函数单调性的应用

2017-09-03杜红全

数理化解题研究 2017年19期

关键词：康县增函数最值

杜红全

(甘肃省康县教育局教研室，甘肃陇南 746500)

函数单调性的应用

杜红全

(甘肃省康县教育局教研室，甘肃陇南 746500)

单调性是函数之“魂”，是函数的重要性质之一，文章举例说明它在比较大小、解不等式、解方程、求参数的值或取值范围、求函数的最值或值域、求值、证明不等式等方面得一些应用，希望起到抛砖引玉之功效.

函数；单调性；应用

函数单调性是函数的重要性质之一，也是平常考试和高考中数学的重点和热点内容之一.它在高中数学的各个分支中都有着极为重要的应用，在解题过程中如果应用得好，常能起到事半功倍的效果,下面举例说明.

一、比较大小

例1设函数f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，则( ).

A.f(a)

C.f(a2+a)

分析由减函数的定义可知，只需比较各组函数值的自变量的大小.

点评本题还可以用排除法解之.利用单调性比较大小时，必须将其转化为同一单调区间内的两个函数值，否则不能比较其大小.

二、解不等式

例2 已知f(x)在它的定义域[-17,+∞)上是增函数，且f(3)=0，解不等式f(x2-7x-5)<0.

分析解本题只需要利用函数的单调性去掉函数关系符号“f”, 使抽象的不等式问题转化为具体的不等式问题.

点评利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式；去掉函数关系符号″f″的主要依据是函数的单调性，同时要特别注意函数的定义域，否则可能产生增解.

三、解方程

例3 解方程(x2-x+1)5-x5+4x2-8x+4=0.

解析由原方程变形为(x2-x+1)5+4(x2-x+1)=x5+4x.由于函数f(t)=t5+4t在R上单调递增，又f(x2-x+1)=f(x)，所以x2-x+1=x，解得x=1.故原方程有唯一实数解x=1.

点评解本题的关键是对原方程进行变形，与函数f(t)=t5+4t产生联系，再根据函数的单调性列出方程即可.

四、求参数的值或取值范围

例4 若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=____.

点评本题考查的是函数的单调性.做本题的关键是将原函数化为分段函数，然后根据单调递增区间列出关于a的方程即可.本题还可通过画出函数图象来求解.

例5 已知函数f(x)=x2+2(1-a)x+2在(-∞,4]上是减函数，求实数a的取值范围.

分析二次函数是我们最熟悉的函数，只要遇到二次函数画图象，也可以不将图象画出，而在大脑中出现，这样就给我们研究问题带来了很大的方便.对于不熟悉的函数，可以利用单调函数的定义去研究与单调性有关的问题.

点评二次函数问题要注意三点：一是开口方向；二是对称轴；三是顶点坐标.

五、求函数的最值或值域

分析当所给的函数图象不易作出时，可考虑利用函数的单调性求函数的最值，即先判断函数的单调性，再求最值.

点评函数f(x)在区间[a,b](a

六、求值

例7 设实数a,b满足条件a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，求a+b的值.

分析待求代数式的值，可视为相应函数的一个特殊值，再利用该函数的单调性，把函数值的相等转化为自变量的相等，从而巧妙获解.

解由已知条件式的特征，构造函数f(x)=x3-3x2+5x，则有f(a)=1,f(b)=5.而f(x)=(x-1)3+2(x-1)+3.令u=x-1，则g(u)=u3+2u是单调增函数，还是奇函数,则有f(a)=g(a-1)+3=1,f(b)=g(b-1)+3=5,即g(a-1)=-2,g(b-1)=2,则g(a-1)=-g(b-1)=g(1-b).由g(u)=u3+2u是单调增函数可得a-1=1-b，因此有a+b=2.

点评求解本题的关键是构造函数f(x)=x3-3x2+5x，利用函数的单调性和奇函数的性质，列出关于a,b的方程，把a+b整体解出,属于整体求值.