球面镜像法的讨论

王 楠， 党晓杰， 袁浩波， 梁昌洪

(西安电子科技大学 电子工程学院， 陕西 西安 710071)

球面镜像法的讨论

王 楠， 党晓杰， 袁浩波， 梁昌洪

(西安电子科技大学 电子工程学院， 陕西 西安 710071)

镜像法是静电场边值问题中的重要方法，是电磁场教学中的重点之一。本文对球面的镜像法展开讨论，通过教学中得到的反馈和总结，以唯一性定理为基础，使用待定系数法，重新推导了球面镜像法的镜像电荷及其摆放位置。本文推导使用更一般的假设，推导过程更详细，可以作为“电磁场与电磁波”课程的教师和学习者有益的参考。

球面镜像法；边值问题；电磁场与电磁波

0 引言

镜像法是求解静电场边值问题的一种特殊方法，它主要用来求分布在导体附近的电荷产生的场，是“电磁场与电磁波”课程中的教学重点之一。

球面镜像法是镜像法中的一个典型问题，问题的提法可以写为：一个半径为a的接地导体球，距离球心d处的外部放置一个点电荷，求球外任意一点的电位，如图1所示[1]。

镜像法的关键是求解具有等效导体作用的镜像电荷，球面镜像法也是如此，它的等效问题可见图2，使用原电荷q和镜像电荷q′组合在一起等效原问题，其中

(1)

图1 球面镜像法原问题

图2 球面镜像法的等效问题

笔者在教学过程中接触过的专业教材中，球面镜像电荷的推导，均使用了这样的表述：“从对称性考虑，镜像电荷q′应置于球心与电荷q的连线上”[2-4]。以此直接将镜像电荷位置固定，这样的假设符合唯一性定理的要求，但是可能会引起一些学生的困惑，这种困惑从学生的课后反馈中也有所体现。基于此，本文以唯一性定理为基础，从待定系数法出发，将镜像电荷置于待求区域外的任意位置，重新推导式(1)中的镜像电荷及其摆放位置，以供教学和学习时的参考。

1 等效问题的建立

根据唯一性定理，如果等效问题在待求区域中同时满足与原问题相同的电位方程和边界条件，则等效问题是唯一正确的。

原问题满足的方程为无源区的拉普拉斯方程

▽2φ=0

(2)

原问题满足的边界条件为

无穷远处,φ=0

(3)

球面上,φ=0

(4)

1.1 镜像电荷的设置

等效问题的镜像电荷不能影响原问题待求区域的电荷分布，因此本文假设镜像电荷位于球面内部，与球心距离为d，与球心和电荷q连线的垂直距离为h，电量为q′，如图3所示，这样的镜像电荷设置具有一般性。

图3 新的等效问题

1.2 等效问题的方程

在等效问题中，根据点电荷的电位计算，可知待求区任意一点的电位写为

(5)

其中r1,r2分别是原电荷与镜像电荷到观察点的距离，如图4所示。

图4 待求区域任意一点的电位

很明显等效问题在待求区域满足无源区的拉普拉斯方程，与原问题相同。

1.3 等效问题的边界条件

等效问题的方程与原问题相同，接下来，如果式(5)中的电位解可以满足原问题的边界条件，则即是唯一正确的解，这样可以使用待定系数法，根据边界条件解出位置b,h和电量q′即可。

由于等效问题是点电荷系统，自动满足式(3)中的边界条件，只需要考虑边界条件式(4)。

2 边界条件的选用

根据条件式(4)，为了使用待定系数法，我们在半径为a的球面上选取三个特殊位置。

2.1 近原电荷点

如图5所示，第一个特殊位置取在球面上距离原电荷最近的A点，它在原电荷与球心的连线上。

图5 近原电荷点

如图5所示，根据几何关系可知

(6)

原问题球面上电位为零，联立式(5)可得

(7)

2.2 远原电荷点

如图7所示，第二个特殊位置取在球面上距离原电荷最远的B点，它也在原电荷与球心的连线上。

图7 远原电荷点

如图7所示，根据几何关系可知

(8)

原问题球面上电位为零，联立式(5)可得

(9)

2.3 垂线交点

如图8所示，第三个特殊位置取在球面上的C点，它与球心和原电荷构成直角三角形。

图8 垂线交点

如图8所示，根据几何关系可知

(10)

原问题球面上电位为零，联立式(5)可得

(11)

3 待定系数求解镜像电荷

通过满足边界条件的三个特殊点，我们得到了三个方程式(7)、式(9)、式(11)，求解它们即可得到镜像电荷的位置和电量。

式(11)除以式(7)，可得

(12)

等号两边平方，可得

(13)

同理，式(11)除以式(9)，两边平方之后可得

(14)

式(13)加上式(14)，可得

(15)

整理之后可得

h=0

(16)

式(13)除以式(14)，可得

(17)

整理可得

4adh2=2a(d-b)(db-a2)

(18)

将式(16)代入，可知

b=d

(19a)

或者

(19b)

镜像电荷必须在待求区域内，因此舍弃式(19a)，最终可以总结出，镜像电荷放置的位置为

(20)

将式(20)代入式(7)，可得镜像电荷的电量为

(21)

4 结语

本文从“电磁场与电磁波”课程教学实际出发，对静电场边值问题的球面镜像法进行讨论。以唯一性定理为基础，使用待定系数法，重新推导了球面镜像法的镜像电荷及其摆放位置。与现有教材中的内容相比，本文推导的前提更一般，推导过程更详细，有利于在教学中辅助学习者对镜像法和唯一性定理的理解。

(王 楠等文)

[1] 孙国安，电磁场与电磁波理论基础(第二版)[M]，南京：东南大学出版社，2009

[2] 路宏敏，赵永久，朱满座，电磁场与电磁波基础(第二版)[M]，北京：科学出版社，2015

[3] 路宏敏，赵永久，朱满座，电磁场与电磁波基础)[M]，北京：科学出版社，2010

[4] 牛中奇，电磁场理论基础[M]，北京：电子工业出版社，2001。

Discussion of Spherical Mirror Method

WANG Nan, DANG Xiao-jie, YUAN Hao-bo, LIANG Chang-hong

(SchoolofElectronicEngineering,XidianUniversity,Xi'an710071，China)

Mirror method is an important method in boundary value problems of electrostatic field and one of the key teaching points in electromagnetic fields. The spherical mirror method is discussed based on feedback and conclusion during teaching process. Method of undeterminated coefficients is introduced according to uniqueness theorem and the position and quantity of electric charge of the image charge are deduced. Compared to derivation in current teaching materials, contents in this paper is proposed in thorough details. The derivation in this paper can be used by teachers and learners as references when performing relating courses.

spherical mirror method; boundary value problems; electromagnetic field and wave

2016-0-21;

2016-11- 23

西安电子科技大学本科教育教学改革试点项目(BT1316);西安电子科技大学教育教学改革项目；

王 楠(1981-)，男，工学博士，副教授，主要从事计算电磁学、电磁兼容、电磁散射的教学和研究,E-Mail：wangnan@mail.xidian.edu.cn

TN801

A

1008-0686(2017)04-0044-04