基于GPS的弹道落点预测研究

陈金鑫刘志坤刘忠夏家伟

（海军工程大学电子工程学院武汉430033）

基于GPS的弹道落点预测研究

陈金鑫刘志坤刘忠夏家伟

（海军工程大学电子工程学院武汉430033）

利用GPS进行弹道测量，进而预测弹丸落点，可以有效提高检靶精度。提出了一种弹道落点预测模型，包括飞行轨迹方程的建立、落地时刻的计算以及坐标系的转换。通过野点剔除和数据插值预处理方法提高落点的预测精度，基于弹丸位置的GPS仿真数据，对比分析了多项式拟合、傅里叶拟合等多种算法的预测精度，确定了不同精度对GPS数据量的需求，为工程应用中进行落点预测提供了参考。

落点预测；GPS；轨迹方程；误差分析

Class NumberTJ410

1 引言

脱靶量的精确测量是评价舰炮射击成绩的重要依据，影响着部队实战化训练水平的提升。然而复杂的海上环境制约着弹丸落点位置的精确测量，随着智能化弹药的发展，在弹丸上加装定位系统进行弹丸定位成为各国研究的热点。

文献［1］介绍了基于GPS/INS制导炸弹的总体方案，文献［2］主要介绍了弹载卫星定位系统的原理和构造，均肯定了加载定位系统的智能弹药研究的发展前景，但没有涉及GPS数据处理方面的研究；文献［3］基于GPS测量数据，建立了根据非线性过载制导信号控制弹丸飞行曲线弹道的模型，仿真验证了弹药对设计轨迹的精确跟踪，但缺少对最后的弹丸落点的精确预测；文献［4］研究了GPS的动态定位原理，并引入灰定位算法，对最终的落点预测误差来源进行了深入分析，但并未提出具体的落点预测算法。

本文在前人研究的基础上，提出了一种弹道落点预测模型，建立了弹丸的飞行轨迹方程，解算了弹丸落地的时刻。为便于分析数据，建立了以仿真的弹道落点为原点的空间直角坐标系，并推导了由大地坐标向直角坐标转换的关系式。运用野点剔除和数据插值方法对仿真数据进行了预处理，使用多种拟合算法对仿真数据进行拟合，对比了不同算法得到的落点的预测误差，据此给出了适合的预测算法，确定了预测落点所需要的测量数据量的范围。

2 弹道落点预测模型

弹载GPS设备对于弹丸位置的测量不是连续的，而是在一定的采样频率下得到一组观测数据序列。因此，通常情况下，弹载GPS设备在弹丸落地前发出的的最后一次位置信息并非实际落点，需要对弹丸落点进行精确预测，即建立弹道落点预测模型。建模工作主要包括弹丸飞行轨迹方程的建立［5～6］、弹丸落地时间的解算以及大地坐标系的变换。

2.1 弹丸飞行轨迹方程的建立

假设y=ζ(x)的表达式为

则偏差平方和为

为了求得符合条件的a值，对式（2）右边求ai的偏导数，得到

表示成矩阵形式，就可以得到下面的矩阵等式：

式（3）中的系数矩阵为范德蒙德矩阵，化简后可得

根据矩阵求逆，便可以得到系数矩阵A。

利用式（4），以时间t为自变量，对空间坐标系x坐标拟合，即：

坐标数据关于时间t的函数拟合曲线系数为Ax=(T′×T)-1×T′×X。同理，可以分别得到y坐标、z坐标关于时间t的函数拟合曲线系数Ay、Az。那么，弹丸的飞行轨迹方程为

2.2 弹丸落地时刻的求解

弹丸的落地时刻，根据式（5）中z坐标关于时间t的函数来确定。射击之前，靶标的高程h已知。设函数H(t)=z(t)-h，取tl和tr（tl＜tr），使得H(tl)＞0、H(tr)＜0同时成立，那么弹丸的落地时刻必然在区间(tl，tr)内。在一定的预测精度σh要求下，利用二分法的原理，可以近似确定弹丸落地的时刻

其中，tn为最后一组观测数据对应的时间，σt为近似确定弹丸落地的时刻与tn的差。

2.3 大地坐标系的变换

GPS测量数据使用的是大地坐标系，包括弹丸的经纬度和高程，在进行数据分析时十分不便，同时为了适应所建立的落点预测模型，将弹丸位置的大地坐标变换为空间直角坐标。由于区域跨度较小，不考虑地球曲率的影响，将考察的区域视作水平面。如图1所示，为便于分析落点预测误差，以仿真的弹道实际落点为原点O建立空间直角坐标系OXYZ，X轴沿纬线切线向东，Y轴沿经线切线向北，Z轴垂直地球平面指向天顶。

假设炮弹在位置(λi，φi，hi)的时刻在空间直角坐标系OXYZ中的直角坐标为(xi，yi，zi)，由于原点设在实际落点处，可以利用测量点与实际落点的经纬度差推算出相应测量点的直角坐标［7］，式（7）是经纬度和高程转换为直角坐标的变换式。

式中，λ0、φ0、h0为实际落点的经纬度和高程；λi、φi、hi为第i个观测点的经纬度和高程；xi、yi、zi为第i个观测点的直角坐标；R为地球半径。

3 数据预处理

在进行数据挖掘时，使用的数据量一般是非常大的。但是现实中得到的数据大体上又都是不完整、不一致的脏数据，因此无法直接进行数据挖掘，或者挖掘的效果差强人意。为了提高数据挖掘的质量产生了多种数据预处理方法，包括数据的清理、集成、变换和规约等。其中，野点剔除可以剔除明显异常的数据点，而插值可以降低数据的标准差，从而使数据更加平滑。

3.1 野点剔除

严重偏离正常弹道的测量点，称之为野点［8～9］。野点会影响数据处理的精度，对最终落点精确预测产生不利影响，因此必须剔除出去。假设测得的弹丸高程和对应的时间序列为{(t1，h1)，(t2，h2)，…，(tn，hn)}，采用工程上常用的四点外推拟合法［10］，由式（8）

外推得到ht的预测值。式中，ht是t时刻对应的弹道高程，hˆt是根据四点外推法得到的ht的预测值。

判断下式

是否成立，这里的δ是野点检测的门限，取值为5倍的观测误差。若该式成立，则t时刻观测值ht是正常值；否则，ht是野值，将其数值设为0。

3.2 数据插值

当在现有工程基础上增加插值节点，对常用的拉格朗日插值法是一个挑战，整个计算工作必须重新开始，而牛顿插值方法很好地克服了这个问题。

f(x)关于x0、x的一阶差商定义为

根据式（10）可以推导得到

关于x0、x1、x的二阶差商定义为

同理可以得到

根据式（12）推导得到

那么，（n+1）个插值节点对应的牛顿插值公式为

4 模型仿真及误差分析

4.1 数据预处理结果

利用弹道仿真软件生成一组弹丸位置的GPS测量数据，由于GPS对高程数据的测量精度较经纬度数据要差，因此在生成的高程数据上人为添加观测噪声。以高程数据为例构建曲线如图2所示。通过在弹道最高点附近产生大幅波动，模拟可能存在的异常的测量点。

运用式（9）对仿真数据进行野点剔除，得到处理后的弹道高程数据在0～6s内的变化如图3所示。在将野值剔除后，炮弹在弹道最高点附近的高程观测数据变的平滑。在野点剔除前，数据和方差为2.6038×103，标准差为4.0986；在野点剔除后，数据和方差为1.5488×103，标准差为4.3727。说明剔除野值，减小了数据拟合的总体误差。

但是野点剔除导致数据量减少，使得数据的标准差提高了，同时高程测量数据出现断点，这为后续的数据处理带来困难。下面通过插值方法，在补充数据断点的同时，缩短数据的时间分划，以此来实现数据的进一步平滑。

利用式（15）对上面得到的数据进行处理，得到插值处理后的弹道高程数据如图4所示。从图4中已经可以看出插值后不再有数据断点，而且弹道高程曲线更加平滑，数据的标准差为4.0706，比原始数据的标准差4.0986要小，说明数据插值有效地实现了数据平滑。

4.2 落点求解与误差分析

对经纬度数的预处理和高程数据的处理方法相同，在此不再赘述。基于预处理得到的弹丸位置数据，分别使用二次多项式拟合、三次多项式拟合、一阶傅里叶拟合、二阶傅里叶拟合方法对x、y、z坐标关于时间t的函数进行拟合［11～12］。根据图1，将落点预测误差［13］定义为

表1给出了根据以上几种拟合方法得到的落点预测误差，x方向预测误差指预测点的x坐标和真实落点的x坐标差值的绝对值，同理可以定义y方向和z方向的预测误差，R的定义已经由式（16）给出。

表1 不同拟合算法下落点预测误差（m）

由表1，就仿真的弹道数据可以得到如下结论：

1）x方向预测误差明显大于其他方向的预测误差；

2）x方向预测误差较大，直接影响着R的大小；

3）二次多项式拟合比三次多项式拟合后的落点预测误差小，二阶傅里叶拟合比一阶傅里叶拟合的落点预测误差小；

4）不同拟合方法之间拟合效果是不同的，拟合效果差的算法会严重影响落点位置的精确测量。

图5进一步对比了二次多项式拟合和二阶傅里叶拟合在特定数量的模拟点数下的拟合效果，模拟点数从最后一个数据点向回计数，横坐标为模拟使用点数占总点数的比例。

由图5可以得到如下结论：

1）拟合使用的数据点数量不同，影响着最终的落点预测误差；

2）针对预测落点这一问题，多项式拟合算法是相对理想的预测方法；

3）经过对制约落点预测误差的x方向数据的拟合标准差的比较，发现多项式拟合的标准差增长比傅里叶拟合要快，说明多项式拟合方法随着数据点数的增加，落点预测误差可能进一步扩大，因此多项式拟合在存在大数据量的观测时，其适用性有待进一步研究。

为进一步确定在进行落点预测时使用数据点数的最佳值，也即确定落点预测误差最小时使用的数据点数，图6给出了落点预测误差随使用数据点数的变化，x轴正方向代表从最后一个数据点向回计数，拟合使用的数据点数在增加。

由图6可以得到如下结论：

1）使用数据点过少，拟合效果极差，造成的落点预测误差也相对较大；

2）使用数据点增加到一定值后，继续增加会造成落点预测偏差的大幅增加，不利于落点位置的精确预测；

3）预测误差基本保持在10m误差线以下，随使用数据点数变化呈现上下波动的态势；

4）根据图中的5m误差线，落点预测误差首次小于5m对应使用数据点数为9个，最后一次小于5m对应使用数据点数为225个；根据图中的3m误差线，落点预测误差首次小于3m对应使用数据点数为12个，最后一次小于3m对应使用数据点数为120个；

5）若限定落点预测误差最大为3m，则应该准备的数据点数区间为（12，120）；若限定落点预测误差最大为5m，则应该准备的数据点数区间为（9， 126）。

根据图6得到的结论，在XOY平面内，当限定落点预测误差最大为5m时，最少使用9个数据点，预测落点位置为（-1.8707，-0.0286）；当限定落点预测误差最大为3m时，最少使用12个数据点，预测落点位置为（-1.6244，-0.0213）。

5 结语

本文研究了基于GPS的弹道落点预测，建立了弹道落点预测模型，仿真分析了不同拟合算法下的落点预测精度，以及使用的数据量的变化对落点预测精度的影响，据此给出了满足指定精度所需要的测量数据量的范围，为弹道落点预测工作提供了一定的参考价值。

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Study on Impact Point Prediction Based on GPS

CHEN JinxinLIU ZhikunLIU ZhongXIA Jiawei
（College of Electronic Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033）

Using GPS to measure trajectory and predicting the impact point can effectively improve the target detection accura⁃cy.A model to predict impact point is proposed，establishing equation of the flight trajectory，calculating landing time and trans⁃forming the coordinate system included.By means of outlier elimination and data interpolation，the accuracy of predicting impact point is increased.Based on GPS simulation data of position of the projectile，predicting accuracy of several methods is compared and analyzed，such as polynomial fitting，Fourier fitting.Considering different needs for accuracy，the corresponding number of GPS data is defined，which provides reference for impact point prediction in engineering practice.

impact point prediction，GPS，trajectory equation，error anylasis

TJ410

10.3969/j.issn.1672-9730.2017.08.012

2017年2月17日，

2017年3月20日

陈金鑫，男，硕士研究生，研究方向：系统控制和弹道测量。