万有引力定律的应用问题归类例析①

2017-09-11

物理之友 2017年8期

关键词：匀速圆周引力嫦娥

(广东省五华县田家炳中学，广东梅州 514400)

万有引力定律的应用问题归类例析①

古焕标

(广东省五华县田家炳中学，广东梅州 514400)

运用万有引力定律求解天体(卫星)运动问题一直是高考命题热点，此类习题题型较多，本文对该类问题进行了分类，并总结了解题的中心方法是“万有引力提供向心力”和“黄金代换”。

万有引力；向心力；黄金代换

万有引力定律部分内容比较抽象，习题类型较多，在教学中学生普遍反映这一部分内容变化繁杂，学习思路不清晰，难懂、难学。笔者根据自己的教学经验，将这一部分知识的解题思路进行归纳，经过实际教学实践，绝大部分学生反映采用这种方法学习以后，学习思路清晰了，知识掌握牢固了，学习负担减轻了，以下针对万有引力的不同类型习题的解法加以归类、分析。

1 解题思路

2 问题归类

2.1 星体表面上的重力加速度

除此以外，还可通过在星体表面涉及的自由落体、竖直上抛、平抛等抛体运动形式来求星体表面的重力加速度g。

例1：一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上。用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，FN表示人对秤的压力，下列说法中正确的是( )。

2.2 中心天体的质量M和密度ρ

当卫星绕行星或行星绕恒星做匀速圆周运动时，根据题目提供的不同条件，在下面4种情况下都可求解中心天体的质量。

例2：要计算地球的质量，除已知的一些常数外还需知道某些数据，现给出下列各组数据，可以计算出地球质量的是( )。

A.已知地球半径R

B.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v

C.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T

D.已知地球公转的周期T′及运转半径r′

2.3 卫星运行的参量

例3：设地球质量为月球质量的81倍，地球半径是月球半径的4倍，若探测器甲绕地球和探测器乙绕月球做匀速圆周运动的半径相同，则( )。

A.甲与乙线速度之比为9∶2

B.甲与乙线速度之比为1∶9

C.甲与乙向心加速度之比为81∶1

D.甲与乙运动周期之比为1∶1

2.4 赤道上的物体、近地卫星、同步卫星运行参量的比较

例4：有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，设地球自转周期为24h，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图1所示，则下列关于卫星的说法中正确的是( )。

图1

A.a的向心加速度等于重力加速度g

C.b在相同的时间内转过的弧长最长

D.d的运动周期可能是23h

2.5 卫星的变轨问题

例5：如图2所示是“嫦娥三号”飞行轨道示意图。假设“嫦娥三号”运行经过P点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为100km的圆轨道Ⅰ上运动，再次经过P点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为Q、高度为15km，远地点为P、高度为100km的椭圆轨道Ⅱ上运动，下列说法正确的是( )。

图2

A.“嫦娥三号”在距离月面高度为100km的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化

B.“嫦娥三号”在距离月面高度100km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期

C.“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速率一定大于经过P点时的加速度

D.“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率可能小于经过P点时的速率

解析：“嫦娥三号”在距离月面高度为100km的圆轨道上运动是匀速圆周运动，速度大小不变，选项A错误；由于圆轨道的轨道半径大于椭圆轨道半长轴，根据开普勒定律，“嫦娥三号”在距离月面高度100km的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运动的周期，选项B正确；由于在Q点“嫦娥三号”所受万有引力大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的加速度一定大于经过P点时的加速度，选项C正确；“嫦娥三号”在椭圆轨道上运动的引力势能和动能之和保持不变，Q点的引力势能小于P点的引力势能，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动到Q点的动能较大，速度较大，所以“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过Q点时的速率一定大于经过P点时的速率，选项D错误。

2.6 中心天体的第一宇宙速度

地球的第一宇宙速度是卫星运行半径为地球半径时的环绕速度，与此类似，其他星球的第一宇宙速度是卫星的运行半径为此星球半径时的环绕速度，计算第一宇宙速度一般有下面两种方法。

例6：某星球的半径为R，在其表面上方高度为aR的位置，以初速度v0水平抛出一个金属小球，水平射程为bR，a、b均为数值极小的常数，则这个星球的第一宇宙速度为( )。