一道课本习题改编的一组高考题

李瑞杰

[摘 要] 高考卷向来重视对教材例题、习题的挖掘、引申和改造，体现“深入教材，又高于教材”，做到重基础、考能力. 教师要引导学生抓纲靠本，强调变式，培养思维的灵活性和创造性.

[关键词] 高考；课本；改造

笔者所在地区使用的高中数学教材为人教A版，在必修五教材的第一章内容中有关于“海伦和秦九昭”的阅读与思考内容. 既然是阅读与思考，往往未受到教师和学生的重视. 但是，此部分内容对于学生了解数学史、提高数学素养都是极好的材料，甚至也可以丰富学生解题思路和技巧.

[?] 海伦—秦九昭公式

在解三角形的问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求出三角形的面积. 据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到公式S=，其中p=（a+b+c）. 但是现在人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式. 其实，我国南宋时期的数学泰斗秦九韶编撰的《数书九章》一书的卷五中曾记载过“三斜求积术”，秦九韶的算法相当于：S=，其中a≥b≥c. 它虽然与海伦公式形式上不一样，但两者是完全等价的，实质是一样的. 故海伦公式也称之为“海伦—秦九韶公式”.

[?] 海伦公式的证明

笔者以思考题的形式要求学生阅读此部分内容，并用自己的方法证明海伦公式. 学生的证明方法主要有以下两种.

方法1：△ABC的三边长分别为a，b，c，则有三角形的面积公式可得S=absinC=ab，再由余弦定理可得S=ab

化简得S=，令p=（a+b+c），于是有

S=，海伦公式得证.

方法2：如图1，△ABC的三边长分别为a，b，c，AD为边BC的高. 又因为BD=ccosB=，所以，AD2=AB2-BD2=c2-

.

由于S=·BC·AD=a·=，

可由平方差公式化简可得S=·，令p=（a+b+c），于是有S=，海伦公式得证.

点评：学生以上的两种种证明方法思路简单，利用所学求三角形面积的基本知识，以及余弦定理，将角度转化为边长，这样可以使得最后推证的公式中无角度，只存在边长，化简过程较复杂，需要学生细致、耐心的计算，有助于培养学生的转化思想、计算能力和逻辑推理能力.

第二种证明方法需要说明：图1中的高AD在三角形的内部，根据三角形知识可知，若是过钝角三角形中的锐角顶点作对边的高，则此时高AD则会在三角形的外部（如图2），那么此时BD=

ccos（π-B）

=

，也可推证出海伦公式. 也可理解为：即使△ABC为非锐角三角形，過最大内角作对边的高，那么此时高一定在三角形内部，按照此种证明方法海伦公式也可得证.

[?] 海伦公式的两个推论

推论1：已知三角形的三边长为a，b，c，设p=（a+b+c），可得三角形的内切圆半径r=.

证明：如图3，圆O为△ABC的内切圆，内切圆半径为r，则有

S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=cr+ar+br.

由海伦公式可得S△ABC==（a+b+c）r=pr，证得

r=.

推论2：设边AB，BC，CA上的高分别记为hc，ha，hb，可得

ha=，hb=·，

hc=.

证明：因为S△ABC=ah=，可证得

ha=，同理可证推论2成立.