内隐学习：建构数学教与学的新坐标

朱玲玲

摘 要：数学教学不仅需要关注学生外显学习范式，更需要研究学生内隐学习策略。内隐学习具有个体性、顽固性、迁移性等诸多特性。在数学教学中，建构学生内隐学习新坐标，关键在于促进学生的自我感悟。教师可以借助于情境内隐、经验内隐及活动内隐等诸方式，展开丰富的数学课堂教学实践。

关键词：自我感悟；内隐学习；教学坐标

当代认知心理学的杰出成就突出表现在对学生显性学习的范式研究上，但对内隐学习却研究不多。可以这样说，显性学习属于人的意识层面，而内隐学习则隶属于人的无意识层面。从心理学的“冰山模型”角度看，内隐学习相当于冰山以下的部分。很多时候，学生往往按照某种规则、标准解决问题，但却不能描述、言说出来。其实，这就是内隐学习。

一、内隐学习：教学新坐标的确立

内隐学习是一种区别于传统外显学习的不知不觉的学习，是一种自然的学习，表现为一种心理动作，属于缄默性知识（波兰尼语），可意会而不可言传。然而，内隐学习在学生的问题解决过程中往往发挥着至关重要的作用。当然，隐性知识与显性知识不是完全割裂的，而是交融在一起。例如低年級的显性知识，随着学生学习的不断内化，在高年级常常演变为隐性知识。因此，从根本上讲，人的隐性知识是不断丰富、发展的，内隐学习同样如此。内隐学习具有个体性、顽固性、迁移性、自动性、耐久性等诸多特性。

1. 个体性

内隐学习更多的基于学生的个体学习经验，基于学生的个体知识结构、问题解决方式等。例如学习《十几减9》（苏教版一年级下），有学生一个个地减；有学生先从10里面减9，再用得到的数加上个位上的数，即“破十法”；有学生采用连减法；有学生甚至将被减数和减数同时加1，即“凑十法”；而对20以内进位加法熟练的学生则快速地采用算减想加法……基于不同知识经验和问题解决的内隐经验，学生解决问题的方式呈现出多种样态。

2. 顽固性

内隐学习是一种快速的、瞬间的问题思考和解决方式，往往带有直觉思维的特征。内隐学习往往是学生的第一感觉，这些第一感觉有的是正确的，有的则夹杂着某些错误认识。第一感觉取决于学生的数感、数识，取决于学生对数学的一种领悟。因此，内隐学习往往很顽固，不容易矫正。例如教学《平行四边形的面积》（苏教版五年级上），学生受到了平行四边形活动框架推拉成长方形的影响，往往猜测平行四边形的面积等于底乘斜边。而且，即便教师将学生的错误矫正过来，学生在问题解决时还会反复出现错误。

3. 迁移性

内隐学习是一种运用自身内隐实践性智慧的学习。这样的能力建基于学生的内在感觉，建基于学生的迁移能力。例如学习了“平行四边形的面积”，有学生能够主动猜测“三角形的面积推导”“梯形的面积推导”等；学习了“圆的面积”，有学生能够主动推导“圆柱的体积”；学习了“商不变的规律”，有学生能根据分数与除法算式、比的联系与区别，主动猜想并尝试推导“分数的基本性质”“比的基本性质”等。学生迁移能力越强，提取、操作数学信息的速度就越快。

总之，作为一种内隐的规则系统，内隐学习的个体性、顽固性、迁移性往往让我们感觉到神秘莫测。教学中，教师不仅要研究学生的行为表现，更要创设条件，深入学生的学习心理层面，洞察学生的学习动机、意向、倾向等。

二、自我感悟：内隐学习的课堂实践

自我感悟是内隐学习课堂实践众多路径中的基本向度，也是内隐学习的核心热词。教学中，要让学生触摸到数学的问题解决策略，领悟到数学的基本思想方法。通过自我感悟，让学生将具有缄默性的数感（感性认识）提升为数识（理性认识）。通过创设情境，引导学生在新旧知识之间建立联系，让学生在活动中感受、体验、催生、孵化、助推学生的内隐学习，形成学生的隐性实践智能系统。

1. 经验内隐，激活数学知识

内隐学习往往依赖于学生的经验。学生原有感性经验、认知结构、知识材料等对内隐学习起着至关重要的作用。教学中，教师要活化学生的经验，增强学生经验的可利用性、可辨别性以及清晰稳定性，从而能够将教学建立在学生经验理解基础之上。只有这样，才能在新知与经验之间建立意义关联，引发学生内隐学习。当学生内隐学习发生困难、遭遇障碍时，教师应当帮助学生找准经验与知识间的联结点、迁移点，让学生领悟数学知识背后的数学思想方法，助推学生学习顺应与同化。

例如学生学习《24时计时法》（苏教版二年级上册），笔者发现学生常常对两个时刻点之间的时间计算不知所措。其根本原因在于这样的计算没有先例，学生没有直接经验的支持。为此，笔者在教学中引导学生用竖式计算，激活学生的计算经验。在学生尝试将时间计算写成竖式形式后，针对学生提出的问题“老师，几分减几分不够怎么办？”启发学生思考：我们在列竖式计算时，如果不够减怎么办？“向前一位借1。”至此，因为教师激活了学生计算的内隐经验，学生自然掌握了时间计算。当分减分不够时，他们主动向“时”借1，由于1小时等于60分，因此他们将退下来的1小时作为60分参与计算。这里，教师对学生难以理解的算法进行“变形”处理，用竖式激活学生的已有知识经验，不仅让学生深刻地感悟算理，而且让学生更加深刻地感悟六十进制、运用六十进制。

研究并建构学生内隐学习范式，有助于让学生在无意识状态下领悟数学知识的本质，进而将数学知识融会贯通，形成良好的数学技能、素养。内隐学习能力是一种看不见的学习能力，但它实实在在地对学生的学习发挥着至关重要的作用。在上述教学中，在学生提取相关知识出现障碍时，教师适时给学生一根思维“拐杖”，让学生借助竖式理解时间计算。巧妙的变通，促进了学生的深刻感悟。

2. 情境内隐，激活数学认识

在数学知识形成之初，教师要创设合适的情境，对学生的数学学习进行潜在的渗透。通过情境，激发学生的内隐学习动力，盘活学生的内隐学习方式，引导学生形成无意识的兴奋的学习状态，让学生的学习迁移力活跃起来。激活学生的数学学习内需，引导学生对有效的数学信息进行处理、比较，帮助学生及早内隐。

例如《圆的认识》（苏教版五年级下），笔者在教学中运用现代信息技术创设情境，引导学生直观感知长方形、三角形、梯形和椭圆形的车轮在平坦的大道上的行走样态，学生在“直观看”中获得第一印象，初步在“文化—心理”层面建立“圆，一中同长”的表象，形成圆的初步特征的隐性认知。同时，学生在情境中自然萌发出这样的疑问：“圆形车轮为什么在平坦的路上行走如此平稳？其数学原理是什么？”对圆的特征进行深度的、富有数学本质的追问与探寻，正是学生内隐学习的开始，也是学生获得内隐知识的发端。可见，隐性学习是显性学习的基础，更是显性学习的动力。

内隐学习实施得越早，学生获得的内隐性知识就会越深刻，学生就能越早地形成数感，在未来的学习中体现出更好的学习效果，同样也就能更快地形成理性的数识。积淀内隐学习经验，还可以最大限度地刺激学生大脑，完善学生的大脑机能，形成良好的心理品质。

3. 活动内隐，激活感官体验

活动是学生获得内隐知识，展开内隐学习的重要路徑。抽象性、概括性的显性数学知识尤其需要通过学生的观察、操作活动来完成，由此形成学生的内隐体验。只有全方位激活学生的感官，学生对数学知识的印象才能更加深刻，才能产生内隐的、数学顿悟效果。数学活动主要有两类，一类是实际操作性活动，另一类是观察、演示性活动。

教学五年级的《圆的认识》，为了丰富学生的感知活动，笔者在教学时从三个层面展开：一是让学生用圆规在黑板上、作业纸上画圆，学生体会到圆心决定圆的位置，圆心在哪里圆就在哪里，同时感受到圆的大小与圆规两脚张开的大小有关，这时他们形成的认识是“只要有圆规，就可以画圆”，所形成的心理感受是“只要有圆规就能画圆”。二是通过多媒体课件，让学生观看体育老师在操场上用灰勺画圆的过程——固定绳子的一端，让另一端绕着固定的一端旋转。这时，学生超越了刚才的心理感受，形成了这样的认识：画一个足够大的圆，圆规无能为力，但只要定点、定长、旋转就一定能够画出一个圆。三是笔者用一端系着小球的绳子甩动一周后小球留下的轨迹。这时，学生在内心形成了关于圆的本质感受：哦，原来圆就是“到定点的距离等于定长的点的集合”。如此，学生的理解不断深入，他们逐步去除圆的非本质属性，对圆的认知逐步走向清晰和深刻。

学生内隐学习的过程就是学生不断探索、不断发现的过程。通过实践活动，学生不断地深化对数学知识的理解、感悟，不断地展开数学化的思维，不断地探寻数学世界的奥秘，他们能够在内心深处生发出“哦，原来如此”的感受。

内隐学习过程是学生获得实践智慧的过程，这些实践智慧有可能是个体无法言说和表达的。也正因为如此，内隐学习的培育过程才是长期的、潜移默化的，这个过程从模仿到认同再到内化，需要教师提供适时而必要的支持。重视学生数学意识的培养，渗透相关的数学思想方法，让学生慢慢感受、体验，能够发展学生的数感，提升学生的数识。