反比例函数常见错误及解决思路

黄芳

反比例函数是初中数学的重点知识，同时也是中考的必考项目.为了提高同学们的解题效率，避免不必要的失误，下面，我们列举了几类同学们容易出现的错误，希望同学们能引以为戒.

一、概念理解不到位，考虑问题不全面

一部分同学在解题过程中出现错误的主要原因之一是对有关概念的掌握不熟练，不能正确决定在解答时应该如何入手，也容易在解题过程中出现疏漏.此外，反比例函数的相关概念对函数本身有一些限定条件，出题者在出题过程中会将这一条件视为默认条件，不予明确说明.而部分学生对有关概念并不了解，在解题过程中必然会出现错误.

例1 设存在函数y=[（m-1）xm2-2，]且该函数为反比例函数，求m的值.

【错解】由于该函数为反比例函数，所以m2-2=-1，通过计算可得m=±1，所以可得m的值即为±1.

【分析】该同学在解答题目过程中忽略了反比例函数的一个至关重要的概念，即系数不得为零，否则该函数便成了y=0，就不是反比例函数了.因此，我们在计算m2-2=-1时，还需添加限定条件m-1≠0，最终得到m=±1以及限定条件m≠1.由此可见，m=1与题意本身并不相符，所以本题答案仅有m=-1.

例2 在下列函数：y=[3x、]y=3x、y=[13x、]xy=[-13、]y=[2ax、]y=3-x、2-3xy=0、y=3x-1，属于反比例函数有（ ）.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【错解】就整体形式而言，有的同学容易选择y=[3x、]xy=[-13、]y=[2ax、]y=3x-1这4个.

【分析】通常情况下，判定自变量与因变量之间是否成反比例函数关系应以如下三种形式为标准：第一，y=[kx]（k≠0）、y=kx-1（k≠0）以及xy=k（k≠0）.所以y=[3x、]xy=[-13、]y=3x-1明显是反比例函数.但y=[2ax]并不是，如果a等于0，则该函数必然不是反比例函数.而2-3xy=0则可以通过变式转化为xy=[23，]即y=[23x，]所以2-3xy=0同样为反比例函数.所以属于反比例函数的有y=[3x、]xy=[-13、]2-3xy=0、y=3x-1，选D.

二、忽略图像中给定的信息

数形结合是数学中的重要思想.反比例函数的一些性质能够借图像表达.大家在解题过程中，可以画出关于该函数的草图，来解决有关问题.

例3 设存在反比例函数y=[m-5x，]该函数的图像在相应的象限中，y值随着x值的增加而相应增加，求m值的取值范围.

【错解】因为题目已知反比例函数y=[m-5x]的图像在相应的象限中，y值随着x值的增加而相应增加.针对该情况，所以m-5>0，此时求得结果是m>5.

【分析】错解出现错误的主要原因是未能将反比例函数同其图像对应，导致在解答过程中混淆了正、反比例函数的性质.对于反比例函数，当k小于0时，反比例函数图像位于第二象限以及第四象限，变量y随着x值的增加而增加，由此可见，m-5最终的值应当小于0，而并非大于0.故最终m值的取值范围应当小于5.针对该现象，建议大家在解答之后，选择代入法予以验证，同时绘制草图.按照错误解答的方法，我们代入一定数值，如m=6，则有y=[1x，]同时设存在点A（1，y1）、B（2，y2）两个点，则点A坐标为（1，1），点B坐标为（2， [12]）.所以，当m取值范围为m>5时，变量y并未随着x值的增加而增加，反而随着x值的增加而减小.大家若能将图像与题目相结合，则解题速度可得到明显提升.

三、解题方法过于死板，不灵活

部分同学在解题过程中，选择的解题方法虽然也可解决问题，但却需要花费较长的时间，对之后题目的解答造成一定影响.因此，我们应该学着使用简便的方法解决题目.

例4 已知存在点A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（4，y3）.设有反比例函数y=[-6x，]且点A、B、C都在函数图像当中，则y1、y2以及y3的大小关系为 .

【错解】该题难度不大，反比例函数表达式已经给出，一些学生会选择将三个点的横坐标分别代入，得出y1、y2以及y3的值，之后进行排序.

【分析】上述方法需要大家將每个点都代入函数当中，此方法大部分同学会采用，那是否还有其他方法呢？我们可以试着使用数形结合的方法予以解决.首先绘制反比例函数y=[-6x]的草图（如图1所示）.其次，在图像中分别标出点A、B、C的横坐标.最后对应横坐标寻找各点的纵坐标.至此，便可得出答案.

由上题可见，解决问题的方法有多种，如果题目换成另一种形式，如：已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）都在函数y=[k2+1x]（k为任意常数）的图像上，且x1

四、缺乏解决综合类型题的能力

能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，但一些同学往往缺乏建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力.因此挖掘题目中的有用条件，运用所学的反比例函数的图像和性质、待定系数法等知识解决问题也是大家需要加强的地方.

例5 如图2，反比例函数y=[kx]（x>0）的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为6，求k的值.

【错解】部分同学对题目中出现的条件无法处理，不知道如何运用这个四边形面积求出 k的值，即使有同学想到与坐标有关，但不知该如何设未知数.

【分析】本题是考查反比例函数的综合题，可以先设反比例函数图像上某点的坐标，然后利用矩形的性质和反比例函数图像上点的坐标特点表示其他相关点的坐标，最后利用面积公式建立等量关系，从而解决问题.

解：设M点坐标为（a，b），而M点在反比例函数图像上，则k=ab，即y=[abx]，因为点M为矩形OABC对角线的交点，根据矩形的性质易得A（2a，0）、C（0，2b）、B（2a，2b），利用坐标的表示方法得到D点的横坐标为2a，E点的纵坐标为2b，而点D、E在反比例函数y=[abx]的图像上（即它们的横纵坐标之积为ab），可得D点的纵坐标为[12b]，E点的横坐标为[12a]，利用S矩形OABC=S△OAD+S△OCE+S四边形ODBE，得到2a·2b=[12·2a·12b]+ [12·2b·12a+6，]求出ab=2，即可得到k=2.

总之，对于反比例函数的学习，同学们应熟练掌握反比例函数的定义、性质以及图像等内容，掌握如何利用这些内容准确、快速地解决问题，为数学学习成绩的提高奠定基础.

（作者单位：江苏省溧阳市燕山中学）