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立足高处,敢于创新

2017-09-01尤柳青

数学教学通讯·高中版 2017年8期
关键词:全面联系系统

尤柳青

[摘 要] 数学知识是相互联系的,但学生学习时的各知识点间却是相互独立的. 如何让学生的数学学习更生动连贯、更具逻辑性?这就需要我们在平时教学时,立足系统高度、大胆创新. 本文以《导数的几何意义》为例加以阐述.

[关键词] 联系;系统;全面

[?] 研究缘起

“一叶障目”告诉我们不能被局部或暂时的现象所迷惑,否则将看不到事物的全貌,无法认清根本问题. 当我们处于城市之中,我们可能只能发现交通的拥堵、人潮的匆忙,而当我们站在高处时,我们将会发现交通的井然有序与城市的大局之美.

学习数学也是一样,当我们学习一个个知识点的时候,我们可能会觉得它们杂乱无章而又晦涩难懂,但当我们跳出局部,立足高处看待时,我们就会发现数学知识点之间的联系与优美,甚至是数学与生活、与其他学科的综合之美.

站在高处看问题,从系统层面看知识. 正如,一百个人看《哈姆雷特》,就有一百个哈姆雷特,学习数学也是一样的. 课本是编排好的,都一样的,但每个人心中都有一本属于自己个人的数学书,这是不同的,它们有着不同的建构、联系.

建构主义认为,学习不是简单的知识的传递,而是学习者建构自己的知识经验的过程,这种建构是通过新旧经验之间的双向的、反复的相互作用而实现的. 知识的建构是一个积极主动的活动. 首先,知识建构试图将新知识与更广泛的知识经验联系起来,成为整合的知识体系,而不只是与某一两个观念建立联结. 其次,学习者不只是理解和记忆现成的结论,而是要形成属于自己的知识.

作为一个数学教师,我们要帮助学生更好地完成、完善这本数学书,让学生能更符合学情和认知规律地构建知识框架. 数学知识之间都有着紧密的联系,我们应当用联系的眼光来看问题,根据学情大胆超越、重构. 以《导数的几何意义》教学中的探究新知环节为例进行阐述.

[?] 教学片段

数学,是研究数与形的学科,函数更是数与形的完美结合体.在研究了函数导数的代数定义之后,我们要引导学生从图形角度进行研究,尝试是否有新的发现.

师:同学们,在学习了导数的定义后,我们知道了导数f ′(x0)就是函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率,那么在函数图像上,你能否找出导数所代表的含义呢?

合作探究:以函数f(x)=x为例,若x0=1时,求当Δx取以下值时函数的平均变化率:①Δx=1;②Δx=;③Δx=;④Δx=;⑤Δx→0.

请分组分别求出,并在图上进行表示(其中⑤为共同完成的思考题).

小组合作探究并展示(以①为例,其余省略):根据公式,得当Δx=1时,平均变化率为===-1≈0.4142. 并得图1.

引导学生观察.

生1:当点Pn趋向于点P时,割线PPn趋近于点P处的切线.

追问:那么平均变化率表示的是什么呢?

生1:平均变化率表示的是割线PPn的斜率,且当Δx→0时,平均变化率就变成了瞬时变化率,即导数.也就是说,导数表示的就是点P处的切线的斜率.

师生:当点Pn趋向于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定的直线称为点P处的切线,记为PT.

利用几何画板动态展示、验证,并得到当Δx→0时,割线PPn的斜率无限趋近于曲线f(x)在P点处的切线PT的斜率. 因此,函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即

k==f ′(x0).

例:请分组分别求出以下函数在x=x0时的导数值:①f(x)=c(c为实常数);②f(x)=x;③f(x)=x2;④f(x)=x3.

其中前3题直接小组板演展示,最后一题展示并解说:

根据f ′(x0)=

=

=

=

=[3x+3x0·Δx+(Δx)2]

=3x.

师点评:根据整体板演情况,对学生的学习与努力表示充分的肯定,同时对各种符号的错误进行再一次的更正与强调.

集体小结:从解题过程中,可以清晰地感受到,当x=x0时,f ′(x0)是一个确定的数. 这样,当x变化时,f ′(x0)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数).

y=f(x)的导函数有时也记作y′,即f ′(x)=y′=.

追问:根据解答,我们可以知道例题中的四个函数的相应导函数:

①f(x)=c(c为实常数) f ′(x)=0

②f(x)=x f ′(x)=1

③f(x)=x2 f ′(x)=2x

④f(x)=x3 f ′(x)=3x2

你能找到它们之间的规律吗?如果把函数和它的导函数在同一直角坐标系中画出,你又能找到什么规律呢?请分组讨论、研究.

组1:我们组发现,如果函数是f(x)=xn,那么导函数是f ′(x)=nxn-1.

追问:n有何要求吗?

组1:正整数.

追问:n为负数行吗?比如n=-1?

组1(犹豫):好像可以.

师:组1对于“如果函数是f(x)=xn,那么导函数是f ′(x)=nxn-1”的发现并推广非常不错,但我们仍需对n的范围进行研究,请作为课后作业进行思考,期待大家下节课的精彩解答.

组2:我们把函数和它的导函数画在同一直角坐标系中,如下:根据导数的几何意义,我们知道导数就是曲线在各点处的斜率. 而初中我们知道,斜率k>0,則函数为增函数;反之,为减函数. 所以我们组将函数的单调性与导函数的正负联系起来看,发现:当导函数大于0时,函数单调递增;反之,则单调递减.

该回答得到了班里的一阵叫好声,讲解准确,规律清晰,引起了同学的共鸣,并立即引发了同学的下一个思考.

组3:根据初中知识,我们知道,斜率k越大,函数变化越快、图像越陡峭. 同样的,当f ′(x)的值越大时,就相当于斜率k越大,则函数变化越快、图像越陡峭.

小结:根据组2和组3的规律得:导数的正负决定函数的增、减,且导数绝对值越大,函数图像越陡峭. 其中,“導数的正、负决定函数的增、减”是导数应用的基础,也是我们考试的重点之一,往往作为压轴题出现,此时,数形结合是我们解题的一个重要思想方法.

设计意图: f(x)=c(c为实常数), f(x)=x, f(x)=x2, f(x)=x3是导数应用中的几个常用函数,对它们进行求导,既可以锻炼、巩固学生对导数的理解与应用,又为下节课“几个常用函数的导数”的学习做好铺垫. 同时,又因为这几个函数及其导数都是较为常见的简单函数,通过对它们的探索、研究,可以更有利于学生对导数与函数之间关系的寻得与理解. 由浅入深,更符合学生的学习规律.

[?] 反思与提升

立足高处,可从“三高”入手:

(1)高在系统,从知识之间的相互联系、前后关系入手. 高中数学知识看似一个个相互独立,实际有着千丝万缕的联系. 比如,当我们用“类比”的眼光看数学时,我们会发现:平面向量和空间向量有着从“二维”到“三维”变化的联系;指数函数和对数函数互为反函数,有着极为密切的对称关系;圆、椭圆、双曲线、抛物线是不同截面对双圆锥截取而得,也有着离心率逐渐变化的联系.

(2)高在综合,从学科之间的联系入手. 培根说:“数学是打开科学大门的钥匙.”几千年来,凡是有意义的科学理论与实践成就,无一例外地借助于数学的力量. 我们在教学过程中,应该渗透这种思想,让学生体会到数学的实用性与趣味性.

如在对数教学时,我们将无理数e=2.71828…称为自然常数,该数是我们高中阶段数学学习的一个重要常数,然而学生对其很难理解. 此时,如果我们将其具有的特性进行阐述,学生将会非常乐于接受:数学家欧拉把

1+

=2.71828…记作e;e与对数螺线、阿基米德螺线、回旋螺线等有着密切关系,而正是这些螺线在自然界的应用(如向日葵花盘、树叶生长),才有了我们现在生存的美丽世界.

(3)高在生活,从知识应用的角度入手. 越来越热门的数学建模竞赛,比的就是学生自身对于知识的应用能力. 在我们高中教学中,我们也可以将建模思想逐渐渗透,既可以增加课堂的趣味性,又可以让知识得到很好的运用.

在选修2-2《1.3.1函数的单调性与导数》中的例3,就是一个很好的立足高处、应用实际的问题:

如图7,水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像.

[?] 结束语

“要给学生一杯水,老师要有一桶水.” 这句话曾经在教育界一度非常流行,意思是教师要比学生懂得更多、更丰富的知识,才有资格成为一名教书育人的老师. 但在信息高速发达、社会快速进步的今天,这句话也给我们提出了更高的要求. 学无止尽,立足高处,敢于创新. 为了给学生更好的教育,让我们教育工作者不断努力,不断学习,拓开思路,携手共进.

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