谈理解教材与理解学生

白雪峰

北京市特级教师，现任北京教育学院朝阳分院副院长。曾获全国百名优秀班主任之星、北京市优秀教师等荣誉称号，全国中学青年数学教师优秀课观摩与评比一等奖，主编《教师教学基本能力解读与训练（中学数学）》等多部教师培训教材，参与编写《新课程三维目标操作丛书初中（数学分册）》等论著十余部，在《数学通报》《中小学教师培训》等刊物发表论文近50篇。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011版）》）认为：数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用[1]。数学概念作为理性思维的基本形式，既是数学学习的基石，也是提高学生数学学习能力、培养数学核心素养的前提。因此，概念教学到底怎样才能让学生在深刻理解数学概念的基础上，灵活运用数学概念解决问题，始终是一个值得思考和研究的问题。下面就以《二元一次方程组（1）》的教学为例与同行分享笔者的粗浅思考。

一、案例回放

1.教学回顾

环节1：创设情境，引入概念

首先，教師用PPT展示了几张姚明打篮球的照片，并播放了一段篮球比赛的视频，然后呈现实际问题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是

多少[2]？

进而提出问题：你会用你学过的一元一次方程解决这个问题吗？

教师引导学生设未知数、列方程，利用一元一次方程的知识得出结果，并用PPT展示此解法的关键步骤，又提出问题：如果设两个变量，即设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？学生很快列出方程，得出如下

结论：

解：设胜的场数是x，负的场数是y，则两个条件可以用方程

x+y=10和2x+y=16表示。

于是，教师说“这就是本节课要学习的内容”，同时板书课题。

环节2：出示定义，分层练习

教师利用PPT出示二元一次方程的定义，进而引出二元一次方程组的定义，并利用表格从特殊到一般得出二元一次方程组的解的定义。接着是练习，最后教师总结，布置作业。

2.学生反馈

应该说，教师教学逻辑清晰，整节课讲得很顺利，该完成的教学任务也都完

成了。

课间休息，笔者询问了几个学生：“这节课，你学会了吗？”学生们都不假思索地说：“会了。”于是，我又问：“你能说说二元一次方程组的概念吗？或者举个例子说说。”有的学生腼腆地笑了，闭口不答；有点则不好意思地说“忘记了”；还有个学生在一旁补充道：“晚上回去背背就会了。”

走出教室，笔者内心一直不能平静。本该是一节充满思维乐趣和认知挑战的课，遗憾的是整节课却没有听出促进学生数学思维发展的“数学味”来！

二、问题反思

事实上，从上面的教学回顾我们可以发现两个问题：

1.理解教材的问题

我们知道，教师处理教材的过程其实是一个进行创造性工作的过程，其创造性主要体现在对教材高屋建瓴的理解和把握，即教师要发现学科教材内部知识之间的纵向与横向联系，及其结构化或结构化的特征。在教学过程中，教师要将这种联系和结构特征揭示或提取出来，通过优质的问题、有效的提问和多样的活动促进学生发现、感悟这种内在联系和结构特征。

上述教学案例在理解教材内容方面仅仅做到了理解教材的基本内容，而缺少利用联系的观点和整体把握的视角研究

教材。

2.理解学生的问题

笔者认为：上述教学案例利用篮球比赛视频、明星照片以及与之相关的实际问题引出新知学习，这种情境化的处理方式拉近了学生与数学之间的距离，教学具有一定的亲和力，确能提高学生对数学学习的兴趣。但是作为教师还需要思考：难道激发学生持久的数学学习动机，让他们真切感受数学的价值和魅力，仅仅是几张照片和一两段视频就能够达到的吗？

理解学生，需要全面认识学生的年龄特点、心理特征、学习习惯等内容，切实把握学生的认知基础和思维发展目标，善于发现教材内容在学生和谐发展中的教育价值，并将其与学生的生活学习实际有机融合起来，使学生在深入理解教学内容本质、深刻感悟数学思想方法和深度体验数学思维乐趣的过程中，自然生发数学学习的持久的兴趣与持续的动机。

三、教学建议

“理解数学”的第一要义是研读教材，准确深刻理解教材内容，包括：要了解数学概念产生的背景；知道概念的逻辑意义；理解教学内容所反映的思想方法；懂得知识发生发展过程中所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源；能够区分核心知识和非核心知识等[3]。据此，笔者认为，数学课的“数学味”源于教师在以下两个方面研究思考的深度：

1.基于知识逻辑体系建构解读教材—正确理解教材内容

在教学设计中，要想达到全面而深刻理解教材内容，就需要教师善于运用联系的观点在一个结构体系框架内解读教材，善于运用相关的数学思想方法作为学科支撑，使这一完整的学习过程在具有统摄意义的数学思想和教学观念下有效推进。

一般来说，数学概念是对一类事物共同属性或共同特征的反映或表达。因此，学生在获得数学概念的过程中，教师需要提供尽可能丰富且适量的实例，以利于学生基于实例提炼概括它们共同和本质的特征，最终抽象出数学概念，进行数学化地表达，并通过正例和反例进行概念辨析，使学生全面理解概念的内涵和外延，深刻理解概念本质和数学表达，最终学会利用抽象的数学概念来解决问题。然而，并不是所有的数学概念都需要上述教学过程，因为，数学概念是有层次的。对于不同层次的概念，教师应该选择不同的教学方式和策略。

“二元一次方程组”是七年级下册的重点内容之一，根据《课标（2011版）》概括本章核心的教学目标如下：基于含有多个未知数的实际问题，经历“分析问题数量关系、设未知数、列方程组、解方程组和检验结果”的过程，基于二元一次方程组及其相关概念，能设两个未知数、列方程组表示实际问题中两种数量关系，掌握二元一次方程组的两种解法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当解法，从中体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型，体会消元的思想和数学的应用价值，提高分析和解决问题的能力[4]。

其中，二元一次方程组的“上位概念”是二元一次方程，与二元一次方程地位相同的“相关概念”是一元一次方程，而一元一次方程的“上位概念”则是方程。因此，方程、一元一次方程既是学生原有的认知经验，也是新知学习的生长起点。学生在学习了二元一次方程组后，还要继续学习新的方程和方程组，甚至是不等式和不等式组等，学生要从中感悟二元一次方程（组）与一次函数、直线等相关知识之间的内在联系，感悟方程（组）与不等式（组）之间的内在联系，这些都是学生关于方程（组）问题学习的思维和能力的发展方向。

综上所述：二元一次方程（组）的学习过程具有承上启下的桥梁作用，是贯通方程（组）、函数、不等式（组）的重要纽带。二元一次方程（组）的及其相关概念应该成为教学的重中之重，也应该是第一课时教学的重难点。在上述知识完整的学习过程中，学生的数学抽象、数学运算和数学建模等素养将得到不同程度的发展，他们对“元”的认识将得到进一步深化，对方程思想、化归思想的感悟也会逐渐得到强化。所以，支撑本单元知识的数学思想方法可以包括“元”的思想、方程的思想、化归的思想以及类比学习方

法等。

因此，教师若只把主要精力放在为学生提供学习数学的现实素材的“精美”处理上，而忽略了挖掘现实情境背后的数学知识本质，就会浅化和窄化学生的数学学习。在教学过程中，为避免出现上述问题，需要教师既关注学生的认知基础，又关注学生后续学习的知识和能力需要，把握知识之间的纵向与横向联系，在一个逻辑体系内理解教材内容，适时适当运用相关数学思想方法，使这一完整的学习过程变得具有思想根基和观念支撑。

基于上述分析，本节课的教学重点应该聚焦在二元一次方程组及其相关概念的理解上，核心的思想方法应落脚在“元”的思想和化归思想方法的渗透上，一以贯之的学习方法则是类比迁移的学习方法。为此，教师要在促进学生深刻理解二元一次方程组及其相关概念上设置问题，要对为什么可以类比以及如何类比开展学习上设置问题，以期促进学生自觉利用类比学习的方法，自主开展探究学习，使核心的数学思想得到深化，解决问题的方法得到迁移，数学学习的能力得以提升。

2.基于学生认知经验设计问题—有效激活学生思维

学生的思维活动构成“思维链”，它的产生、发展与完善，对于学生能否变被动接受学习为主动探究学习，往往起着决定性作用。因此，有吸引力的课堂一定是建立在对学生全面实证分析的基础之上的，或者说全面准确的理解学生是教师进行有效教学的基础，是促进学生思维“实质参与”课堂教学、实现高效课堂的

关键。

比如，在引入本课伊始，教师可以设计下面的问题链：

问题1：我们已经知道了方程的定义，学习了最基本的一类方程，即一元一次方程，你能举出几个例子，并说说它的定

义吗？（学生回答问题后，教师可以继续

发问。）

问题2：哪位同学能举例说说你对一元一次方程概念中“元”和“次”含义的理解？（教师可结合数学史料丰富学生对“元”的认知。）

问题3：类比一元一次方程这个概念，你认为我们还有可能学习哪些方程？（教师适时引导学生集中思考二元一次方程的概念，指导他们用自己的语言表达交流。）

说明 上面三个问题基于学生已有认知基础，在数学内部引发问题，由易到难，逐层深入，构成一个系统。特别是问题3，具有一定的开放性，可使学生的思维一下子被激活。他们可能会无所顾忌地说出很多方程，甚至是n元n次方程……这组问题不仅可以提高学生对数学知识发生发展过程的逻辑必然性的认识，并且能给他们在思考问题时以类比的对象，有利于学生概括出二元一次方程的抽象定义，从而降低学习难度，加深他们对“元”和“次”的理解，为学生的后继学习奠定发展基础。

基于上述学习过程，教师再给出实际问题：

问题4：请你解决如下实际问题（详见[2]）。（教师也可以给出其他经典问题，如鸡兔同笼问题等。）

说明 初中阶段，学习任何方程，首先要强调的都应是“解决实际问题”。所以，在“数学内部”提出问题后，教师再提出一个与学生生活联系紧密的实际问题或经典问题，引导学生利用一元一次方程和二元一次方程（组）的知识将实际问题转化为数学问题，这样就把“理解数学（教材）”与“理解学生”对接起来，实际上也把“数学有用”真正体现在学习过程中；学生通过解决具体问题，发现自己的想法“果然有用”，其学习兴趣也就“自然而然”被激发了。

在问题解决后，教师进一步提出如下问题：

问题5：回顾上述两种解决问题的方法，你认为蕴含其中的主要数学思想方法是什么？

问题6：根据以往学习经验，你认为学习研究“二元一次方程组”的基本路径是什么？可以利用怎样的方法开展这一内容的学习？

说明 教师利用上述三个问题水到渠成地引出了对二元一次方程（组）及其相关概念的学习和研究，有利于增强学生对数学知识之间内在联系的感性认识。同时，问题5和问题6直接指向学科思想渗透和学习方法迁移，有利于发展学生的数学核心素养，提高他们的数学学习能力。可以说，研究解决上述问题的过程中，教师启发式讲授的“逻辑链”与学生自主式学习活动的“思维链”之间达到了相互催生牵引、和谐发展的境界，可谓“一箭双雕”。

教材是教师对学生实施教学的重要依据，学生的学习成效和能力发展取决于教师对教材的理解深度和把握程度。教学，简单地说就是“教师教与学生学”，是一个双边思维互动的过程。所以缺少了对学生的理解，教师对教材的理解就变成了“片面地”内容理解。因此，教师要将理解教材（数学）与理解学生紧密结合起来，使之在教学设计与实施过程中相辅相成发挥指导作用，以构建促进学生思维发展的生态课堂。

章建跃博士认为：“发展学生数学核心素养的教学”与“思维的教学”没有本质区别，把数学教好是落实核心素养的前提！关键是要“示以学生思维之道”，让学生经历完整的“獲得对象—研究性质—应用拓展”的全过程，使学生学会思考，能用数学的方式认识问题和解决问题[5]。对此，我深以为然。核心素养时代，教师应努力提高教学品位，彻底摒弃“一个定义，三项注意，几个例题，大量练习”应试模式[6]。中学数学课堂教学要着眼于数学思想方法的渗透，学生思维品质的养成以及理性思维与科学精神的培养，促进学生自然生动和积极主动地开展数学学习，这既是发展学生数学核心素养这一终极目标的要求，也是教师开展教材和学情研究的目的所在。

参考文献：

[1][4]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]义务教育课程标准实验教教科书（数学），七年级下册[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]章建跃.有效改进课堂教学—暨第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动综述[J].数学通报，2008（12）：1-6.

[5]章建跃.数学核心素养如何落实在课堂[J].中小学数学（高中版），2016（3）.

[6]章建跃.再谈学生发展核心素养如何落实在课堂[J].中小学数学（高中版），2016（4）.

责任编辑：肖佳晓

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