信息熵在水文水资源科学中的研究进展

徐鹏程, 王栋

(南京大学 地球科学与工程学院，江苏 南京 210046)

信息熵在水文水资源科学中的研究进展

徐鹏程, 王栋

(南京大学 地球科学与工程学院，江苏 南京 210046)

在介绍信息熵的基本概念与相关原理的基础上,主要从水文序列分析、站网布设评估、水文预报、水质评价、水资源评估等方面,对信息熵在水文水资源科学中近15年的研究进展进行了综述。信息熵原理能够最大化地利用现有的数据,并且允许采用基于经验的主观信息方法。现有的研究成果表明,基于信息熵原理的研究手段在解决水文相关问题的过程中发挥了重要作用,具有广阔的应用前景。未来需要将信息熵和Copula函数有机地结合起来，以解决信息熵理论在联合概率密度选择上的局限性问题。

信息熵;水文水资源;研究进展;Copula函数

水系统是一个复杂的动态巨系统,其演化发展受到很多未知因素的制约,不确定性(如模糊性和随机性)不可避免。丁晶等[1]系统地综合了随机水文学领域的诸多基本理论和方法,为研究水系统的随机性提供了有力的工具。陈守煜[2-3]认为，水文系统中许多概念的外延存在一定的不确定性,对立概念之间的划分具有中间过渡阶段,为此提出了“模糊水文学”的概念。

熵是量化系统的无序和混乱度的指标。熵起源于19世纪经典热力学的发展,但是其深刻意义已不再局限于热力学这个范畴。随着现代科技的不断发展,熵的概念已广泛应用于理、工、农、医、人文、社科等诸多领域。特别是在20世纪40年代,信息科学为研究信息的不确定性而定义了“信息熵”,由此拉开了各行各业广泛运用信息熵的大幕。

经过水文水资源工作者的不断钻研,信息熵已经成为水文水资源科学领域中不确定性研究的有力工具[4-5]。本文在简要介绍信息熵的基本概念与相关原理的基础上,着重探讨自2001年文献[6]发表以来,信息熵在水文水资源科学中的水文序列分析、站网布设评估、水文预报、水质评价、水资源评估等方面的应用研究进展。

1 信息熵基本理论

1.1 熵

熵的概念内涵丰富,一般说来可以分为以下两类[4]。

一类是热力学和统计力学领域的物理熵,用来表征物理系统的混乱或无序程度。19世纪中叶，Clausius为研究热力学第二定律,提出了新的状态函数——熵,这是热力学熵。紧接着Boltzmann又赋予熵统计力学的阐述,极大地丰富了其物理内涵,并推导出了熵在统计力学上的表达式,即著名的玻耳兹曼关系式，这就是统计力学熵。

另一类称之为信息熵。这是Shannon于1948年在贝尔实验室创立信息论的过程中定义的一个量化信源不确定性的量,并把其称之为熵,从而使得熵的概念越来越丰富。

1.2 信息熵及其性质

(1)

①非负性。式(2)的等号只在pi=1时成立，即：

(2)式中Hn(p1,p2,…,pn)为信源X取不同值(p1,p2,…,pn)时得到的信息熵值。

②对称性。熵函数内所有变元都可以任意互换,不改变其函数值,即为：

Hn(p1,p2,…,pn)=Hn(p2,p1,…,pn)=…=

Hn(pn,p2,…,p1)。

(3)

③确定性。只要信源符号表中第一个符号的出现概率为1,信源熵就为零,即为：

H(1,0)=H(1,0,…,0)=0。

(4)

④可加性。H(X·Y)表示X、Y的联合熵,当它们互相独立时满足：

H(X·Y)=H(X)+H(Y)。

(5)

⑤极值性。对于任意概率分布pi,它对其他概率分布qi的自信息[-log(1/qi)]取数学期望时,必小于pi本身的熵，这也称为C.E.Shannon辅助定理：

(6)

运用C.E.Shannon辅助定理可以得到以下结论:离散无记忆信源输出的信息符号,出现概率相等时(即pi=1/n),熵达到最大值。

1.3 最大熵原理与Burg熵定理

1957年,Jaynes在统计力学中首次提出最大熵原理(Principle of Maximum Entropy,POME),随后将其引入到信息论中。按照最大熵原理[8],在不适定问题的所有可能解中,应该选择在一定约束条件下使熵最大的那个解。由此,在只掌握样本部分信息的情况下,一般选择符合约束条件下信息熵值最大的概率分布,这可作为最大熵原理在多数样本概率分布推求中应用的依据。

20世纪60年代后期,Burg提出了一种研究地球物理学中谱估计的方法,广泛用来估计谱密度，即Burg熵定理[9]。

其满足如下条件：

E(XiXi+k)=ak,k=0,1,…,p。

(7)

对所有的i的最大熵率随机过程{Xi}必是如下形式的p阶高斯-马尔克夫过程：

(8)

式中：Zi为独立同分布,Zi～N(0,σ2)；a1,a2,…,ap与σ2是满足条件(7)的待定参数；E(XiXi+k)为自相关函数。

因此,满足约束条件的最大熵率随机过程为一个满足约束条件的p阶高斯-马尔克夫过程。

2 信息熵在水系统中的应用研究

近15年来,信息熵原理在水文及水资源领域得到了广泛运用,主要涉及到以下几个方面：水文序列分析、站网布设评估、水文预报、水质评价和水资源评估。现将前人的研究成果归纳如下。

2.1 水文序列分析

水系统由于受到气候以及人类活动的影响,表现出非常复杂的特点。水文随机模拟能够对复杂的水文过程进行较为精细化的模拟和预报,很大程度上是因为其保持了原径流序列的各种统计特征。而基于信息熵原理的水文序列模型,能结合信息熵对随机过程的定量描述优势,较为客观地分析水文序列。

彭涛等[10]基于非线性动力学参数样本熵的方法对东江月径流序列进行了模拟分析,认为各站的径流滑动平均值与相应的样本熵值存在着反相关关系,并且径流量与相应的样本熵的峰、谷值之间存在较好的对应关系。WANG等[11]针对复杂水文序列信噪分离这一关键技术难题,提出了一种基于样本熵的序列小波消噪方法，并运用于多个典型流域的不同特性的水文气象序列,验证了该方法的有效性和优越性。LIU等[12]针对水文领域普遍存在的小样本或数据匮乏的情况(尤其是发展中国家),重点对小样本水文系统的不确定性、复杂度量化等诸多问题开展了研究。王远坤等[13]基于多尺度熵理论分析了葛洲坝水库对长江干流径流的影响,认为水库的存在对于长江干流径流序列的结构复杂性有着一定的影响。LI等[14]采用多尺度熵理论评价了大坝影响下的密西西比河径流的复杂性变化规律。ZHOU等[15]应用多尺度熵理论评估了新丰江水库和枫树坝等水利工程对我国东江流域径流序列复杂性的影响。孔祥铭等[16]以香溪河流域兴山水文站近40年的径流量为基础,采用最大熵的方法对其月径流量的变化特征进行了分析,结果表明，最大熵方法可以有效地模拟香溪河流域的月径流量概率分布,优于P-Ⅲ型分布,更能体现其统计特性。赵丽娜等[17]依据最近邻抽样随机原理,建立了最大熵分布扰动最近邻抽样随机模型,采用最大熵分布方法模拟扰动项，可在很大程度上减少人为主观的假定偏见,使得模拟过程更加客观、合理。阳艾利等[18]将最大熵方法和Copula函数相结合,利用最大熵方法生成变量的边缘分布,然后利用Copula函数生成变量的联合分布,分析了变量间的相关性,并以香溪河流域为研究对象,对其降雨-径流水文频率进行分析。张明等[19]提出了基于遗传熵谱估计算法(Genetic Entropy Spectral estimation method,GES)的年径流量周期识别方法,该方法以加速遗传算法为优化算法,使得其估计结果不受初始值的限制,对数据长度、信噪比的适应性较好。ROSHAN等[20]采用了最大熵法对多站点与多季节性的径流分析模拟,并认为最大熵法兼顾到了时间和空间的结构复杂性,能够模拟出随机的、原始的累计分布。COOK等[21]基于最大熵方法评估了单站点降雨-径流序列中累计概率分布。HAO等[22]提出了基于信息熵的单站点月径流量模拟方法,在无需假定概率密度函数的前提下,保持原始数据的各种统计特性,包括临界月径流量的相关关系。冯文宏等[23]利用滑动移除近似熵的方法对泾河张家山站40 a的径流序列点进行了模拟分析。XU等[24]提出了最大信息熵与Gumbel-Hougaard Coupla结合的方法进行月径流量的分析,并运用到香溪河流域的径流研究中,结果表明，该方法可以客观、真实地反映邻近月份的径流结构，最大熵在应用过程中都需要考虑到时间尺度的影响。ZHAO等[25]利用最大熵生成准则(Maximum Entropy Production,MEP)对任意时间尺度下流域范围内的水量平衡方程进行了广义描述,发现不同时间尺度下的经验模型具有相同的热力学机制,认为MEP法具有约束水力模型的参数选择的潜力。牛林森和宋松柏[26]利用交互熵的方法对实测年降水序列进行指标估计偏差分析,发现利用最小交互熵原理进行水文分布参数估计具有普适性。

2.2 站网布设评估

水文站网的布设评估是较为复杂的问题,主要难点是对站网效率和资金收益的评估缺乏对比的基础。站网布设评估通过引进信息熵概念,可定量估算各站网所获得的信息量,进而对比在取得相同信息量条件下各站网的效率、收益和成本。信息熵在站网规划中得到广泛的应用，主要在于互信息的这一信息量刻画指标能够定量地描述站点对之间的信息冗余量。

KONG等[27]提出了基于信息熵的多标准评价方法,该方法能够兼顾到雨量站的信息量和降低真实的雨量差异，同时能够弱化站点间的信息重复覆盖量,以新安江流域提供的185个站点为算例进行分析,结果表明，该评价方法在区域水文研究和水资源管理中起到了至关重要的作用。CHEN等[28]耦合了克里格法和信息熵理论,克里格法作为一种内插器,用以将流域内的降雨量重新进行雨量线性均化,而信息熵用来量化计算流域内每个雨量站的信息量。通过对条件熵值和传递熵值的计算，得出最优雨量站网分布和最小的雨量站数。陈颖等[29]基于美国密苏里河流域3个子流域的水文站网在2011年10月—2012年9月获取的日均流量数据,采用信息熵理论对站点的边缘熵值及站点间信息传递量进行了定量评价,并建立站网优化的目标函数对站点进行优选。结果表明，选择的站点组合提供信息的能力随站点数的增加先增加后减小。VIVEKANANDAN等[30]也认为在任何地理区域内，建立和维护站网需要对水资源工程项目进行一定的计划、设计和管理,以此达到降低项目失败的可能性和减小经济风险的目标。为此，首先采用Kolmogorov-Smirnov测试检验数据是否满足标准正态分布,接着从边缘熵和条件熵值两个视角计算得到信息传递指标,最终得出最优的站网分布。MARKUS等[31]认为，信息熵理论作为量化站网产生的信息量的最具潜力的方法,将不断提高现有雨量监测项目的效率和成本利用率；针对Illinois 州径流站网的优化分布问题,通过信息熵和最小二乘法(Generized Least Square,GLS)的有机结合，创新性地提出了一些信息评价指标(比如总体站网信息量)，并以此作为惩罚函数来分析信息熵和GLS的权重问题；两者耦合后得出的站点评估等级与信息熵、GLS各自得出的等级相一致,他们预测，信息熵和GLS的耦合方法用于区域站网的评估，势必会给未来站网项目的研究提供更为广阔的前景。MAHMOUDIMEIMAND等[32]采用了站点雨量方差估计值和信息熵相结合的评估方法对伊朗的Karkheh雨量站网的空间分布和数量进行了优化,最终依据站网的传递信息值计算得出候选站点中的10个站点作为增入量,充分覆盖了所有的雨量分布。MOGHEIR等[33]采用了信息熵的方法对地下水水质监测站网进行合理规划,并提出以监测井点之间的距离为基础的函数来表征信息传递熵的存在,认为其对于站点的重新规划和评估有着重要的作用。KIM等[34]基于最大信息熵的方法确定了区域水文模型中站点的数目以及站点的合理布置,表明最大信息熵方法具有一定的实用性。

2.3 水文预报

水文时间序列中往往隐含着复杂的周期变化,在水文预报过程中这些复杂的外部因素使得水文预报误差不可避免。最大熵谱分析是一种为克服这些不足而发展的方法,其能够充分考虑到水文预报过程中的各种不确定因素。

BURG[35]定义了伯格熵理论,并由此引入了最大熵谱分析理论(Maximum Entropy Spectral Analysis,MESA),用于时间序列的预报,这种方法是以自回归模型为基础的一种参数谱估计。CUI等[36]提出了构型熵谱分析方法(Configurational Entropy Spectral Analysis,CESAS)，并发现CESAS与Burg的MESA方法是统一的,同样它也缺乏对低径流量季节和未知峰值径流量预测的缺陷。CHEN等[37]提出了基于Copula熵的人工神经网络方法进行洪水预报分析。董前进等[38]应用最大熵原理所得结果具有无偏性和客观性的特点，探讨了最大熵原理应用到洪水预报中的适用性以及洪水预报误差分布规律的实质。周惠成等[39]应用极大熵原理建立了洪水总量预报误差分布的极大熵模型,并将模型得出的分布与正态分布进行对比，发现极大熵法较好地描述了洪水总量预报误差的分布特性。吴恒卿等[40]采用基于熵权的可变模糊聚类算法对水库洪水实施了实时预报,为在实时洪水预报过程中充分考虑各种影响因素提供了可能。邵骏等[41]应用最大熵谱估计方法,依据岷江上游紫坪铺水文站的年径流量实测资料,进行了周期变化规律分析。结果表明，最大熵谱估计虽然对提取短时间序列的周期有一定的实用性,但是也存在峰值漂移的现象,不能准确、客观地反映出水文时间序列在时域和频域方面的变化特征, 因此，其应用范围受到一定的限制。仝黎熙等[42]提出了应用有约束的线性规划方法对估计结果进行优化的方法,将周期与均值进行协同估计，一方面提高了估计精度，另一方面较好地解决了由于模型定阶而导致MESA方法估计的频率存在误差的局限性。桑燕芳等[43]针对水文序列周期识别的困难,采用模拟延长序列法和最大熵谱分析法相结合的方法解决了传统的单一处理方法(MESA、小波分析、周期图法)对周期识别效果不佳的问题,最终改善了周期识别效果。易淑珍等[44]以广东省降水周期变化规律为例，探讨了MESA在提取水文时间系列的主次周期上以及小波变换方法在分析水文时间系列的多时间尺度演变规律方面的应用。DIAO等[45]将最大熵原理(POME)应用到洪水预报系统中,得出采用POME法进行洪水风险评估是切实可行的结论。李帆等[46]将Copula函数和最大熵原理两者有机地结合起来,解决了单一Copula方法在概率分布拟合过程中的函数优选问题,并将得出的结果进行了洪水风险评估。MEN等[47]利用交叉熵的方法将时间序列模型、人工神经网络模型和改善预报灰度模型耦合起来对径流预报进行了模拟,交叉熵在此作为决定每个模型的分配权重的依据。唐言明等[48]提出了基于信息熵的改进灾情预报模型,利用最大熵原理较好地处理了灾害发生的不确定性和损失的概率分布问题，提高了预报洪灾的可靠性。

2.4 水质评价

水质评价是水资源评价和水环境质量评估中的重要一环。对水体质量作出客观和全面的评价是进行水环境研究分析的重点。然而,由于评价体系是一个多元复杂体系,影响因素很多,给评价工作带来了不确定性。采用信息熵理论为基础的评价方法能够综合考虑到这些影响因素。

WOODBURY等[49]认为最小相对熵(Minimum Relative Entropy,MRE)具备了最大熵方法的所有重要的特点,并且能够兼顾到先验信息,他们将其运用到污染物的运移问题中,结果显示，MRE方法效果明显、优势突出。PROPATO等[50]将线性代数与MRE相结合对饮用水系统中的污染物监测进行了协助调查。CUPOLA等[51]对MRE方法进行拓展后，运用到二维异构性含水层中的污染物输移评价中,基于有限的观测点拓展到多维异构性含水层，其效果明显,并证明：该方法不同于其他方法，它不需要变量的变换,因此避免了未知程序的改变。孟宪萌等[52]运用集对分析理论,首先对研究样本进行定性分析,然后借助联系度对水质作出定量评价,在评价指标的权重分配和确定的过程中采用信息论中的熵值理论反映实测数据的各个效用值,对水质作出较为全面、客观的评价。宋丽婧等[53]将五元联系数法和改进熵权法相结合，对贵阳市南明河进行水质评价,在传统熵权法的基础上考虑了水域污染物输入、附近水厂给水工艺等因素,提出了利用秩比法确定偏好与权重，从而得出一种新的混合权重分析方法,最终将五元联系数和改进的熵权重相结合获得五元综合联系度,据此进行水质评价,结果表明，这是一种主、客观相结合,与实际紧密联系的水质评价新方法。张先起等[54]认为水质评价需要统筹考虑多指标的因素,针对各个指标的不确定性及模糊性,在评价方法的研究中需要考虑到实效性和理论性；将模糊元理论应用到水质评价中,建立了基于熵权的模糊物元水质评价模型,在兼顾到水体样本的污染程度和类别的基础上,丰富和改进了水质评价方法；引入熵值理论,从数据本身所反映的信息无序化效用值来计算权重系数,可以有效地减少其计算的主观性。刘登峰等[55]提出了熵-云耦合模型,并运用到我国12个代表性湖泊的富营养化程度评价中,基于Shannon 熵和层次分析法计算各指标的混合熵权,将评价结果与模糊可变集、神经网络以及正态云模型进行对比,得出结论：熵-云模型从等级和复杂度两个维度揭示了水体营养化程度,结果直观有效。DELGADO等[56]整合了灰色模糊集和信息熵权重分析方法，对秘鲁地区的环境影响进行了定量评价,并通过数据分析得出结论：这种方法可以推广到水资源领域进行水质评价。WU等[57]提出在水质评价中运用熵权的方法进行评估时,需要面对如何定量地分析样本数据的差异对于熵权的影响。对地下水质评价因子进行分析之后发现:在熵权一定时,权重与样本均值、标准差和协方差是存在联系的。MOHAN等[58]利用信息熵对于不确定度的描述优势,结合模糊粗糙集理论对水质评价指标的权重进行合理估计,建立了粗糙集-熵模型,较为客观地评价水质。WU等[59]利用信息熵作为权重指标的密切值的分析方法对地下水质进行了客观评价,较为透彻地研究了地下水的水化学特征和控制机制,达到了综合评价地下水水质的目标。PAN等[60]基于熵权的方法对河流水质评价指标进行权重分析,以此对城镇化影响下的河流水质进行了评估。KAMRANI等[61]将熵权指标法(Entropy Weighted Water Quality Index,EWQI)、Takagi-Sugeno-Kang模糊粗糙集评价法(Takagi-Sugeno-Kang Fuzzy Water Quality Index,TSKFWQI)进行对比分析,发现后者可以更好地对水体指标进行分级。

2.5 水资源评估

随着社会经济的不断发展,水资源短缺严重制约了社会的可持续发展,已逐渐成为社会关注的热点问题,对水资源进行风险管理和优化配置已经成为发展趋势。

韩雁等[62]针对水资源系统中区间不确定性的实际状况,采用信息熵指标有效地量化系统的协调有序度,以此来分析系统内在的联系,对包含不确定性和复杂性的水资源系统进行演化分析，其功效显著,并将该方法应用于大连市的水资源复杂系统的演化分析中。刘燕等[63]基于水资源系统结构信息熵的定义,进一步构造了水资源系统结构的演化判别公式,并以渭河流域关中地区的水资源开发利用为例,对信息熵在用水系统结构演化研究中的应用进行了初步探讨。罗军刚等[64]为了能够有效地解决水资源短缺风险评价中指标的不确定性和模糊性问题,构建了基于熵权的水资源短缺风险模糊综合评价模型,完善和改进了水资源短缺风险评价方法,采用熵权和主观权重相结合的方法确定综合权重,使得评价结果更加合理可靠。余建星等[65]对水资源优化配置方案进行研究,将模糊理论和欧式贴近度的概念相结合,建立了基于层次分析法和熵值法的综合赋权方法来确定各评价指标的权重,以减少传统评价方法对权重确定的主观性,为水资源优化配置方案的综合评价提供一种新的决策方法。ZHU等[66]采用了系统理论和信息熵理论对区域水资源进行合理规划，并以北京市作为研究算例,结果显示信息熵理论很好地揭示了北京市2000—2013年水资源的演变过程。MONDAL等[67]基于信息熵对印度沙漠地区的地下水优化方案进行了评估。FENG等[68]基于信息熵理论建立了评估水资源承载能力的模型。CHENG等[69]基于信息熵对区域水资源进行自适应建模,并使用嵌套遗传算法对水和土地资源进行了最优化处理。在区域水资源配水系统设计过程中,SALAH等[70]借助最大信息熵的方法对配水系统进行了多向评估研究,同时在建立最大熵模型时还兼顾到了水力可靠性和成本节约性方面的因素。余灏哲等[71]提出基于PSR模型的陕西省水资源承载能力熵权评价方法,较为合理地评估了各个评价因子的贡献度。王坚[72]引入了模糊反馈法来改进熵值法确定的组合系数,对建立水资源预测研究的神经网络模型起到了关键作用。白夏等[73]以直接消耗系数由历史年份向现状年份过渡的部门投入、消耗随机变量相对熵最小为优化目标，建立了基于最小相对熵原理的区域投入产出直接消耗系数修订模型,为进一步丰富和发展基于投入产出分析的区域水资源、社会经济、生态环境复杂系统协调发展的理论研究提供了科学合理的指导依据。

3 结论与展望

信息熵概念和理论的引进与运用,丰富了水文及水资源工作者探究不确定性的手段。现有的研究成果表明：在水文序列分析、站网布设评估、水质评价、水文预报、水资源评估等不同类型的问题研究中,基于信息熵原理的研究手段越来越发挥了重要作用。制约水文研究的主要问题在于数据的缺失或是数据质量较低,这在很大程度上成为了传统水文模型在实际应用中的障碍。而信息熵原理能够最大化地利用现有的数据,并且允许采用基于经验的主观信息方法。尽管信息熵原理越来越多地应用于水文站网规划、水文系统风险评估和水文模型的建立中,但是信息熵在联合概率密度的选择上存在着一定的局限性,未来还需要将信息熵和Copula函数有机地结合起来,才能较好地解决联合概率密度难以确定的问题。

[1]丁晶,邓育仁.随机水文学[M].成都：成都科技大学出版社,1988.

[2]陈守煜.工程可变模糊集理论与模型：模糊水文水资源学数学基础[J].大连理工大学学报,2005,45(2):308-312.

[3]陈守煜.水文水资源系统模糊识别理论[M].大连:大连理工大学出版社,1992.

[4]张继国,辛格.信息熵：理论与应用[M].北京：中国水利水电出版社,2012.

[5]王栋,吴吉春,王远坤,等.信息熵理论在水系统中的研究与应用[M].北京：中国水利水电出版社,2012.

[6]王栋,朱元甡.最大熵原理在水文水资源科学中的应用[J].水科学进展,2001,12(3):424-430.

[7]王彬.熵与信息[M].西安:西北工业大学出版社,1994,5-20.

[8]JAYNES E T.Information theory and statistical mechanics[J].The Physical Review,1957,106(4):620-630.

[9]科弗,托马斯.信息论基础[M].阮吉寿,张华,译.2版.北京：机械工业出版社,2007:235-240.

[10]彭涛,陈晓宇,庄承彬.基于样本熵的东江月径流序列复杂性分析[J].生态环境学报,2009,18(4):1379-1382.

[11]WANG D,SINGH V P,SHANG X S,et al.Sample entropy-based adaptive wavelet de-noising approach for meteorologic and hydrologic time series[J].Journal of Geophysical Research:Atmospheres,2014,119:8726-8740.

[12]LIU D F,WANG D,WANG Y K,et al.Entropy of hydrological systems under small samples:uncertainty and variability[J].Journal of Hydrology,2016,532:163-176.

[13]王远坤,李建,王栋.基于多尺度熵理论的葛洲坝水库对长江干流径流影响研究[J].水资源保护,2015,31(5):14-18.

[14]LI Z W,ZHANG Y K.Multi-scale entropy analysis of Mississippi River flow[J].Stochastic Environmental Research and Risk Assessment,2008,22:507-512.

[15]ZHOU Y,ZHANG Q,LI K,et al.Hydrological effects of water reservoirs on hydrological processed in the East River(China) basin:complexity evaluations based on the multi-scale entropy analysis[J].Hydrological Processes, 2012,26(21):3253-3262.

[16]孔祥铭,董艳艳,李薇,等.最大熵方法在香溪河流域径流分析中的应用[J].水电能源科学,2016,34(2):17-20.

[17]赵丽娜,宋松柏,肖可以,等.最大熵分布扰动最近邻抽样随机模型在年径流随机模拟中的应用[J].水利学报,2011,42(8):1002-1008.

[18]阳艾利,黄国和,孔祥铭,等.基于最大熵-Copula方法的香溪河流域降雨-径流相关性分析[J].南水北调与水利科技,2016,14(1):84-89.

[19]张明,张建云,金菊良.基于遗传熵谱估计的年径流周期识别[J].水科学进展,2009,20(3):337-342.

[20]ROSHAN K S,SLOBODAN P S.An analytical procedure for multi-site,multi-season streamflow generation using maximum entropy bootstrapping[J].Environmental Modelling and Software,2014,59:59-75.

[21]COOK B I,BUCKLEY B M.Objective determination of monsoon season onset,withdrawal and length[J].Journal of Geophysics Research,2009,114(D23):D23109.

[22]HAO Z,SINGH V P.Single-site monthly streamflow simulation using entropy theory[J].Water Resources Researches,2001,47:W09528.

[23]冯文宏,董青竹,韩志伟,等.基于滑动移除近似熵的泾河径流序列变异分析[J].人民黄河,2015,37(7):31-33.

[24]XU H L,XU C Y,NILS R S,et al.Entropy theory based multi-criteria resampling of rain gauge networks for hydrological modelling:a case study of humid area in southern China[J].Journal of Hydrology,2015,525:139-151.

[25]ZHAO J S,WANG D B,YANG H B,et al.Unifying catchment water balance models for different time scales through the maximum entropy production principle[J].Water Resources Research,2016,52:7503-7512.

[26]牛林森,宋松柏.基于交互熵原理的水文分布参数估计研究[J].西北农林科技大学学报(自然科学版),2016,44(6):203-209.

[27]KONG X M,HUANG G H,FAN Y R.Maximum entropy-Gumbel-Hougaard Coupla method for simulation of monthly streamflow in Xiangxi river[J].Stochastic Environmental Resource Risk Assessment,2015,29:833-846.

[28]CHEN Y C,WEI C,YEH C H.Rainfall network design using kriging and entropy[J].Hydrological Process,2008,22:340-346.

[29]陈颖,袁艳斌,袁艳辉.基于信息熵的水文站网优化研究[J].水电能源科学,2013,31(7):188-190.

[30]VIVEKANANDAN N,JAGTAP R S.Evaluation and selection of rain gauge network using entropy[J].Journal of the Institution of Engineers(India),2012,93(4):223-232.

[31]MARKUS M,KNAPP H V,TASKER G D.Entropy and generalized lease square methods in assessment of the regional value of stream gauges[J].Journal of Hydrology,2003,283(1-4):107-121.

[32]MAHMOUDIMEIMAND H,NAZIF S,ABBASPOUR R A,et al.An algorithm for optimization of a rain gauge network based on geostatistics and entropy concepts using GIS[J].Journal of Spatial Science,2016,61(1):233-252.

[33]MOGHEIR Y,JLMP Lima D,SINGH V P.Entropy and multi-objective based approach for groundwater quality monitoring network assessment and redesign[J].Water Resource Manage,2009,23(8):1603-1620.

[34]KIM S,KIM Y,KANG N,et al.Application of the entropy method to select calibration sites for hydrological modeling[J].Water,2015,7(12):6719-6735.

[35]BURG J P.Maximum entropy spectral analysis[D].Stanford:Stanford University,1975:120-123.

[36]CUI H J,SINGH V P.Maximum entropy spectral analysis for streamflow forecasting[J].Physica A:Statistical Mechanics and its Applications,2016,442：91-99.

[37]CHEN L,YE L,SINGH V P,et al. Determination of input for artificial neural networks for flood forecasting using the Copula entropy method[J].Journal of Hydrologic Engineering,2014,19(11)：1001-1009.

[38]董前进,陈森林,王先甲.最大熵原理的洪水预报误差分布规律推求:以三峡水库为例[J].武汉大学学报,2012,45(4):419-422.

[39]周惠成,李丽琴,王本德.洪水预报误差分布的极大熵法[J].大连理工大学学报,2008,47(3)：408-413.

[40]吴恒卿,黄强,习树峰.基于熵权的可变模糊聚类与识别的水库洪水分类实时预报[J].水力发电学报,2015,34(2):57-63.

[41]邵骏,袁鹏,李秀峰,等.基于最大熵谱估计的水文周期分析[J].中国农村水利水电,2008(1):30-33.

[42]仝黎熙,张旭臣,王燕.水文时间序列的最大熵谱分析与优化方法[J].人民珠江,2012,33(4):8-12.

[43]桑燕芳,王栋.水文时间序列周期识别的新思路与两种新方法[J].水科学进展,2008,19(3):412-417.

[44]易淑珍,王钊.水文时间系列周期分析方法探讨[J]. 水文,2005,25(4):26-29.

[45]DIAO Y F,WANG B D,LIU J.Study on distribution of flood forecasting errors by the method based on maximum entropy[J].Journal of Hydraulic Engineering,2007,38(5):591-595.

[46]李帆,郑骞,张磊.Copula熵方法及其在三变量洪水频率计算中的应用[J].河海大学学报,2016,44(5)：443-448.

[47]MEN B H,LONG R S,ZHANG J H.Combined forecasting of streamflow based on cross entropy[J].Entropy,2016,18:336-348.

[48]唐言明,卜松,董洪茂,等.基于最大熵原理的洪水灾害灾情评估改进普适模型[J].华北水利水电大学学报(自然科学版),2015,36(5):10-13.

[49]WOODBURY A D,ULRYCH T J.Minimum relative entropy:forward probabilistic modeling[J].Water Resources Research,2001,29(8):2847-2860.

[50]PROPATO M,SARRAZY F,TRYBY M.Linear algebra and minimum relative entropy to investigate contamination events in drinking water system[J].Journal of Water Resources Planning and Management,2010,136(4):483-492.

[51]CUPOLA F,TANDA M G,ZANINI A.Contaminant release history identification in 2-D heterogeneous aquifers through a minimum relative entropy approach[J].Springer Plus,2015,4:656-676.

[52]孟宪萌,胡和平.基于熵权的集对分析模型在水质综合评价中的应用[J].水利学报,2009,40(3):257-261.

[53]宋丽婧,魏琛,宋玲梅.五元系数法-改进熵权法在水质评价中的应用[J].南水北调与水利科技,2015,13(2):268-273.

[54]张先起,梁川.基于熵权的模糊物元模型在水质综合评价中的应用[J].水利学报,2005,36(9):1057-1061.

[55]刘登峰,王栋,丁昊,等.水体富养化评价的熵-云耦合模型[J].水利学报,2014,45(10):1214-1222.

[56]DELGADO A,ROMERO I.Environmental conflict analysis using an integrated grey clusting and entropy-weight method:a case study of a mining project in Peru[J].Environmental Modeling and Software,2016,77:108-121.

[57]WU J H,LI P Y,QIAN H.On the sensitivity of entropy weight to sample statistics in assessing water quality:statistical analysis based on large stochastic samples[J].Environmental Earth Science,2015,74:2185-2195.

[58]MOHAN M G,JAIRAJ P G.Comparison of FE and FLS model for surface water quality assessment[J].Procedia Technology,2016,24:77-84.

[59]WU H,CHEN J,QIAN H,et al.Chemical characteristics and quality assessment of groundwater of exploited aquifers in Beijiao water source of Yinchuan,China:a case study for drinking,irrigation and industrial purposes[J].Journal of Chemistry,2015,Article ID 726340.

[60]PAN G B,XU Y P,YU Z H,et al.Analysis of river health variation under the background of urbanization based on entropy weight and matter-element model:a case study in Huzhou City in the Yangtze River Delta,China[J]. Environmental Research,2015,139:31-35.

[61]KAMRANI S,REZAEI M,AMIRI V,et al.Investigating the efficiency of information entropy and fuzzy theories to classification of groundwater samples for drinking purposes:Lenjanat Plain,Central Iran[J].Environment Earth Science,2016,75:1370-1384.

[62]韩雁,黄跃飞,王光谦,等.基于区间不确定性水资源复杂系统的协调演化研究[J].水利学报,2011,42(8):92-898.

[63]刘燕,胡安焱,邓亚芝.基于信息熵的用水系统结构演化研究[J].西北农林科技大学学报(自然科学版),2006,34(6):141-144.

[64]罗军刚,解建仓,阮本清.基于熵权的水资源短缺风险模糊综合评价模型及应用[J].水利学报,2008,39(9):1091-1097.

[65]余建星,蒋旭光,练继建.水资源优化配置方案综合评价的模糊熵模型[J].水利学报,2009,40(6):729-735.

[66]ZHU Q L,SHEN L X,LIU P,et al.Evolution of the water resources system based on synergetic and entropy theory[J].Polish Journal of Environmental Studies,2015,24(6):2728-2738.

[67]MONDAL N C,AHMED S.Landscape entropy approach to demarcate pathways for oozing of water in adesert area in India[J].Current Science,2015,109(1):148-157.

[68]FENG L H,HUANG C F.A risk assessment model of water shortage based on information diffusion technology and its application in analyzing carrying capacity of water resources[J].Water Resource Manage,2008,22:621-633.

[69]CHENG K,FU Q,CHEN X,et al.Adaptive allocation modeling for a complex system of regional water and land resources based on information entropy and its application[J].Water Resource Management,2015,29:4977-4993.

[70]SALAH S,TIKU T T.Multi-directional maximum entropy approach to the evolutionary design optimization of water distribution systems[J].Water Resource Management,2016,30:1885-1901.

[71]余灏哲,韩美.基于PSR模型的陕西省水资源承载力熵权法评价[J].水电能源科学,2016,34(1):27-30.

[72]王坚.基于改进组合神经网络的水资源预测研究[J]. 计算机科学,2016,43(6):516-518.

[73]白夏,戚晓明,武心嘉,等.基于最小相对熵原理的区域投入产出直接消耗系数修订模型[J].华北水利水电大学学报(自然科学版),2016,37(5):40-45.

(责任编辑：乔翠平)

Research Progress of Information Entropy in Hydrology and Water Resources Science

XU Pengcheng, WANG Dong

(School of Earth Sciences and Engineering, Nanjing University, Nanjing 210046, China)

The concept and theory of information entropy are introduced briefly, and a review is given on the application of information entropy in recent decades ranging from the fields of runoff series simulation and analysis, evaluation of gauge networks, hydrological forecasting, water quality evaluation, water resources assessment. The information entropy not only makes the most of present datasets, but also permits the existence of subjective information based on experience. Present research results also recommend that the information entropy-based method is becoming more and more important and playing a greater role in hydrological studies. In future, the information entropy can be combined with Copula function in order to deal with the limitation of estimating multidimensional joint probability function by only using information entropy method, which will deserve a broad prospect.

information entropy; hydrology and water resources; research progress; Copula function

2017-02-13

国家自然科学基金(41571017)；教育部博士点基金(20120091110026)。

徐鹏程(1990—),男,江苏金坛人,博士研究生,从事水文学与水资源方面的研究。E-mail:m18994113495@163.com。 王栋(1972—),男,山东沂水人,教授,博导,博士,从事水文学与水资源方面的研究。E-mail:wangdong@nju.edu.cn。

10.3969/j.issn.1002-5634.2017.04.010

TV12

A

1002-5634(2017)04-0071-08