例谈高年级学生数学思维断层的成因与对策

纪勤杰

【摘 要】为了开发、培养和发展学生的数学思维能力，教师往往会把具有探究意义的问题抛给学生，但遭遇的常常是集体性的沉默。究其原因，低效探究源于探究时思维的断层。归结出造成思维断层的原因有三方面：缺乏有效的思维链接的方式；缺乏必要的思维基础的储备；缺乏后续的思维拓展的机会。针对这些成因，教师可以采用以下应对策略：盘活经验，唤醒尘封的知识储备；建构体验，垫高匮乏的思维起点；给予时空，激活高涨的探索欲望。

【关键词】思维能力 思维断层 成因 应对策略

思维在数学中的重要性不言而喻，它是数学的生命线。由此，如何开发、培养和发展学生的数学思维能力便成了我们数学教学的核心问题。而当我们怀揣着让学生探索发现的梦想辛苦耕耘时，却常常会面临这样的尴尬：当我们自以为是地把一个个具有探究意义的问题抛给学生试图去发展他们的数学思维能力时，遭遇的常常是一次次无言的沉默。而当我们无奈地减低思维的层次，让他们毫无悬念地找到问题的答案时，心中又充满着不甘，甚至让自己感到万分的失败。是仅仅发展一小部分聪明学生的思维能力来体现课堂的灵动？还是降低思维的层次来实现教学的面向全体？这都不是我们想要的答案。让更多的学生在面对挑战性的问题时，主动参与到问题的探究发现中，在此历练的过程中去发展他们的思维能力，提高他们解决问题的水平，才是我们永恒的追求。面对集体性的沉默，思维能力如何有效培养？剖析课堂，聚焦问题，无效探究或低效探究源于探究时思维的断层，问题与探究之间正是有了这个断层的存在导致上下不能疏通，知识与策略发生阻隔，思维便无法通畅。因此，如何预想这些断层，如何建立有效通道？便成了我们教学设计时所面临的一个极为重要的一个问题。对此，笔者试图通过深究一些具体的教学内容，延伸一些类似的教学知识，概括出一些导致思维断层的原因，并力求找到一些具体的对策，以使更多的学生参与到醉人的再发现历程中。

一、透视小学生探究时的思维断层

【案例一】“圆柱的体积”教学片段

我们知道了长方体和正方体的体积公式，并且知道了它们的体积都可以用“底面积×高”进行计算，那么圆柱的体积该如何计算？

圆柱的体积=底面积×高，学生会这样回答。

圆柱的体积如何推导？学生选择沉默。

我们能不能把它转化成已学过的长方体或正方体？教师引导。

【案例二】“鸡兔同笼”教学片段

呈现课本例题：鸡、兔共20只，共有脚56只。鸡、兔各有多少只？

学生自行探究，可能个别的学生会出现方法的多样性，但教师重点关注的肯定是假设法，后续的练习，也是用此种方法为主。

教师巡视，查找假设法解题的同学，要求板书，然后重点讲评。

【案例三】“3的倍數的特征”教学片段

学生观察一系列3的倍数的数，找到它们的共同特征：

一个数的各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

教师组织学生运用结论，进行判断。

案例一中，当学生面对“圆柱的体积如何推导”这样的问题时，一般都会一片茫然，不知所措，因为他们在短时间里无法找到研究的方向。学生陷入虽然掌握了一些知识却无从施展的尴尬。面对思维的短路，于是就有了“我们能不能把它转化成已学过的长方体或正方体”的教师引导。而这样粗放的引导方式虽然看似链接了学生思维的断层，但实际剥夺了学生面对新问题时策略选择的权利，有效的探究过程的延续固然重要，但策略的自我抉择更是探究问题时的首要任务和核心问题，因为它才是发展学生思维能力的关键所在。况且，凭你一句简单的导语，真能如愿地建立起新旧知识的链接吗？

思维断层成因一：缺乏有效的思维链接的方式。

案例二中，教师大气的处理方式，仿佛行云流水般地就让学生自主探索到了假设法解题的方法。孰不知，能够用此种方法解题的学生能有几位？他们又是如何找到的？学生因为没有体验过消去法的意义、价值与好处，没有知识储备，就不会在这个点上进行思考，而缺乏消去原理对假设法解题策略的支撑，哪来严谨的假设法解题的思维过程？用这种缺乏知识与策略基础的教学方式去探究“鸡兔同笼”，要么学生原本就会，要么纯属偶然。在交流的过程中，“犹抱琵琶半遮面”的分析方式，也屏蔽了假设的真正目的。他们能学会的只是对横空出现的假设法解题方法依葫芦画瓢。

思维断层成因二：缺乏必要的思维基础的储备。

案例三是一堂典型的课例，因为结论的隐蔽性，所以可以充分体现学生探索发现的能力，也有较多的教师非常深入地研究过这堂课。之所以还有探讨的必要是因为学生千辛万苦得到的结论缺少一个存在的理由。学生心中不免有这样的疑惑：为什么存在一个数的各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数？隐藏在这个迥异的规律背后的原因又是什么？面对这样的疑惑，我们真的就可以无视这个知识断层的存在，放弃发展他们数学思维的机会？

思维断层成因三：缺乏后续的思维拓展的机会。

三个简单、具体的教学案例，透视出学生产生思维断层的三个成因，而在我们烦琐的教学中，类似的案例还有很多，在下面的找寻对策中还将有所衍生。

二、应对思维断层的策略

（一）盘活经验，唤醒尘封的知识储备

因为时间的流逝和思维的混乱，使学生在探究时迷失方向而不能进行新旧知识的链接时，我们既不能一语点破，也不能放任自流。而应在学生思维的断层上，在策略选择、目的意义上了无痕迹地加以辅助，加以唤醒，使他们的思维得以深入，让他们的探究得以延续。

1.巧设情境，唤醒策略。

当学生的探究由于策略选择的断层而陷入僵局时，巧设一个简单的紧扣教学内容的情境，采用猜谜、游戏等互动的形式，唤醒他们与之教学内容相关的研究策略，在强烈的策略意识的指导下，目的明确地开展有效探究。

“圆柱的体积”教学片段2：

出示：“百变魔王”（很多小朋友玩过的玩具，可以通过弯曲，变成很多的形体）

让几个学生把它变成各种各样的形体。

在几番变化后，询问：什么变了？什么不变？（板书：体积不变）要想知道它们的体积，怎么变化最简单？（板书：长方体）让我们一起来研究一下它的体积。

师：（出示圆柱体）它的体积我们研究过吗？怎么研究？（板书：长方体）它可不像玩具可以随便变形，怎么变化呢？（板书：切割）

此教学片段中，教师紧紧抓住数学探究最重要的策略——转化思想。通过学生耳熟能详的游戏，清晰、充分地让学生体验到等积变形的好处，唤醒了曾经经历过的把复杂形体简单化、熟悉化，是推导形体面积与体积计算公式和原理的有效策略，一举冲破无序思维的断层。

2.妙用学具，链接意义。

学具即帮助学生探究的工具。在他们探究的过程中感到困顿时，适时地提供形象的可直观操作的学具，可以使他们在自觉与不自觉的操作中，再忆与所研究内容相关的意义、方式，建立有效链接，从而使他们的思维在正确意识的指导下得以延续。

在教学“平行四边形的面积”时，很多教师为了更好地发展学生的思维能力，常常会让他们自行去探究一个没有数据的平行四边形的面积。而作为图形切割、转化的第一课时，只有几个学生能根据等积变形的原理，把它转化成长方形来加以计算，更多的学生因为面积意义的忘却和转化思想的未知，所能做的只是思维价值低下的猜测罢了。面对大多数学生无从思考的断层，如果适时地给这些学生提供格子图的学具，他们便会在摆一摆、比一比中再忆面积大小的意义在于面积单位的数量上。也使得他们更加容易体会到出现“底×邻边”错误算法的道理，一举突破知识的难点。也只有在根植于面积意义上的探究才是深刻理解和体会等积变形原理的本质。

由于新旧知识、策略的无法链接而使学生陷入无序思维状态是我们教学中最常见的问题，在此仅举两例，说明充分展现教具、学具对链接有效知识储备的作用。面对成因相同内容不同的问题，我们采用的方式也会用所不同。总之，我们所能提供的探究前提，要尽量有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，使他们体会到，只要是英雄便会有用武之地。

（二）建构体验，垫高匮乏的思维起点

由于教材编排及教师对教材编排理解上的差异的缘故，很多知识的教学，学生由于缺乏必要的知识基础和策略体验，探究时造成思维断层，探究就无法延续。这时合理的补充和强化便显得尤为重要。

1.前置体验，垫高思维起点。

前置体验即在学生探究新课内容前，通过一项简单的数学活动，让学生提前体验一种策略、一种方法。当学生的探究活動由于基础的薄弱而无法开展时，前置体验变成了一种必然的需要。前置的目的是为了补缺学生思维基础的断层，垫高他们思维的起点，让他们可以在先前的策略、方法的指导下完成对新知的探究。

“鸡兔同笼”教学片段2：

师出示：学校买来2个篮球和4个排球，共用了100元。已知1个篮球比1个排球贵20元，那么篮球每个多少元？排球每个多少元？

学生自行解答：

（100+20×4）÷（2+4） （100-20×2）÷（2+4）

划线部分明确：根据题意，利用假设把一种球进行抵消，使题中只剩一个未知量，这样就可以解答了。 （板书：两种球→一种球）

出示：鸡、兔共20只，共有脚56只。鸡、兔各有多少只？

怎么办？学生会想到，利用假设，把一种动物进行抵消，使之只剩下一种动物。

围绕如何假设、如何抵消展开研究讨论。

此教学片段中，教师巧妙地前置了一个符合学生探究基础的情境，紧扣消去的原理与作用，把学生的思维紧紧围绕在“为什么要假设”“如何假设”“假设后的情况与原本的情况相比如何消去其中的一个量”上。力图使假设法解题的策略由原来的偶发性探究变为由需而生的必然性探究，在探究前及时消除了学生探究时的思维断层，使他们的思维有据可寻。

2.强化运用，夯实方法习得。

由于教材编排的缘故，也由于教师追求短期成效的原因，有些数学知识、策略意识学生步入高年级后就显得异常薄弱，而这些内容在高年级又显得尤为重要。那么，通过及时的强化刺激，改变他们的思维习惯，补全他们的知识短板，夯实他们的方法策略，可以打通他们思维上的断层。

在教学三步、四步解决问题时，我们会发现，学生的错误率很高。更重要的是，探讨时，大多数学生只能依靠综合法对题目进行分析和思考。不可否认，小学的低、中段，因为解决问题情境的单一，相对于分析法，学生凭借综合法便能更简洁的解决问题，因此从条件入手进行分析，成了他们解决问题时的一种思维习惯。而到了高年级，当他们在面对一个有诸多数据的问题时，还是用此种方式来研究，很多学生找不到解决问题所关联的条件，这也决定了他们居高不下的错误率。从问题入手的分析法的缺失导致了他们思维上的断层，导致了问题与条件的割裂，导致了他们的研究成为缺乏因果联系的低效探究。面对这样的现状，在教学前、教学中、教学后，我们可以补充用分析法思考解决问题的练习，通过同质思维的纵向与横向的训练，冲破他们惯有思维所造成的断层，使他们自觉地改变思维的习惯，形成新的策略体系。

我们对课堂教学的定位是让更多的学生在探究中有所收获，有所发展。那么，只有在正确的意识形态下，在充分的知识储备中，他们的探究才会有不同程度的成功，所以，必要的体验和强化正好可以垫高他们匮乏的思维起点。我们的教学也不能仅仅把解决某一具体问题作为教学目标，而是应让他们在“转化、消去、假设、因果联系”等“中心问题”的支撑中形成对策略、方法的体验，使他们在面对更多的问题时，有更多的从容，有更多自主探究找到解决问题方法的能力。

（三）给予时空，激活高涨的探索欲望

不可否认，由于小学生的心理特点和认知水平，很多教学内容都是以学生的初步感知为教学目标定位的，所以导致了有些看似颇有难度的知识其规律的得出具有偶发性和不知其所以然的特点。当我们所涉及的教学内容有不容忽视的盲区时，及时扫除这个思维断层，往往正是发展他们思维能力与品质的大好时机。

1.课外寻觅，拓展释疑能力。

当隐藏在结论背后的原因让学生迷惘时，当这些迷惘只能通过教师强行讲述才能释疑时，我们不妨把目光放到课外，让学生通过自己寻找的途径去获取相应的答案，拓展他们自主释疑的能力。

“3的倍数”教学片段的补充：

围绕学生心中的疑惑布置作业：去百度查找或请教别人，找到这个结论存在的背后原因。

反馈举例：

假设一个三位数为（abc），那么也就是 100a+10b+c，如果该数是3的倍数，又因为 99a+9b 是3的倍数，所以它们的差a+b+c也一定是3的倍数。

这个通俗的解释学生应该还是好理解的，当然，或许还有更为通俗的解释，只有把权利下发给学生时，我们才能知道他们的真实能量。

此课外作业，看似颇有难度，但因为发现自己辛辛苦苦得来的结论，解釋不出所以然来，心中必有不明不休的想法，而在高涨的学习热情的支配下，很多我们看似不可能的结果都有可能发生。因果性是数学美的一大体现，而学生通过自己的努力，去揭示发现内在联系的过程，更是数学美的一大体现。

2.课内分析，构建因果联系。

与上相似，不同的是学生可以通过教师补充的后续环节去顿悟、去透视结论产生的成因，自主地建立起因果联系，这时，不妨及时地在课内扫除他们知识上的思维断层。

与此相似的例子还有“分数能否化成有限小数的规律”，学生通过若干分数的分母的分解质因数，得到：一个最简分数的分母中只含有质因数2或5以及2和5，这个分数就能化成有限小数，如果分母中含有其他的质因数，就不能化成有限小数。而至于为何是这样缺乏理论上的支持，脑海中很难建立起立体的结构。此时，面对学生思维上的断层，教师可以尝试着让他们把那些能化成有限小数的分数化成分母是整十、整百、整千……的分数，再和不能化成有限小数的分数进行比较，他们就会有茅塞顿开的感觉。教学一小步，清晰一大步，我们何乐而不为。

在探索发现的过程中，导致学生思维断层的成因还有很多，我们相应的对策也会不尽相同。好在我们处在课堂教学的第一线，可以随时随地去洞察和发现，随时随地去分析和研究。学生每一次的沉默，每一个思维断层的产生，都是我们薄发的一个契机，都是实现我们课堂教学梦想的一块基石。

（浙江省平湖师范附属小学 314200）