抓住本质 自然呈现

叶巧飞

1.教材分析

本节课选自北师大版《必修四》课本“单位圆与任意角正弦、余弦函数的定义”一节。学生在初中时学习了锐角三角函数，在《数学1》（必修）中已经学习了各类函数，三角函数是高中阶段学习的最后一个基本初等函数。借助单位圆去理解任意角的正弦、余弦的定义，为后面的三角函数诱导公式、三角函数的图像与性质奠定认知基础，并让学生从中体会三角函数的变化之美。

2.教学目标

2.1知识与技能：掌握任意角的正弦、余弦函数的定义，能从函数观点理解三角函数。

2.2过程与方法：通过单位圆与角的终边的交点坐标关系，探讨任意角的三角函数值的规律，最终得到任意角三角函数的定义。

2.3情感态度与价值观：通过学生积极参与知识的发现与形成过程，加深由特殊到一般以及数形结合的数学思想的理解，从中感悟数学的美。

3.教学设计

3.1创设情境

教师：唐代诗人王之涣的《登鹳雀楼》如今仍被我们传诵，“欲穷千里目，更上一层楼”告诉我们只有站的高才能看的远的生活哲理。数学的学习，亦是如此。在初中，我们已经学习了锐角三角函数，那么高中角的概念推广之后，任意角的三角函数该如何定义呢？

设计意图：从诗词的意境引入，创设问题情境，揭示主题——研究任意角的三角函数定义，让学生产生思考，暗示任意角的三角函数与初中的锐角三角函数相关，但是研究的角度却比初中站得更高。

3.2复习巩固

教师：初中学习的锐角三角函数，正弦、余弦函数是如何定义的？借助了什么几何图形？

学生：借助了直角三角形。

教师：很好，锐角三角函数的定义本质是“边之比”。在高中我们已经学习了函数，请同学们思考交流一下，初中三角函数的定义是否满足高中定义下的函数？

学生：不是。高中定义的函数是一个从数集到数集的映射，但是锐角三角函数以锐角为自变量，锐角构成的集合不是数集。

教师：非常好，这也是高中引入“弧度制”的原因，弧度制使角和实数建立了一一对应的关系，弧度制下角构成的集合与实数集相对应，满足了高中对函数的定义。

设计意图：站在高中函数的角度审视初中已经学过的锐角三角函数，指出引入弧度制的必要性，使学生能知其然并知其所以然。

教师：锐角三角函数中的“锐角”是我们高中角的概念的推广中的哪一类型的角？

学生：第一象限的角。

教师：学了角的概念的推广，我们对角的认识与初中学的角有什么不同？

学生：角有正角、负角、零角。

学生：角是由射线旋转得到的。

学生：角是放在直角坐标系中研究的，这样对角的研究转化为对角的终边的研究。

学生：根据角的终边落在坐标系中的不同位置，又学习了四个象限角和坐标轴上的角。

教师：以上是我们高中学习的任意角，那么任意角都有三角函数吗？如果有，我们应该如何定義？

学生：第一象限角中的锐角可以利用初中学过的锐角三角函数，构造出直角三角形来进行研究。

教师：如何构造直角呢？

学生：在角的终边上任取一点，

过点作轴的垂线交于点，得到如右图：

教师：取角的终边上不同点对三角函数值有影响吗？

学生：没有，因为根据三角形的相似性，可得比值不变。

教师：既然可以任意取，那么为了研究的简单，我们取时的点，此时，三角函数值就变成了终边上点的纵坐标，横坐标的数值。在几何画板中，研究任意角可以用任意角的终边，追踪点的轨迹得到一个单位圆，即点可以看作是角的终边和单位圆的交点。

教师：上述式子是否具有函数关系？

学生：是，因为对于任意的角（弧度制）与单位圆都有唯一对应的一个交点坐标值与之相对应。

设计意图：“授之以鱼，不如授之以渔。”通过复习，引导学生利用已有的知识和方法研究新的问题。前一节在直角坐标系中研究任意角，引导学生研究任意角的三角函数需要以直角坐标系为工具。既要借助直角坐标系来研究，又要借鉴锐角三角函数的定义，因此选择第一象限角是锐角的情况来研究任意角，体现了从特殊到一般的数学思想。

3.3概念呈现

教师：若角的终边落在其他象限或坐标轴呢？初中借助直角三角形的边之比已经无法研究了，但是我们发现：无论角的终边落在哪里，其与单位圆的交点都存在，也就是说，任意角的三角函数值必然存在。

因此，任意角的正弦、余弦函数定义如下：

如下图，设角是任意角，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，我们把点的纵坐标定义为角的正弦函数，记作；点的横坐标定义为角的余弦函数，记作。

教师：提到函数，优先考虑定义域，那么正弦、余弦函数的定义域是什么呢？请大家观察几何画板动态演示过程。

学生：定义域都是R。

教师：正弦、余弦函数的值域是什么呢？

学生：值域都是[-1，1]。

教师：《必修1》中函数的一般形式为y=f（x），所以正弦、余弦函数的一般形式可以记作：正弦函数：y=Asin（ωx+φ）

余弦函数：y=Acos（ωx+φ）+b

设计意图：使新学习的三角函数与《必修1》学习的函数之间建立联系，既是对旧知识的复习，又是对新知识的学习，使学生的认知得到统一。

3.4归纳总结

（1）知识：任意角的正弦、余弦函数值本质上是单位圆与角终边交点的纵、横坐标值。

（2）思想方法：借助直角坐标系，单位圆来研究三角函数，让学生体会数形结合的思想；正弦、余弦函数的定义由第一象限的锐角推广到任意角，让学生体会由特殊到一般的思维过程。endprint

3.5结束语

唐诗宋词是中华五千年文化的精髓，宋代诗人苏轼的《题西林壁》相信大家耳熟能详。“横看成林侧成峰，远近高低各不同”这句诗告诉我们：观察事物的角度不同，就会看到不一样的结果。要想认清事物的本质，需学会从多角度去看，从不同的高度去看。

设计意图：再用古诗，首尾呼应，使数学学习不再枯燥，与诗词相辅相成，生活哲理不仅适用于生活，也適用于数学，揭示了本节课的知识是站在初高中不同的角度来学习的。

4.教学反思

4.1教学要注重自然生长

教学不仅是要教会学生知识，还要教会学生如何学习，教会学生认识数学规律方法的产生过程，即“知其然也知其所以然”。在本节课中，在初中是借助直角三角形来研究锐角三角函数的，它的本质是边长之比。其次，用高中的函数概念来审视初中的锐角三角函数，让学生体会到引入弧度制的必要性。之后，回顾了高中对角的概念的推广及研究方法，引导学生借助直角坐标系研究任意角的三角函数，先借助直角三角形探究第一象限的锐角，并将该定义推广到其他象限或坐标轴，让学生体会从特殊到一般的数学思想。这样，在新知识的学习过程中，既完成了教学任务，让学生学会了知识，又教会了学生解决未知问题的方法，也培养了学生恰当使用数学方法的意识。因此，在教学中我们要做到：知识的引入要自然，知识的过渡要自然，知识的发生发展要自然，解题的方法也要自然。

4.2教学要关注学生主体

在课堂教学中，教师具有主导作用，而学生是课堂的主体，教师要积极调动学生的思考积极性，引导学生如何思考，如何解决问题。本节课，教师提出了一系列的问题，引导学生寻找思考的方向，通过师生互动，生生互动让学生充分理解所学的知识，知识产生的过程以及研究的方法和思想，对任意角的正弦、余弦函数的定义形成完整的认知结构。

4.3教学要挖掘数学之美

三角函数是一类描述周期运动现象的数学模型，本节课中利用几何画板进行动态展示，让学生能欣赏到数学之美，使学生能够热爱数学，激发学习数学的兴趣。本节课中，教师引导学生体会数形结合的无限魅力，比如锐角三角形的定义借助的是直角三角形，任意角的三角函数定义借助了直角坐标系，当选取时，任意角的正弦、余弦函数值对应的点的轨迹是一个单位圆，它有着很好的对称之美。在本节课的教学过程中，教师对学生积极、中肯的评价，学生自发的掌声，都体现了人性之美和人文关怀，很好的提升了学生的学习热情。

【参考文献】

[1]庄炯林.螺旋探究 自然呈现——任意角的三角函数的教学设计[J].中学数学，2015（13）：13-15

[2]易中建.数学教学应坚持的“基本原则”[J].中学数学教学参考，2016（Z1）：34-37endprint