴上无穷处的场强也为0，而中间位置电场强度不为0，故中垂线上的场强分布特点：先增加，后减小。此模型如此经典，以致教师“老生常谈”，学生“耳熟能详”，其特点已内化为学生的常识。利用此“常识”，学生可以迅速排除C、D两个选项，进而顺利选出答案B，故笔者说这是一道简单题。

图2

当然，“简单”是针对设计的问题而言，要真正弄懂其场强变化规律并非易事。在实际教学过程中，有很多学生对此“常识”提出质疑：电场强度的大小可能先增大后减小，然后再增大、再减小吗？诸如此类的问题无法回避，必须深入研究。

有的老师用柯西不等式求极值[1]，有的老师用微积分进行求解[2][3]，有的老师描点作图寻求规律[3]，笔者觉得这些方法可以解决此类问题，但缺点也很明显：要么繁琐耗时，要么超出学生能力，不适合在课堂教学使用。有没有“多快好省”的方法呢？课程标准为我们指明了方向：“多媒体计算机已经显示出它在科学教育中的巨大发展潜力。在物理课的学习中，应根据实际内容的需要，选用多种类型的多媒体辅助教学软件，重视传统媒体和计算机多媒体的有效利用，充分发挥它们在物理教学中的功能。”

GeoGebra软件是一款结合几何、代数、数据表、图形、统计和计算的动态数学软件，同时具有处理代数与几何的功能，包括几何画板所有功能、兼具Excel常用功能和Flash部分功能。下面应用GeoGebra软件从三个方面深入研究等量同种电荷中垂线上的电场强度分布。

2 动态演示验证规律

图3

笔者在教学实践中发现：当点P移动时，观察电场强度EP的变化情况比较困难，主要由两个困难造成的：一是电场强度矢量的起点为点P，整个矢量会随着点P的移动而移动，难以观察其大小变化；二是EP始终处于变化之中，而人的短时记忆容量有限，学生会忘记之前的EP大小而无法与现在的EP进行比较，致使难以判断其变化规律。第一个困难容易克服，只需在某个固定点画一个矢量，使其大小方向始终与EP相同，改变点P的位置，观察该矢量的变化规律即可，但是这样处理以后困难二依然存在。

当然，不管如何延长x轴，也不可能拖动点P达到抽象的无穷远处，由此而得到“先增大后减小”的规律多少会让人感到不安，延伸向无穷远过程的规律依然牵动着我们的心。

3 数形结合，全面认识

图4

在获取f(θ)图形的欣喜之余，图像上诸多未知信息又陷人于沉思：点P在何处EP取最大值，最大值又是多少呢？

4 数学运算求出极值

求函数极值有很多方法，如二次函数配方法、柯西不等式法、函数单调性法和导数法等等，其中导数法具有思路清晰、操作简单、适用广泛等优点。但对微积分刚入门的高中生而言，复杂函数求导并非易事，让学生贸然计算可能会打击其学习信心，得不偿失。GeoGebra软件既具有处理动态几何和数学的能力，又具有强大的计算功能，不但可以进行简单的数学运算、求出方程的根、对数据进行统计分析，还可以对函数进行微分与积分。

图5

5 结语

国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010—2020年)提出：鼓励学生利用信息手段主动学习、自主学习，增强运用信息技术分析解决问题能力。高中有很多重要但不容易讲透的规律，如本文所述等量同种电荷连线中垂线的场强，笔者认为非常有必要借助诸如GeoGebra等软件对其进行深入研究，消除学生的思维障碍，深化学生的思维，培养学生应用数学知识解决物理问题的能力，提高中学生的物理核心素养。

[1] 冯建跃.用初等数学方法求等量同种电荷中垂线上电场强度的极值[J].物理教师,2015,(11)：56-57.

[2] 谷良光.用导函数计算等量同种电荷连线中垂线上场强的最值[J].学园(教育科研),2013,(7):138.

[3] 费宏.两等量同种点电荷连线的中垂线上场强极大点在哪里?[J].物理教师,1996,(6)：31-32.