《烙饼问题》教学设计

赵世龙

[教学目标]

（1）结合“烙饼”这一事例，在探索多种“烙饼”方案的过程中，经历创造多样化解决问题方案的统筹过程和选择最优方案的优化过程，掌握统筹与优化的基本步骤和方法，理解统筹与优化的数学思想。

（2）在数学活动中，经历观察、比较、分析、猜想、推理、实验、操作等探究思维过程，提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展抽象思维能力，积累推理活动经验。

（3）能够运用统筹与优化的思想方法解决实际问题，体会优化思想应用的广泛性，感受数学的魅力，提高解决问题的能力，激发学生的创新精神。

[学情分析]

在学生的生活经验系统中，潜在着将几件事情同时做可以节约时间基本观念，这为类推出两张饼同时烙（锅里的饼位充分利用，不出现空余饼位）可以节省时间提供了最有效的知识生长点。但在具体的教学活动中，还应注意让学生在充分经历优化烙饼方法的实践活动的基础上，及时点拨指导，帮助学生抽象出统筹与优化的基本思想。另外搭配的知识是探索三张饼省时烙法（搭配法）的基础，但是这方面的知識由于学习时间过长，学生早已生疏，这给探索三张饼的省时烙法制造了障碍。特别是由三张饼的常规搭配（两张饼搭配烙两次，第三张饼没有搭配对象单独烙两次）烙法，转换为每两张饼相互搭配烙一次（6个面，每两个面搭配一次共烙3次）的非常规烙法，学生需要克服很大的思维定势，因此三张饼的搭配烙法是这节课的难点。为了打破这一思维定势，可以依据中年级学生抽象思维还处在具体形象阶段的特点，借助动手实践、联系生活、多媒体展示等直观手段帮学生建立清晰的搭配表象，继而组织学生进行归纳推理、类比猜想等推理，探索并理解三张饼的搭配烙法，从而进一步发展学生的抽象思维能力。中年级学生具有很强的好胜心理，对科学家心怀向往，这为调动学生的学习兴趣，激发学习动机，培养创新精神提供了难得的契机，因此设计挑战性问题、展示科学家的画像和工作场景，开展创新实践使该目标得到落实。

[重点难点]

教学重点：探索烙饼的最短时间与饼的总面数、每次烙的面数、烙一次用的时间四者之间的关系，能够利用这一规律解决与烙饼有关的实际问题，从中学会具体问题具体分析。体验统筹与优化的思想，激发学习兴趣，鼓励学生努力做到学以致用，大胆探索，勇于创新。

教学难点：运用搭配的知识探索和发现烙三张饼的省时烙法，并体会解决问题过程中提出假设和验证假设的数学过程，积累推理经验，体验数学的挑战性，激发学习数学的兴趣。

[教学过程]

一、谈话导入，激发兴趣

同学们喜欢吃烙饼吗？见过妈妈烙饼吗？谁愿意到前面模仿一下妈妈是怎样烙饼的？

烙饼得有锅，没锅呀！老师画一个“锅”。没有饼呀！老师把准备好的圆片展示给学生，就用这个当作饼！

学生模仿。

教师鼓励学生说：“模仿的真像，看来你是一个细心的孩子”。为了便于描述，我们把先烙的那面叫作饼的正面，后烙的那面叫作饼的反面，好不好？（好）

同学们可能想不到，烙饼问题中还包含着重要的数学学问？这节课我们就来研究《烙饼问题》。打开幻灯片出示课题，并板书课题——《烙饼问题》。这是数学广角的学习内容，大家都知道数学广角的内容有趣味，但也有一定的难度，你们敢于挑战吗？（敢于挑战）为了上好这节课，老师提出四个要求：“认真倾听、敢于发言、善于思考、与众不同。”能做到吗？（能做到）

二、解读信息，明确烙饼原则

1.出示问题

用课件出示主题图，引导学生观察和思考“每次只能烙两张饼，两面都要烙，每面要烙3分钟”这三条关键信息。

2.教师追问，深入解读信息

要求是“每次只能烙两张”，每次烙一张行不行，每次烙三张呢？（帮助学生明确每次可以烙一张，至多烙两张，因为锅没有那么大）

要求“两面都要烙”，烙一面行不行？（帮助学生明确，只有两面都烙好饼才能熟）

要求“每面要烙3分钟”，烙1分钟或者4分钟行不行？（帮助学生明确烙3分钟刚刚熟好，营养又可口。时间短了烙不熟，时间长了烙硬了或者烙糊了）

3.归纳强调信息加深印象

看来烙饼是有条件的，这三条是我们烙饼时必须遵循的原则。一起读一下：“每次只能烙两张，两面都要烙，每面要烙3分钟。”

三、观察操作，探索三张饼的最优烙法

1.出示问题，初步探究

（1）教师点击屏幕出示问题：爸爸、妈妈和我每人一张饼，怎样烙才能吃上饼？

（2）谈话：看来要烙几张饼？（3张）尽快吃上饼是什么意思？（烙饼所用的时间越少越好）

（3）提问：可以怎样烙？

（4）学生酝酿并思考烙法。

2.操作汇报，剖析方法

（1）发放学具，用圆片代替饼亲自尝试烙一烙。

（2）请学生汇报烙法：先把两张一起烙，两张饼的正面烙一次，用时3分钟；反面烙一次，用时3分钟；再烙第三张饼的正面，烙一次，用时3分钟；反面烙一次，用时3分钟。总共烙了4次，总计用时12分钟。请学生到前面用圆片代替饼摆一摆，教师将关键数据写在黑板上。

（3）板书讲述，呈现数据。我们所介绍的烙法中包含着重要的数学信息，我们一起归纳并写在黑板上。一共要烙几张饼？板书“3张”，我们把它叫作饼数，在3张的上面板书“饼数”。烙的方法概括写成：“2张同时烙+1张单独烙”，我们把它叫作烙法，板书“烙法”。烙了几次？板书“次数”，在次数的下面写上“4”。总共用了多长时间？板书“所用时间（分钟）”，列式“3×4=12”。

提问：烙3张饼时包含几种烙法？老师把烙2张饼的数据和烙1张饼的数据写在3张饼的上面好不好。（说明：2张饼的烙法和1张饼的烙法是所有烙法的基础，将其写在上面，可以帮助学生进一步明确其烙法，有利于学生在后面的环节中运用这些方法进行推理。）仿照板书烙3张饼的方法，板书一张饼烙法：“饼数1、单独烙、烙2次、用时2×3=6”。同样板书2张饼的烙法：“饼数2、2张同时烙、烙4次、用时2×3=6”。

3.引导观察，启发质疑

（1）提问：观察板书中烙1张饼的数据和烙2张饼的数据你发现了什么？（时间都是6分钟）追问：你有什么疑问？

（2）交流后归纳：烙一张饼时锅里留下了空位，所以烙一张饼的用时和烙两张饼的用时一样，原因是两张饼同时烙充分利用锅中的饼位，可以节省烙饼的时间。提问：我们烙3张饼会不会选择一张一张地烙？明确不同的烙法所用时间有所不同。教师讲述：我们把锅所能提供给我们的饼位叫作锅所能提供的资源，这里的“2”叫作“资源数2”。提问：如果能提供3个饼位，它的资源数是几？（资源数是3）（说明：通过探讨使学生明确烙1张饼时，锅里面空着一个饼位，所以浪费了时间。归纳出充分利用锅里面的饼位可以节省时间，提高烙饼的效率。）

4.引导推理，创设冲突

（1）谈话并提问：我们仔细研究一下烙两张饼所用的时间，两张同时烙，烙了2次，用时6分钟，用数学的方法推算一下烙一张饼需要多长时间？（烙一张饼用时3分钟）

（2）质疑：“3分钟真的能烙好一张饼吗？”使学生明确3分钟两张饼都烙好了一个面，不是烙好了一张饼，而是相当于一张饼。也就是说，烙一次，烙两个面，用时3分钟，相当于烙好了一张饼；烙两次，烙了4个面，就是烙好两张饼，用时6分钟。

（3）追问：3分钟烙1张饼，6分钟烙2张饼，那么烙3张饼需要多长时间？（9分钟）

（4）再次追问：为什么9分钟能烙好3张饼，说说你的理由？（烙3次能烙好6个面，也就是烙好3张饼，总计用时9分钟。）

（5）鼓励：和上面的12分钟烙3张饼的方法比较，9分钟更节省时间，能够让全家人尽快吃上饼，这是我们推理后产生的与众不同的想法，这种严密思考，大胆猜想的精神值得表扬。

5.动手操作，验证猜想

（1）提问激励。那么我们能不能实际烙一烙，看9分钟能不能烙好3张饼，把我们这个与众不同的猜想变成现实呢？这就是我们这节课要面对的重大挑战。操作无果后，教师引导：我们把任何两张饼搭配一起烙，第三张饼都会单独烙，第三张饼没有自己的伙伴了。1号饼和2号饼搭配烙了几次，能不能从这里进行一下改进，看能不能研究出一个办法？

（2）学生二次操作，探索3张饼的省时烙法。

（3）尝试无果，剖析原因。无论哪两张饼一起烙，剩下的一张饼都要单独烙，在烙一张饼时锅里出现空余饼位，造成时间浪费，看来9分钟是烙不成了。

（3）再次激励，二次启发。这么好的想法我们就放弃了吗？不能，我们再仔细想一想：两张饼在一起烙了几次？（2次），我们能不能改良一下这个方法？你有什么新的猜想吗？（改成搭配一次行不行，把搭配机会分给别的饼行吗）

（4）三次探究烙法。（视学生探究的情况确定继续引导的办法）

6.组织游戏，启发类比

（1）组织游戏：请三名同学到台前来，并把三名同学编成1、2、3号。1号同学可以和2号同学做朋友吗？你们拉上一只手。1号同学可不可以和3号同学做朋友呢？可以也拉上一只手。大家看他们的手是怎样拉在一起的？（1号的右手拉住了2号的左手，1号的左手拉住了3号的右手）追问：我们还能继续做吗？怎样做？（学生说：3号的左手拉住2号的右手，3号和2号做了朋友）

（2）追问启思：这个游戏对9分钟烙好3张饼是否有所启发呢？

7.再次探究，实现猜想

（1）学生操作，教师巡视。

（2）汇报烙法，说明理由：你是如何从游戏中获得启发的？（1号同学的右手和2号同学的左手拉在一起；1号饼和2号饼的正面在一起烙一次；1号同学左手和3号同学的右手拉在一起，1号饼的反面和3号饼的正面在一起烙一次；2号同学的右手和3号同学的左手拉在一起；2号饼的反面和3号饼的反面在一起烙一次。这样烙了3次；用时9分钟就将3张饼烙好。）

（3）对比剖析，切中本质。1号饼和2号饼搭配了两次，就没有饼和3号搭配了，所以烙了4次，用时12分钟，这种搭配是整张饼的搭配。现在改为1号饼和2号饼、3号饼各搭配一次，2号饼和3号饼搭配一次，共搭配烙了三次，用时9分钟，这种搭配是对饼的面进行搭配，3张饼，六个面当然可以搭配成三组，烙三次，9分钟。

8.媒体演示，深化理解

教师用多媒体课件演示三张饼烙法、三个小朋友拉手游戏，研究它们的关系，深化学生对搭配烙法的理解。

9.命名烙法，概括提升

我们能为这种烙法起个恰当的名字吗？探讨后确定命名为“搭配烙”。我们找到了烙3张饼的省时烙法，为我们自己点赞！

四、类推比较，发现规律

1.启发谈话

一张饼单独烙，烙2次，用时6分钟；2张饼同时烙，烙2次，用时6分钟；3张饼搭配烙，烙3次，用时9分钟。那么4张饼、5张饼、6张饼怎样烙？学生说，教師完成板书。板书见表格：

2.引导观察，发现规律

观察表格，你能发现什么规律？（如果学生的发现不够全面，教师可以启发学生观察：观察表格的后两列，烙饼所用时间和烙次有什么关系？观察表格第一列和第三列，看看最节省时间的烙法中烙次与饼数有什么关系？观察第二列与第一列看烙法有什么特点？比较6张饼的两种烙法，你选择哪一种？）

3.总结归纳规律

通过观察可以发现，烙饼所用时间等于烙次乘以烙一次所用时间；节时烙法的烙次等于饼数；除了1张饼单独烙外，单数饼都要用到搭配烙；双数饼都是两张两张同时烙；6张饼选择同时烙比搭配烙更方便。

4.补充板书，追问完善规律

请同学们快速说出烙9张、99张饼的烙次和所用时间，补充完善板书。追问，是不是烙饼的次数一定等于饼数？假如锅再大一点，每次至多烙3张饼，那么烙3张饼还需要搭配烙3次吗？引导学生发现烙次和饼数有关，还和每次至多烙的饼数有关，要学会具体问题具体分析。

五、归纳总结，提炼思想

1.引导谈话，抽出统筹与优化的数学思想

在烙饼的方案设计上，我们寻找到了多种烙法，比如3张饼，可以一张一张烙，烙6次，用时18分钟；可以两张同时烙，一张单独烙，烙4次，用时12分钟；可以搭配烙，烙3次，用时9分钟。当然我们最后选择用时最少最节约资源的搭配烙法。

2.讲述思想，学以致用

这种寻找解决问题的多种方案，从中选择最佳方案的过程和方法，在数学上叫作“统筹与优化”，教师板书“统筹与优化”，统筹与优化是一种重要的数学思想。介绍我国著名数学家华罗庚，展示他的统筹与优化的基本步骤：1.从整体考虑创造多种解决问题的方案；2.选择最佳方案，节约资源和时间。讲述华罗庚到工厂和田间地头推广他的统筹与优化的数学思想，大大提高了生产效率，为经济建设作出重大贡献，人们把这个思想应用于生活中，同样提高了生活的效率和质量。华爷爷的事迹启发我们学习数学要学以致用。

3.大胆追问，鼓励创新

还是烙3张饼，如果不采用搭配烙法，能不能烙一次，用三分钟就将饼烙好？当学生说把3张饼夹在两口锅的中间烙时，教师鼓励，这是一个大胆的猜想。请全体同学为他鼓掌，又一个“华罗庚”的粉丝诞生了，你是华罗庚统筹与优化思想的践行者。多媒体出示电饼铛，并赞扬说，这名同学的猜想已经变成现实，指出技术革新可以提高工作效率，技术革新也是一种优化。

六、及时测试，促进应用

1.出示问题，独立解决

解决问题（选做一题）

第一题：一种电脑小游戏，玩1局要5分钟，可以单人玩，也可以双人玩。小东和爸爸、妈妈一起玩，每人玩两局，至少需要多少分钟？

第二题：三个人将一张办公桌抬到7楼，怎样分工合作更合理？

2.讲评问题，进行指导

七、课堂寄语，指导学法

用多媒体出示课堂寄语，学生诵读：疑问永无止境！创造永无止境！让我们开动脑筋，去探索数学的奥秘吧！

八、課外拓展，实践创新

[课后作业]

设疑：假如妈妈烙饼所用的锅再大一点儿，每次最多能烙3张饼，情况还跟2张饼的一样吗？

附：用一个平底锅烙饼，每次可以烙3张饼，两面都要烙，每面要烙3分钟。如果烙5张饼，至少需要多少分钟？6张、7张呢？先独立研究，再通过微信群进行探讨和交流。

（责任编辑∶李雪虹）