用“数学现象”启发学生“问题意识”的课堂教学尝试

徐建东

[摘 要] “问题是数学的心脏”，弗赖登塔尔说过：“与其说是学习数学，还不如说是学习‘数学化.” 课本上的过分“成熟”的题目使学生跳过了“数学化”的过程，不利于全面地培养学生的“问题意识”. 学生在学习过程中“提出问题的意识”几乎被忽略，导致学生只会被动地做题，而不会主动地提出问题. 学生认为，学习数学就是学会解题，使数学学习变得枯燥无味. 如果我们在教学中能把“数学问题”还原为“数学现象”，可以让学生从“数学事实”开始，先自己“提出问题”，然后再“解决问题”，让他们深度地参与“数学活动”，增强“数学体验”，促进领悟与反思.

[关键词] 数学现象；问题意识；自主探究

“问题是数学的心脏”，弗赖登塔尔说过：“与其说是学习数学，还不如说是学习‘数学化. ”课本上的绝大多数数学题都把问题给定了，这种过分“成熟”的题目使学生跳过了“数学化”的过程，不利于全面地培养学生的“问题意识”. 学生在学习过程中“提出问题的意识”几乎被忽略，导致学生只会被动地做题，而不会主动地提出问题. 久而久之，学生认为学习数学就是学会解题，使数学学习变得枯燥无味. 如果我们在教学中能把“数学问题”还原为“数学现象”，可以让学生从“数学事实”开始，先自己“提出问题”然后再“解决问题”，让他们深度地参与“数学活动”，增强“数学体验”，促进领悟与反思.

笔者结合高三专题复习教学，尝试用“数学现象”启发学生“问题意识”的所思所悟整理成文，与同行交流.

[?] 概念界定

1. 数学现象

把客观事实呈现给学生，让他们用数学的观点进行观察和探究，这个事实就成了学生眼中的数学现象. 这里的“客观事实”可以是生活中的事实，也可以是数学中的事实，也可以是为了教学而虚构的事实，但其中的数学问题是隐含的而不是外显的，其中的数学结构是符合学生数学现实的. 总之，在数学化之前的那个素材，就是数学现象.

2. 问题意识

指问题成为感知和思维的对象，从而在心里造成一种悬而未决但又必须解决的一种心理状态. 本文中的“问题意识”是指学生用数学的眼光，从所给现象中发现数学结构、进行描述以及用数学方法解决和评价的心理趋向.

[?] 课堂摘录

引例：（南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试卷第13题）已知函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时， f（x）=2x-1，函数g（x）=x2-2x+m，如果对任意的x1∈[-2，2]，总存在x2∈[-2，2]使得f（x1）=g（x2），求实数m的取值范围.

教师：我们有没有处理过此类问题的经历？通过这种经历我们是否已积累了一定的经验？

学生：之前经历过的，基本的经验是分析两个函数在各自指定区域内的值域间的关系.

教师：那么我们不妨记函数f（x）在[-2，2]上的值域为Df，函数g（x）在[-2，2]上的值域为Dg，下一步应该如何处理？

学生：应该只要满足Df?Dg.

教师：不错，我们的判断是正确的！但是为什么是这个结论呢？能分析得更详细一点吗？

学生：原题等价于，对于Df中的任意的函数值f（x1），在Dg中必定能找到一个值g（x2），满足f（x1）=g（x2），也即Df?Dg.

教师：大家听明白了吗？分析得非常好！下面请大家将此题解答完整.

（学生解答，教师巡视并作个别辅导）

解答：因为x∈（0，2]时， f（x）=2x-1为单调递增函数，所以当x∈（0，2]时， f（x）=2x-1∈（0，3].

又因为f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，所以当x∈[-2，2]时， f（x）∈[-3，3]，即Df=[-3，3].

因为g（x）=x2-2x+m=（x-1）2+m-1，又x∈[-2，2]，

所以g（x）∈[m-1，m+8]，即Dg=[m-1，m+8].

因为对任意的x1∈[-2，2]，总存在x2∈[-2，2]使得f（x1）=g（x2），

所以m-1≤-3，

m+8≥3?-5≤m≤-2.

教師：通过大家的努力，此问题得以顺利解决. 但是解决这个问题并不是我们的目的，我们要以此问题为载体，通过对它的解决，掌握与此相关的数学知识和数学思想方法；通过对本问题的研究，进一步得到解决此类问题的一般性方法，将来面对此类问题，我们都能解决它们了.

教师：请同学们结合本题，尝试归纳一个一般性的结论.

学生：（结论1）记函数f（x）在D1上的值域为Df，函数g（x）在D2上的值域为Dg，如果对任意的x1∈D1，总存在x2∈D2使得f（x1）=g（x2），则有Df?Dg.

教师：很好，我们得到了一个一般性的结论，那么我们能否对上题作适当的变化，形成新问题，尝试解决并归纳出一般性的结论呢？我们学生可以分成提问组和解答组，提问组的同学将原问题进行改编，解答组的同学负责解答，解答完后提问组可以作点评，之后两组协助归纳出一般性的结论.

学生自行分组，进入探究过程，发言踊跃，通过整理、归纳，得到了如下的变题：

已知函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时， f（x）=2x-1，函数g（x）=x2-2x+m，

变题1：对任意x1∈[-2，2]，总存在x2∈[-2，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围.

变题2：对任意x1∈[-2，2]，总存在x2∈[-2，2]，使f（x1）≤g（x2），求实数m的取值范围.

变题3：存在x1∈[-2，2]，对任意x2∈[-2，2]，都有f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围.

变题4：存在x1∈[-2，2]，对任意x2∈[-2，2]，都有f（x1）≤g（x2），求实数m的取值范围.

变题5：对任意x1，x2∈[-2，2]，都有f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围.

变题6：对任意x1，x2∈[-2，2]，都有f（x1）≤g（x2），求实数m的取值范围.

变题7：存在x1，x2∈[-2，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数m的取值范围.

变题8：存在x1，x2∈[-2，2]，使f（x1）≤g（x2），求实数m的取值范围.

师生通过对上述变题的一一解答，并作一般性的归纳，整理后摘录如下：

记函数f（x）在D1上的值域为Df，函数g（x）在D2上的值域为Dg，

结论2：对任意x1∈D1，总存在x2∈D2，使f（x1）≥g（x2），则有f（x）min≥g（x）min.

结论3：对任意x1∈D1，总存在x2∈D2，使f（x1）≤g（x2），则有f（x）max≤g（x）max.

结论4：对任意x1∈D1，任意x2∈D2，都有f（x1）≥g（x2），則有f（x）min≥g（x）max.

结论5：对任意x1∈D1，任意x2∈D2，都有f（x1）≤g（x2），则有f（x）max≤g（x）min.

结论6：对任意x1∈（D1∩D2），都有f（x1）≥g（x1），则有（f（x）-g（x））min≥0.

结论7：对任意x1∈（D1∩D2），都有f（x1）≤g（x1），则有（f（x）-g（x））max≤0.

结论8：存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）=g（x2），则有Df∩Dg≠ .

结论9：存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）≥g（x2），则有f（x）max≥g（x）min.

结论10：存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）≤g（x2），则有f（x）min≤g（x）max.

结论11：存在x1∈D1，使得f（x1）=m，则有m∈Df.

结论12：存在x1∈D1，使得f（x1）≥m，则有m≤f（x）max.

结论13：存在x1∈D1，使得f（x1）≤m，则有m≥f（x）min.

以上结论都是在教师的启发诱导下由学生群体自行归纳整理出来的，对学生来讲本堂课收获颇丰，在学生积极主动的参与过程中并没有感到结论的突兀、学习的无味，相反学生的思维活跃、发言踊跃，学生感受到了数学的很多结论其实我们都可以自行探究得到，数学并没有这么枯燥！

[?] 对教学的思考与感悟

教学中要重视问题意识的培养，汪秉彝教授说过：“数学教学要不断唤起学生的好奇心、质疑、批判和探究的意识，恰当地引导学生提出问题，并以问题趋动教学. ”所以要重视学生对数学现象的解构或重组；要让他们有充分自主的时间和空间，以显现他们的独创性，促进其创新意识的养成；在唤醒他们的问题意识以后，他们所进行的数学活动往往就是数学化和在数学内的求解，其中有探究精神的培养，也有双基的体现，都应当由他们自主或协作完成. 不到他们“山穷水尽”之时，教师不可越俎代庖.

“问题意识”一定是学生自己产生的，而不是教师告知的. 教师所能做的事情就是提供一个合适的数学现象，以作为学生活动的起点. 因此，准确地理解什么是“数学现象”，准确地发现及向学生提供“数学现象”，是对教师的基本要求. 从目前“问题教学”和“情境教学”的大环境来看，教师已经有很好的基础，但是也需要一些新思路. 因此，这也是向教师提出了一个非常高的要求.

参考文献：

[1] 弗赖登塔尔，数学教育再探[M].上海：上海教育出版社，1995.8.

[2] 秦传明，杨子林. 函数中不等式恒成立、能成立问题的七种类型及解题策略[J]. 学周刊，2017，（05）：221-222.

[3] 谢道仁. “恒成立”“能成立”“恰成立”问题[J]. 科技创新导报，2011，（22）：189.

[4] 祁平，基于探究的数学教学的哲学思考[J]. 数学通报，2014.8