由学生的问题，引发“商不变性质”教学的思考

朱学尧

【摘 要】教学中基于学生已有的认知经验，需要对“商不变性质”教学进行重构。让学生经历“余数”的“破”与“立”的“蝉变”过程，依托“同化”和“顺应”，来帮助学生完善对整数除法中“余数”和“商”的认知。基于这样的思考，“淡抹”例7教学，“浓妆”探究“商不变性质”中余数变化的特点，丰富、拓展对商和有余数除法的认知。

【关键词】经验 理性 知识点 结构关联 问题发现和研究

“商不变性质”是四年级上册的内容，第一课时，是教学“商不变性质”，第二课时，是教学“商不变性质”运用，即运用“商不变性质”进行简算和解决简单的实际问题。这一课教学的重难点是在运用“商不变性质”进行竖式计算时，竖式的书写过程以及判断原算式中的余数问题。最近听了第二课时（例8）的教学，在利用商不变性质解决“小号每个40元，900元钱，最多可以买几个小号？还余多少元钱？”这一问题时，学生在900÷40的竖式书写和横式的余数上，出现了不少问题。在交流环节，一个学生提出了这样的疑问：“竖式下面明明是2，可是横式后面为什么要改成20？”。之后，该教师通过两种竖式（一般方法和简便方法）以及验算来帮助学生释疑。笔者随机看了十几位同学作业纸上的先前练习，有近一半的同学或在书写或在横式的结果上出现问题。我想，课堂上通过教师对两种方法的反复比对，再依托验算或者像这位教师小结的那样“被除数和除数的末尾同时划去几个0，在余数的末尾就要添上几个0”的方法，学生也能接受。但这种“知其然，不知其所以然”的背后，学生是否还会存在这样的疑问：“900÷40和90÷4的结果应该一样呀？这不是商不变性质的运用吗？可为什么横式后面的结果不一样呢？”学生为什么在例题学完之后，会提出这样的疑问？课堂上学生出现问题的根源在哪里呢？

一、 问题的提出

（一）学生为什么会出现疑惑

课后，在研讨时，几位听课教师，结合自己的教学体会，分析了学生产生这样问题的原因。其一是：第一课时的教学，学生接触的都是被除数和除数同时“划0”时，“商”是不变的，“商”是“完全商”（没有余数）的竖式计算题。其二是：学生认为“商”不变，就是计算结果不变，而计算结果，就是等号后面的全部（商和余数）。其三是：学生在用竖式计算时，根本不去考虑余数的变化。因为，在以往的有余数除法竖式计算中，竖式中的余数是几，横式中的余数就是几。此时，尽管教师借助竖式，利用数位来帮助学生理解，还是很难“扭转”学生多年积累的经验，很难从根本上帮助学生消除这种疑惑。

（二）释疑”的“根”在哪里

笔者以为，要从“根”“上来帮助学生“释疑”，一方面是要让学生经历被除数和除数同时乘（除）一个数（0除外），余数是否变化的探究过程，另一方面要让学生明确，“余數”的“相对性”，并渗透对“完全商”和“不完全商”的认知。这样，也为后面学习小数除法时，利用余数特点来解决实际问题打下基础。因而，在教学例7的同时，不妨增加让学生探索“商不变性质”中余数变化的特点，而把第二课时（例8），作为学生能否自觉运用“商不变性质”来解决实际问题的练习课，把教学重心放在竖式的书写上。这样设想的依据是：其一，笔者以为学生在学习第一课时（例7）“商不变性质”之前，已经积累了相应的认知经验，如在二、三年级，学生常练习形如180÷20，70×20的口算，还有在三年级“两位数除以一位数”练习里，出现了许多形如6÷2，60÷20，600÷2等题目，尤其在本单元例7前面的练习二中出现了如下题目（见表1）。

这些题目已经不自觉地渗透了“商不变的性质”的运用，也就是说，学生对“商不变性质”的认知，是有一定的感知经验的。因而，例7的学习，对学生来说，没有多大的认知障碍，学生会顺利通过举例、观察、验证和概括的环节，依托“同化”，来自我建构“商不变性质”的。相反的是，学生由于之前学习的有余数除法，竖式下面的余数与横式后面的余数都是一致的，是不需要调整的，这一认知经验，反而给学生学习例8带来干扰，在例7的学习过程中，需要让学生经历“余数”的“破”与“立”的“蝉变”过程，依托“同化”和“顺应”，来帮助学生完善对整数除法中“余数”和“商”的认知。基于这样的思考，笔者“淡抹”了例7教学，留取一定时间，“浓妆”了让学生探究“商不变性质”中余数变化的特点。通过实践，取得了很好的教学效果。

二、问题的解决

第一部分：教学例7，体会没有余数时的“商不变性质”。

环节一，经历观察、举例和验证的过程，感知“变”与“不变”。

环节二，交流、概括和总结“商不变性质”。

在学生观察横式中被除数和除数变化特点之外，要突出小结余数的特点，即余数都为0。

环节三，反思、回顾和体会“商不变性质”的价值。

以前在口算时，是否运用过这样的经验。此时，教师出示如6÷2，60÷20，600÷2以及40÷20 ，150÷30等口算题。最后，再出示练习二中的表格题（见表1）。

第二部分：丰富除法算式，体会有余数时“商不变性质”中的“不变”与“变”。

师生交流：刚才我们研究的这些除法算式，商都是正好的，我们称为“完全（整）商”，也就是没有余数的（或余数是0）。想一想，如果两个数相除，如果有余数，这个规律还存在吗？

环节一：出示下表，让学生填写右边的三列。

请同学们像第一部分那样，经历举例、发现和归纳的过程。

师生观察上表，初步得出结论：被除数和除数同时乘或除以一个数，商不变。但余数也同时随着扩大或缩小。

环节二：请同学举例或找反例，来验证上面的结论。

环节三：深度反思，突出“不变”与“变”。

教师提出问题：在有余数除法里，利用“商不变性质”，商的大小是否改变？余数呢？你能通过其他方式来解释余数改变的道理吗？

学生有以下几种方法：分东西举方法。如10个苹果，分给3个人，每人3个，剩1个；20个苹果，分给6个人，每人3个，剩2个。

用图来说明方法（此时，教师借助图来“以形解数”）：

还有个性化解读的，如因为除数和余数都是被除数的一部分，被除数和除数扩大了2倍，余数也应该扩大2倍等。

师生交流：被除数和除数同时乘（除以）一个数（0除外），不变的是什么？变的是什么？

环节四：体会余数的本质和其相对性。

第一层次，观察横式，发现“不变”与“变”。

如5÷2=2……1和10÷4=2……2。苹果总数（被除数）扩大2倍，分的人数（除数）也扩大2倍，每人分的个数（商）不变，但余数是随着扩大。

第二层次，体会余数的相对性，完善对余数的认知。

引导学生观察（可借助上面的图）并提出下面的问题：第一幅图，余下1个苹果，是分给几个人余1个？如果剩下的这1个苹果再分给这2个人，每人还能分几个？学生通过观察图，借助图分一分、画一画，都能说出：分给2个人，余1个，每人还能再分半个。同样，学生看第二幅图，都能说出：余下2个苹果，再分给这4个人，每人也能再分到半个。之后，教师出示下面两个算式：5÷2=2……1和10÷4=2……2，让学生辨析这两个算式的计算结果是否一样？在辨析过程中，学生中出现了 “看起来结果不一样，实际上是一样的，因为余数的‘价值不一样”“余数虽然不一样，一是余1个，一是余2个，但要结合总数来看”的说法。还有的同学说出“要结合被除数和除数来看余数的实际大小”“余数要结合算式来看，余数是1，只能说是算式5÷2的，不能说是算式10÷4的”“余数是暂时存在的”等个性化的理解。此时，教师相机小结：如果把余数继续分（除）下去，其实，这两个计算结果实际上是一致的，每人都是2个整苹果加上半个苹果。只是因为，现在我们还没有学过用小数来表示分得的结果（商），等到学过小数时，这两个算式的商都统一用一个小数来表示了。现在，用整数来表示除法算式中的商，我们称这个商叫除法算式的“不完全商”。

第三层次，辨一辨，内化对余数的认知。

教师出示下面两题：（1）200÷30 20÷3 （2）40÷6 400÷60先观察两组算式的特点，当商为6时，余数2、20、4、40分别是哪个算式中的余数？课后，利用这三个算式，编一道解决实际问题的题目，并列出算式解答。

三、 教后反思

（一）从“经验”的感知，走向理性的分析

课后，笔者把课堂中学生出现的问题，挂在四年级数学教师QQ群中，参与跟帖的教师，都谈及自己的课堂也出现过这样的问题，但给出解決问题的办法，均是以下两点：一是认为学生在用竖式简便计算时，出现书写上的问题，主要是学生在竖式对位上出现了问题，给出的办法就是借助竖式，来强调数位问题。二是学生在余数上出现问题，主要还是没搞清余数在竖式中所处的位置。至于如何解释余数后面要添0，给出的办法是：一是靠验算，二是让学生记住“被除数和除数的末尾同时划去几个0，在余数的末尾就要添上几个0”这一经验。显然，这是凭借多年教学的“经验”，主观判断学生出现错误的原因以及“经验”传递的表现。却很少能跳出“经验”的窠臼，从学生的认知特点和已有的认知经验去理性的分析。如上述案例中，学生对余数和竖式书写出现问题，不能简单地归结为竖式中数位对齐问题。要让学生“知其然，知其所以然，规避其不然”，需要帮助学生完善和丰富对整数除法中商和余数的认知。搞清在运用商不变性质时，有余数除法和没有余数（余数为0）除法计算各部分之间的联系。教学之前，我们常习惯于依靠“经验”来专研教材，而研究学生成为多数教师的盲区，教师对学生的研究往往诉诸偶然的经验，缺乏必要的理性思考和理论支撑。

（二）从教单一的知识点，走向教关联的知识结构

教材在编排上多是体现知识的点状特征。教材好多章节的编排是割裂了知识整体之间的内在联系，割裂了知识发生、发展的来龙去脉的。教师受教材点状编排的束缚，在例题的教学上，仅有改变例题的情境创设意识和能力，缺乏新旧知识整体的结构关联意识，教学时，常出现割裂知识间内在联系的现象。如该节课的例题以表格形式直接给出一组除法算式，在“提示语”的指导下，让学生把精力集中在观察、举例、验证和概括的过程中。但教师都会把“创造性使用教材”用在情境的改变和创设上，以激发学生的学习兴趣。却很少从知识的框架结构以及学生的认知特点和已有的认知经验来灵活地整合教材，进行视角上的转换。如果教师有了这种意识，在预设学生的问题时，会在“瞻前”学生已有的经验和“顾后”待学习的知识之间，建立某种联系，进而进行策略上的转换。

（三）从常规性的问题发现，走向个性化的问题研究

新课标强调“要培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力”的要求。教师要想培养学生这四种能力，首先要有这方面的自我意识和能力。如今，教师在常规工作中，不乏发现问题的眼光，但常持有回避问题或视问题为应然的态度。关于“商不变性质”的问题研究，笔者打开QQ“数学研讨”群，发现多数教师的留言是反映自己在教学这一内容时，曾多次遇到类似的问题，相同的“经验”告诉他们，解决问题的最好办法就是告诉学生记住“被除数和除数的末尾同时划掉几个0，就要在余数的末尾添上几个0”。研究课堂中的问题，是改造和提升经验的抓手。德国古典主义思想家黑格尔曾说过：“熟知并非真知”“人死于习惯。”给我们的教学启示是：要走出教学的惯性，莫让“经验”羁绊了我们的手脚，要让研究成为我们的教学习惯。

参考文献：

[1]吴亚萍.课堂教学转型变革的策略研究[M].上海：华东师范大学出版社，2008.

（安徽省蚌埠禹会区教体局教研室 233010）