谈重视数学教学过程的设计与思考

邹宇

[摘 要] 数学教学不能仅仅重视技巧、方法，也要重视教学过程中的问题，从这些问题中寻找学生的薄弱之处是教学更为有效的地方，因此数学教学需要重视过程的反思.

[关键词] 数学；教学；过程；设计；思考；直线；椭圆

课堂作为“课改”的主战场是师生知识交流、思想碰撞的前沿阵地；是学生知识结构重建和升华、形成数学思想方法的最佳时机；是教师专业成长、教学理论水平提高、指导数学教学改革、推进数学新课程实施的最佳平台. 教师对教学的要求随着教龄的增加应该不断完善，从初级时的“如何上好课”到中级时的“如何做最好的老师”，到高级时的“如何教教材、回顾教学初心”等，都是值得教师深深思考的问题.在这美好的愿境面前，给我们教育工作者带来了新的机遇和挑战，也提出了更高的要求，尤其是时下暴露出的一些问题和不足，这就更需要我们教育工作者从日常的教学工作入手反思.

[?] 提出问题

在教学过程中，不少教师有这样的困惑：数学试题讲了很多，同样的类型讲了多遍，可是学生的数学行为习惯、数学思想方法、数学思维品质以及由此综合而成的整体能力就是得不到提高！也常听见学生有这样的埋怨：上课老师讲的内容都听懂了，可是课后遇到类似的题型，只记得讲过，但具体的解决方法就不清楚了；类似的问题重复训练，但是成绩的提高却依舊缓慢！笔者认为，这就是教学不得法的体现，归根到底教学仍旧是从教师的眼中去分析的，没有从学生的视角想一想. 因此，笔者从学生的角度分析了成因以及解决的一些策略，再结合教师的角度分析，与同行探讨交流.

[?] 设计思考

众所周知，构成一堂课最基本的三要素是教师、教材、学生. 他们是相互融合的整体，既有一定的矛盾也有一定的共性. 它们之间的关系是充斥着矛盾的三角形的三个顶点，而整个课堂教学就是要将相互矛盾的三者有机地融合在一起.对于教师的矛盾主要体现在是否认真地钻研教材，能否驾驭教材，在自己具有创造性的努力之后，逐步地、有层次地、循序渐进地传授给学生. 所以第一项重要的工作就是在备课之前仔细认真地钻研教材，分析学科的基本结构.

布鲁纳认为：学科的基本结构是指学科的基本概念、基本原理、基本方法和它们之间的联系. 比如高二开设的解析几何，它是用代数的方法研究几何问题的一个数学模块.它的基本结构如下：

基本概念：曲线的方程与方程的曲线.

基本原理：用代数的方法研究几何问题.

基本思想：数型结合与动态的观点.曲线可以看成是具有某种特性的动点的轨迹——方程；同样通过方程可以研究曲线的某些特性.

基本方法：解析法.

基本联系：点与实数对，曲线与方程的联系.

我们认真地研究了学科的基本结构，才能了解这一模块的特点和知识的本质以及它的发生、发展、演变的内在规律.这样我们才能很好地把握教材，才能制定明确的课堂教学目标.

1. 步骤一：《直线和圆锥曲线》位置关系理论过程设计

高二解析几何中的直线与圆锥曲线的位置关系是该模块知识的重点和难点，同样也是系统很强的内容，当然也是高考的重点和热点. 其中直线与双曲线的位置关系尤为复杂. 因为学生在学习这部分内容的时候已经学习了直线与椭圆的位置关系，所以对这块内容不是很陌生，但也只是一个初步. 为了在学生已有的知识结构上更好地将这部分内容条理化、系统化，为了强化基本原理和基本的思想，为了培养学生对这块内容的学习兴趣和积极性，可以制定如下的教学目标：

（1）知识与技能

第一，经历直线与椭圆的位置关系以及位置关系的判定，培养学生的观察能力和分析能力；

第二，通过对直线与双曲线的位置关系以及判定的探讨，培养学生严谨求实的理性精神，掌握直线与双曲线的位置的判定方法.

（2）过程与方法

第一，类比直线与椭圆的位置关系以及判定引申到直线与双曲线；

第二，充分再现用代数的方法研究几何问题的基本原理；

第三，探索直线与双曲线的位置的判定的特殊性（由双曲线本身所引起的特殊性）.

（3）情感态度与价值观

明确了任务和目标后，可以根据学生的年龄特点、心理特征创设贴近生活的鲜活的情景，使学生身临其境；通过分层问题逐步引领学生亲身经历知识的发展历程；同步配以结合学生实际制作的多媒体演示、模型实物演示等多种视听媒介，全面激活非智力因素的能动作业，加强学生主体学习的动力系统.

2. 步骤二：《直线和圆锥曲线》位置关系具体教学实施

课堂教学的目标是落实双基，提升学生的数学思维品质. 在落实双基时应该适当地减缓知识架构的“坡度”，让学生有足够的思维空间将知识科学、和谐、稳定地建构到原有的知识链中，而且更有广阔的再建空间. 但是这样的平衡在建立之初是很脆弱的，最容易被打破，所以应该加以强化.

知识回顾——直线与椭圆的位置的关系：

研究椭圆+=1和直线y=kx-3的位置关系需要两方程联立后得一元二次方程（3+4k2）x2-24kx+24=0，以一元二次方程根的判别式为载体，通过研究方程根的个数来求得直线与椭圆的公共点的个数，最终实现对直线与椭圆的位置关系的判定. 此时学生原有知识已经激活，是接纳相关知识的最佳时机.

紧接着设计一个探索：将椭圆方程+=1变成双曲线方程-=1.

探索——直线与双曲线的位置的关系：

学生甲：两方程联立后得方程（3-4k2）x2+24kx-48=0.

学生乙：联立后两个方程不一样了.（通过观察已经发现了区别）

教师：对判断位置关系有影响吗？（引导到课堂的重点）

学生丙：有. 当二次项系数为0时，Δ不适用了. （运用已有的知识）

教师：那该怎么办？（给予肯定，继续让他回答）

学生丙：可以分二次项系数为0和不为0两类. （运用分类讨论思想）

（1）若k=时，直线方程变为y=x-3，与渐近线平行.

（2）若k=-时，直线方程变为y=-x-3，与渐近线平行.

（在学生回答的过程中配以图像的演示，加强学生的印象，同时也发现此时直线与双曲线只有一个公共点，且为交点.）

（3）若k2≠，则只需判断判别式的符号即可.

第一，当Δ>0时，方程有两个不同的解——相交.

第二，当Δ=0时，方程有两个相同的解——相切.

第三，当Δ<0时，方程没有解——相离.

思考：通过这个简单环节的设计，不仅激活了学生原有的直线与椭圆的位置关系以及判定的知识，学生也抓住了“+”到“-”变化带来的区别，经历了椭圆与双曲线的类比学习，知识的迁移显得比较自然，同样也激起了学生再学习的兴趣.另一方面，巩固了研究直线与圆锥曲线位置关系的方法，加强了对该模块知识建构的强度，还抓住了双曲线的特殊性（与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点），实现了课堂重难点的分解分层实施，降低了“坡度”，但没有降低难度.学生不仅领悟、内化了椭圆与双曲线的共性，同时也分辨抽象出了双曲线的个性，提升了学生的思维品质，符合知识的发展过程以及学生的认知规律.

时代在发展，教师也应该与时俱进地不断提升自己的综合实力，课堂教学的设计和思考是一条强有力的途径，也是我们自我价值实现和得到认可的一条有效途径. 当然另一方面，通过教师对教育心理学理论的再学习——领悟、吸收、内化、升华——并以个体积极探索和创造性的行动所形成的具有极强操作性的理论或模式为指导，从学生的知识水平和认知规律出发，反思自己的教学行为——深入研究教材，探讨教学方式方法，创造性地设计教学情景，深入浅出，层层推进，最大化地激活学生学习的思想火花和灵感，提高学生的数学素养和思维品质，提升教师自己对课堂设计的掌控能力和教学的思考能力.