高中数学中三余弦定理的解析

2017-09-03李正阳

环渤海经济瞭望 2017年7期

关键词：锐角三角斜线二面角

◆李正阳

高中数学中三余弦定理的解析

◆李正阳

在高中所学的学科中，数学科目的学习能够帮助学生对实际生活的的问题进行解决。学习数学能够培养学生的思维逻辑能力，让高中生能在多方面对问题进行思考。三余弦定理是高中数学中重要的组成部分。本文就高中数学中三余弦定理进行了深入分析。

高中数学；三余弦定理；解题方式

一、三余弦定理的相关概念

如果平面之外的一条斜线和平面形成的角是θ1，平面中任意一条直线和这条斜线形成的锐角或者直角为θ，这条直线和这个斜线在平面中的射影形成的锐角或者视角为θ2，那么就能够得出cosθ=cosθ1cosθ2，这种关系就是三余弦定理。还可以称之为最小角定理或者是爪子定理，能够使用在对平面斜线和平面直角形成的最小角的求解中。本文就以这个定理列举几道题型加以证明与解析。

二、运用例题对三余弦定理进行解析

（一）使用三余弦定理判断两角大小。如图1所示，在平面γ外有一点P往平面引伸两条斜线，其分别是PA和PB，作PH ⊥平面γ于点H，设A、H、B三个点不共线并且∠APB=α，∠AHB=β，将α和β两个角小比较并且解析其中的理由。

图1

解答：因为PH ⊥平面γ，因此AH、PH即为AP和BP在γ上的射影。经过三余弦定理能够得知：cos∠PAB=cos∠PAH·cos∠BAH，cos∠PBA=cos∠PBH·cos∠ABH。经过一系列的推断之后能够得到α＜β的结果。

在这个题的解答中就是使用三余弦定理对两个角的大小进行相较，其最主要的就是充分的使用题目中的相关条件，进而使用几何关系转换成符合三余弦定理的角。使用余弦函数的有界性和单调性就能够证明题中的结论。

（二）使用三余弦定理证明三角形类别。例题：如图2所示，把正方形ABCD-A1B1C1D1中截掉一个角，要证明其截面三角形HEF是一个锐角三角形。

图2

解答：设∠HED=θ1，∠DEF=θ2，那么就能够得出cos∠HED=cosθ1=ED/HE＞0，cos∠DEF=cosθ2=DE/EF＞0，并且cos∠HEF=cosθ1cosθ2＞0，因此∠HEF即为锐角三角形，同样也可以证明出∠EFH以及∠FHE也为锐角，因此三角形HEF就是锐角三角形。

在正方形中随意截取一个角，用得到的三角形对其进行判别。若是在其他的角度进行解题就难以找出证明其为锐角三角形的根据，而使用题目中已知的相关条件，在其中找到符合三余弦定理的相关条件，使用其定理对三个内角的余弦值进行证明，得出其余弦值都为正值。进而证明了其三个内角都是锐角，让题目的问题得到了解决。

（三）使用三余弦定理对圆锥曲线离心率进行解答。例题，如图3，已知椭圆经过右边焦点F2作出垂直于x轴的直线，并且交椭圆于AB两个点，沿着X轴进行折叠，让二面角A-OF2-B是直二面角，且∠AOB=60°，解析这个椭圆的离心率。

图3

解答：在折叠前后，AF2⊥OF2,BF2⊥OF2，并且要让折叠之后的二面角A-OF2-B是直二面角，AF2B=90°，AF2⊥平面OF2B，作斜线OA和平面OF2B形成角OF2B=θ1，使用三余弦定理就能够得到因此

在原椭圆中的∠AOF2=∠BOF2=45°，因此三角形AF2O即为等腰三角形，因此, 在A（c，y）在椭圆上，能够得，之后就能够得到由于，就能够得到c=b2/a，之后就可以得到b2=ac。因为椭圆中的相关公式：b2=a2—c2，所以c2+ac—a2=0。在这个方程式的两边同时除以a2，并且依据离心率的相关定义：e=c/a，能够得到所以

把圆锥曲线存在的平面折叠成为空间直二面角，进而构建出符合三余弦定理的相关条件，寻找出相关角的关系。遵循圆锥曲线离心率的定理，使用圆锥曲线相关方程式，把三余弦定理中得到的结果代入其中之后进行化解，这样就能够正确的解答问题。