解决高中导数在几何中应用问题的方法探析

郑育玲

摘 要 导数这部分内容是高中数学新增的内容之一，它的引入在中学数学中起着非常重要的作用。导数是中学数学中解决问题常用并且十分便利的手段，不仅能解决函数单调性、极值和最值问题，还能解决平面几何、立体几何的相关问题。导数的方法与传统的方法比较更為简洁灵活，因此研究导数应用问题意义重大。本文主要对导数在中学数学中几何应用问题的进行了详细的归纳和总结，给出实际例子进行分析，最终给出导数在几何中的应用总结出一套解题模式或解题策略，以期指导学生对这类题型的解题训练。

关键词 导数 几何 定积分

1导数及其应用内容分析

课本是通过速度及其变化率来引出导数概念的，并进一步介绍了导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用。新课程中，导数及其应用的处理需要反映以下三个方面的特点。

1.1重视直观，数形结合，突出本质

在2004年开始实施的普通高中新课程数学实验中，导数的学习不再以极限的严格定义为基础，而是通过大量的例子，直接引入导数定义，并直接用极限符号表述由平均变化率到瞬时变化率的过程，这里的处理体现出形的直观与生动，符号与数的刻画的精确与便利，同时也揭示出导数的几何意义与代数特征，符合高中学生的年龄特征与学习特点。

另外，利用导数刻画函数的单调性、从曲边梯形面积的计算与变速运动物体所走路程的计算引入定积分等，都充分体现了数形结合的优越性，在高中阶段这部分内容的教与学更需要突出形对数的直观展示。

1.2关注过程，归纳通法，控制运算

教学中应尽量从学生熟悉、易理解的问题情境中提炼数学模型，构造导数工具，让学生理解应用导数解决问题的关键环节，并从通性通法的角度认识导数工具的价值与意义。

作为多项式函数的特例，一次函数与二次函数为初中、高中阶段学生所熟悉的；而三次函数既有极大值、极小值，又含有零点，用导数处理较为方便，因此，高中阶段，应用导数研究函数时，大多数以不超过三次的多项式函数作为载体进行剖析，以控制运算的复杂性.其他类型的函数则用类似的方法进行处理。

1.3动静结合，加强导数在函数性质与最优化问题中的应用

在应用时，应从动静两个方面理解导数f'（x）。

（1）若把f'（x）看成是f（x）。在点x出的导数，那么，这是点（x，f（x））是静止的，f'（x）是确定的。

（2）当点（x，f（x））沿着曲线f（x）运动时，f'（x）随着变化，这是f'（x）就是x的函数，它是变化着的。

因此，在应用导数工具研究函数性质是，要从静止与运动的角度来细致地加以刻画，既有单调性，也有最值、极值问题，并借助图像进行分析，把握函数的特征。

在利用导数解决最优化问题时，要从实际问题中确定相关的最值与极值问题模型，再转化为函数问题，加以解决。

2例题解析

2.1平面图形旋转所得几何体体积问题

解题策略：（1）确定旋转曲线f（x）；（2）确定定积分的上下限；（3）运用定积分求解该旋转体的体积：V=€%i（f（x））2dx。

例1 由曲线y=和直线x=1及x轴围成的平面图形饶x轴旋转一周所得几何体的体积为 。

解：由题意几何体的体积€%iXdx=（€%ix2）|=。

解题引导：确定定积分的上下限→根据定积分的几何意义即可求出.（1）转化：将求几何体的体积转化为运用定积分求解，将形转化为数；（2）运用定积分求解简单的几何图形的体积：V=€%i（f（x））2dx；（3）注意a，b的取值。

2.2定积分在求面积中的应用

解题策略：（1）观察所求图形，是否需要分割成若干个曲边梯形进行求解；（2）确定定积分的上下限：通常是所学初等函数的交点，联立函数求解交点坐标；（3）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和。

例2 函数y=2x与函数y=3x2所围图形的面积是_____。

解：联立直线y=2x与抛物线y=3x2，解得交点为（-3，-6）和（1，2）抛物线y=3x2与x轴负半轴交点（-，0）。设所围部分面积为S，则S=（3x22x）dx=所以所围部分的面积为。

解题引导：求所围封闭部分的面积，先要对所围部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可。（1）求几何图形的面积：在直角坐标系中，由曲线f（x）、g（x），直线x=a，x=b（a

总之，把握好导数在几何中的应用，充分体现数形结合的思想方法，突出本质特征，提高学生的求解运算能力。

参考文献

[1] 尹学军. 关于高中导数应用教学的思考[J]. 数学学习与研究. 2011（03）.