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抓住本质 自然呈现

2017-09-08叶巧飞

文理导航 2017年26期
关键词:余弦锐角三角正弦

叶巧飞

1.教材分析

本节课选自北师大版《必修四》课本“单位圆与任意角正弦、余弦函数的定义”一节。学生在初中时学习了锐角三角函数,在《数学1》(必修)中已经学习了各类函数,三角函数是高中阶段学习的最后一个基本初等函数。借助单位圆去理解任意角的正弦、余弦的定义,为后面的三角函数诱导公式、三角函数的图像与性质奠定认知基础,并让学生从中体会三角函数的变化之美。

2.教学目标

2.1知识与技能:掌握任意角的正弦、余弦函数的定义,能从函数观点理解三角函数。

2.2过程与方法:通过单位圆与角的终边的交点坐标关系,探讨任意角的三角函数值的规律,最终得到任意角三角函数的定义。

2.3情感态度与价值观:通过学生积极参与知识的发现与形成过程,加深由特殊到一般以及数形结合的数学思想的理解,从中感悟数学的美。

3.教学设计

3.1创设情境

教师:唐代诗人王之涣的《登鹳雀楼》如今仍被我们传诵,“欲穷千里目,更上一层楼”告诉我们只有站的高才能看的远的生活哲理。数学的学习,亦是如此。在初中,我们已经学习了锐角三角函数,那么高中角的概念推广之后,任意角的三角函数该如何定义呢?

设计意图:从诗词的意境引入,创设问题情境,揭示主题——研究任意角的三角函数定义,让学生产生思考,暗示任意角的三角函数与初中的锐角三角函数相关,但是研究的角度却比初中站得更高。

3.2复习巩固

教师:初中学习的锐角三角函数,正弦、余弦函数是如何定义的?借助了什么几何图形?

学生:借助了直角三角形。

教师:很好,锐角三角函数的定义本质是“边之比”。在高中我们已经学习了函数,请同学们思考交流一下,初中三角函数的定义是否满足高中定义下的函数?

学生:不是。高中定义的函数是一个从数集到数集的映射,但是锐角三角函数以锐角为自变量,锐角构成的集合不是数集。

教师:非常好,这也是高中引入“弧度制”的原因,弧度制使角和实数建立了一一对应的关系,弧度制下角构成的集合与实数集相对应,满足了高中对函数的定义。

设计意图:站在高中函数的角度审视初中已经学过的锐角三角函数,指出引入弧度制的必要性,使学生能知其然并知其所以然。

教师:锐角三角函数中的“锐角”是我们高中角的概念的推广中的哪一类型的角?

学生:第一象限的角。

教师:学了角的概念的推广,我们对角的认识与初中学的角有什么不同?

学生:角有正角、负角、零角。

学生:角是由射线旋转得到的。

学生:角是放在直角坐标系中研究的,这样对角的研究转化为对角的终边的研究。

学生:根据角的终边落在坐标系中的不同位置,又学习了四个象限角和坐标轴上的角。

教师:以上是我们高中学习的任意角,那么任意角都有三角函数吗?如果有,我们应该如何定義?

学生:第一象限角中的锐角可以利用初中学过的锐角三角函数,构造出直角三角形来进行研究。

教师:如何构造直角呢?

学生:在角的终边上任取一点,

过点作轴的垂线交于点,得到如右图:

教师:取角的终边上不同点对三角函数值有影响吗?

学生:没有,因为根据三角形的相似性,可得比值不变。

教师:既然可以任意取,那么为了研究的简单,我们取时的点,此时,三角函数值就变成了终边上点的纵坐标,横坐标的数值。在几何画板中,研究任意角可以用任意角的终边,追踪点的轨迹得到一个单位圆,即点可以看作是角的终边和单位圆的交点。

教师:上述式子是否具有函数关系?

学生:是,因为对于任意的角(弧度制)与单位圆都有唯一对应的一个交点坐标值与之相对应。

设计意图:“授之以鱼,不如授之以渔。”通过复习,引导学生利用已有的知识和方法研究新的问题。前一节在直角坐标系中研究任意角,引导学生研究任意角的三角函数需要以直角坐标系为工具。既要借助直角坐标系来研究,又要借鉴锐角三角函数的定义,因此选择第一象限角是锐角的情况来研究任意角,体现了从特殊到一般的数学思想。

3.3概念呈现

教师:若角的终边落在其他象限或坐标轴呢?初中借助直角三角形的边之比已经无法研究了,但是我们发现:无论角的终边落在哪里,其与单位圆的交点都存在,也就是说,任意角的三角函数值必然存在。

因此,任意角的正弦、余弦函数定义如下:

如下图,设角是任意角,角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点,我们把点的纵坐标定义为角的正弦函数,记作;点的横坐标定义为角的余弦函数,记作。

教师:提到函数,优先考虑定义域,那么正弦、余弦函数的定义域是什么呢?请大家观察几何画板动态演示过程。

学生:定义域都是R。

教师:正弦、余弦函数的值域是什么呢?

学生:值域都是[-1,1]。

教师:《必修1》中函数的一般形式为y=f(x),所以正弦、余弦函数的一般形式可以记作:正弦函数:y=Asin(ωx+φ)

余弦函数:y=Acos(ωx+φ)+b

设计意图:使新学习的三角函数与《必修1》学习的函数之间建立联系,既是对旧知识的复习,又是对新知识的学习,使学生的认知得到统一。

3.4归纳总结

(1)知识:任意角的正弦、余弦函数值本质上是单位圆与角终边交点的纵、横坐标值。

(2)思想方法:借助直角坐标系,单位圆来研究三角函数,让学生体会数形结合的思想;正弦、余弦函数的定义由第一象限的锐角推广到任意角,让学生体会由特殊到一般的思维过程。endprint

3.5结束语

唐诗宋词是中华五千年文化的精髓,宋代诗人苏轼的《题西林壁》相信大家耳熟能详。“横看成林侧成峰,远近高低各不同”这句诗告诉我们:观察事物的角度不同,就会看到不一样的结果。要想认清事物的本质,需学会从多角度去看,从不同的高度去看。

设计意图:再用古诗,首尾呼应,使数学学习不再枯燥,与诗词相辅相成,生活哲理不仅适用于生活,也適用于数学,揭示了本节课的知识是站在初高中不同的角度来学习的。

4.教学反思

4.1教学要注重自然生长

教学不仅是要教会学生知识,还要教会学生如何学习,教会学生认识数学规律方法的产生过程,即“知其然也知其所以然”。在本节课中,在初中是借助直角三角形来研究锐角三角函数的,它的本质是边长之比。其次,用高中的函数概念来审视初中的锐角三角函数,让学生体会到引入弧度制的必要性。之后,回顾了高中对角的概念的推广及研究方法,引导学生借助直角坐标系研究任意角的三角函数,先借助直角三角形探究第一象限的锐角,并将该定义推广到其他象限或坐标轴,让学生体会从特殊到一般的数学思想。这样,在新知识的学习过程中,既完成了教学任务,让学生学会了知识,又教会了学生解决未知问题的方法,也培养了学生恰当使用数学方法的意识。因此,在教学中我们要做到:知识的引入要自然,知识的过渡要自然,知识的发生发展要自然,解题的方法也要自然。

4.2教学要关注学生主体

在课堂教学中,教师具有主导作用,而学生是课堂的主体,教师要积极调动学生的思考积极性,引导学生如何思考,如何解决问题。本节课,教师提出了一系列的问题,引导学生寻找思考的方向,通过师生互动,生生互动让学生充分理解所学的知识,知识产生的过程以及研究的方法和思想,对任意角的正弦、余弦函数的定义形成完整的认知结构。

4.3教学要挖掘数学之美

三角函数是一类描述周期运动现象的数学模型,本节课中利用几何画板进行动态展示,让学生能欣赏到数学之美,使学生能够热爱数学,激发学习数学的兴趣。本节课中,教师引导学生体会数形结合的无限魅力,比如锐角三角形的定义借助的是直角三角形,任意角的三角函数定义借助了直角坐标系,当选取时,任意角的正弦、余弦函数值对应的点的轨迹是一个单位圆,它有着很好的对称之美。在本节课的教学过程中,教师对学生积极、中肯的评价,学生自发的掌声,都体现了人性之美和人文关怀,很好的提升了学生的学习热情。

【参考文献】

[1]庄炯林.螺旋探究 自然呈现——任意角的三角函数的教学设计[J].中学数学,2015(13):13-15

[2]易中建.数学教学应坚持的“基本原则”[J].中学数学教学参考,2016(Z1):34-37endprint

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