二次根式高频错题解析

王祖韬

二次根式这一章的内容主要包括二次根式的定义和性质、二次根式的运算这两大块.同学们在掌握相关概念和法则时可能感觉到比较容易，当考查的知識点单一时，处理起来也比较方便，但当二次根式和其他的知识点一起出现时，同学们在处理过程中往往会忽视细节或缺少一些方法.现在我们把常见的错误列举出来和同学们分享.

一、二次根式有意义的条件

例1 若代数式[x+1（x-3） 2]有意义，则实数x的取值范围是（ ）.

A.x≥-1 B.x≥-1且x≠3

C.x>-1 D.x>-1且x≠3

【错解】A.

【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件，被开方数应大于或等于0，分母应不等于0，可以求出x的范围.错解的原因是忽视了分母不能等于0.

【解答】根据题意得[x+1≥0，x-3≠0，]解得x≥-1且x≠3.故选B.

【点评】本题考查的知识点有：分式有意义的条件是分母不为0；二次根式的被开方数必须是非负数.

二、二次根式非负性的运用

例2 若[x-1+（y-2）][2]=0，则x+y等于（ ）.

A.1 B.3 C.-1 D.-1或3

【错解】B.

【分析】根据非负数的性质列出方程并求出x、y的值，代入所求代数式计算即可.

【解答】 因为[x-1+（y-2）][2]=0，

又因为[x-1≥0，][（y-2）][2][≥0，]

所以x-1=0，[y-2=0]，

所以x=1，y=±2，

所以x+y=1+2=3或x+y=1+（-2）=-1.

【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0.

三、二次根式的化简

例3 实数a在数轴上的位置如图，化简[（a-1） 2+a=] .

【错解】2a-1.

【分析】先根据二次根式的性质化简二次根式，再根据整式的加法，可得答案.

【解答】[（a-1） 2]+a=[a-1]+a=1-a+a=1，故答案为：1.

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，会对[a 2=][a]进行化简是解题的关键.

四、二次根式的计算

例4 若x<0，则[x-x2x]的结果是（ ）.

A.0 B.-2 C.0或-2 D.2

【错解】A.

【分析】根据二次根式的性质，当x<0时，先化简二次根式[x 2]，[x 2]=[x]=-x，再根据整式的运算，可得答案.

【解答】原式=[x-xx=x--xx]

=[2xx=2].

【点评】本题考查了二次根式的性质、化简以及整式的计算，当a<0时，对[a 2=][a]=-a进行正确的化简是计算的关键.

五、将二次根式根号外的因式移到根号内

例5 把x[-1x] 根号外的因式移入根号内，化简的结果是（ ）.

A.[x] B.[-x]

C.[-x] D.[--x]

【错解】A或B.

【分析】本题首先根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，得到[-1x≥0]，∴x<0.化简的时候有两种方法：一是将[-1x]化简为最简二次根式，再与根号外的x相乘；二是把根号外的x移到根号内.

【解答】由题意知：x<0，

方法一：[x-1x=x1·-x-x·-x=x-x-x2]

=[x·-x-x=x·-x-x=--x].

方法二：[x-1x=--x2·-1x]

=[--x2·-1x=--x].

【点评】无论是方法一还是方法二，关键都要抓住x<0这个隐含条件.在处理的时候既要保证整个式子的值是一个负数，又要保证被开方数大于或等于0.

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）