立足高处，敢于创新

尤柳青

[摘 要] 数学知识是相互联系的，但学生学习时的各知识点间却是相互独立的. 如何让学生的数学学习更生动连贯、更具逻辑性？这就需要我们在平时教学时，立足系统高度、大胆创新. 本文以《导数的几何意义》为例加以阐述.

[关键词] 联系；系统；全面

[?] 研究缘起

“一叶障目”告诉我们不能被局部或暂时的现象所迷惑，否则将看不到事物的全貌，无法认清根本问题. 当我们处于城市之中，我们可能只能发现交通的拥堵、人潮的匆忙，而当我们站在高处时，我们将会发现交通的井然有序与城市的大局之美.

学习数学也是一样，当我们学习一个个知识点的时候，我们可能会觉得它们杂乱无章而又晦涩难懂，但当我们跳出局部，立足高处看待时，我们就会发现数学知识点之间的联系与优美，甚至是数学与生活、与其他学科的综合之美.

站在高处看问题，从系统层面看知识. 正如，一百个人看《哈姆雷特》，就有一百个哈姆雷特，学习数学也是一样的. 课本是编排好的，都一样的，但每个人心中都有一本属于自己个人的数学书，这是不同的，它们有着不同的建构、联系.

建构主义认为，学习不是简单的知识的传递，而是学习者建构自己的知识经验的过程，这种建构是通过新旧经验之间的双向的、反复的相互作用而实现的. 知识的建构是一个积极主动的活动. 首先，知识建构试图将新知识与更广泛的知识经验联系起来，成为整合的知识体系，而不只是与某一两个观念建立联结. 其次，学习者不只是理解和记忆现成的结论，而是要形成属于自己的知识.

作为一个数学教师，我们要帮助学生更好地完成、完善这本数学书，让学生能更符合学情和认知规律地构建知识框架. 数学知识之间都有着紧密的联系，我们应当用联系的眼光来看问题，根据学情大胆超越、重构. 以《导数的几何意义》教学中的探究新知环节为例进行阐述.

[?] 教学片段

数学，是研究数与形的学科，函数更是数与形的完美结合体.在研究了函数导数的代数定义之后，我们要引导学生从图形角度进行研究，尝试是否有新的发现.

师：同学们，在学习了导数的定义后，我们知道了导数f ′（x0）就是函数f（x）在x=x0处的瞬时变化率，那么在函数图像上，你能否找出导数所代表的含义呢？

合作探究：以函数f（x）=x为例，若x0=1时，求当Δx取以下值时函数的平均变化率：①Δx=1；②Δx=；③Δx=；④Δx=；⑤Δx→0.

请分组分别求出，并在图上进行表示（其中⑤为共同完成的思考题）.

小组合作探究并展示（以①为例，其余省略）：根据公式，得当Δx=1时，平均变化率为===-1≈0.4142. 并得图1.

引导学生观察.

生1：当点Pn趋向于点P时，割线PPn趋近于点P处的切线.

追问：那么平均变化率表示的是什么呢？

生1：平均变化率表示的是割线PPn的斜率，且当Δx→0时，平均变化率就变成了瞬时变化率，即导数.也就是说，导数表示的就是点P处的切线的斜率.

师生：当点Pn趋向于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的直线称为点P处的切线，记为PT.

利用几何画板动态展示、验证，并得到当Δx→0时，割线PPn的斜率无限趋近于曲线f（x）在P点处的切线PT的斜率. 因此，函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即

k==f ′（x0）.

例：请分组分别求出以下函数在x=x0时的导数值：①f（x）=c（c为实常数）；②f（x）=x；③f（x）=x2；④f（x）=x3.

其中前3题直接小组板演展示，最后一题展示并解说：

根据f ′（x0）=

=

=

=

=[3x+3x0·Δx+（Δx）2]

=3x.

师点评：根据整体板演情况，对学生的学习与努力表示充分的肯定，同时对各种符号的错误进行再一次的更正与强调.

集体小结：从解题过程中，可以清晰地感受到，当x=x0时，f ′（x0）是一个确定的数. 这样，当x变化时，f ′（x0）便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数（简称导数）.

y=f（x）的导函数有时也记作y′，即f ′（x）=y′=.

追问：根据解答，我们可以知道例题中的四个函数的相应导函数：

①f（x）=c（c为实常数） f ′（x）=0

②f（x）=x f ′（x）=1

③f（x）=x2 f ′（x）=2x

④f（x）=x3 f ′（x）=3x2

你能找到它们之间的规律吗？如果把函数和它的导函数在同一直角坐标系中画出，你又能找到什么规律呢？请分组讨论、研究.

组1：我们组发现，如果函数是f（x）=xn，那么导函数是f ′（x）=nxn-1.

追问：n有何要求吗？

组1：正整数.

追问：n为负数行吗？比如n=-1？

组1（犹豫）：好像可以.

师：组1对于“如果函数是f（x）=xn，那么导函数是f ′（x）=nxn-1”的发现并推广非常不错，但我们仍需对n的范围进行研究，请作为课后作业进行思考，期待大家下节课的精彩解答.

组2：我们把函数和它的导函数画在同一直角坐标系中，如下：根据导数的几何意义，我们知道导数就是曲线在各点处的斜率. 而初中我们知道，斜率k>0，則函数为增函数；反之，为减函数. 所以我们组将函数的单调性与导函数的正负联系起来看，发现：当导函数大于0时，函数单调递增；反之，则单调递减.

该回答得到了班里的一阵叫好声，讲解准确，规律清晰，引起了同学的共鸣，并立即引发了同学的下一个思考.

组3：根据初中知识，我们知道，斜率k越大，函数变化越快、图像越陡峭. 同样的，当f ′（x）的值越大时，就相当于斜率k越大，则函数变化越快、图像越陡峭.

小结：根据组2和组3的规律得：导数的正负决定函数的增、减，且导数绝对值越大，函数图像越陡峭. 其中，“導数的正、负决定函数的增、减”是导数应用的基础，也是我们考试的重点之一，往往作为压轴题出现，此时，数形结合是我们解题的一个重要思想方法.

设计意图： f（x）=c（c为实常数）， f（x）=x， f（x）=x2， f（x）=x3是导数应用中的几个常用函数，对它们进行求导，既可以锻炼、巩固学生对导数的理解与应用，又为下节课“几个常用函数的导数”的学习做好铺垫. 同时，又因为这几个函数及其导数都是较为常见的简单函数，通过对它们的探索、研究，可以更有利于学生对导数与函数之间关系的寻得与理解. 由浅入深，更符合学生的学习规律.

[?] 反思与提升

立足高处，可从“三高”入手：

（1）高在系统，从知识之间的相互联系、前后关系入手. 高中数学知识看似一个个相互独立，实际有着千丝万缕的联系. 比如，当我们用“类比”的眼光看数学时，我们会发现：平面向量和空间向量有着从“二维”到“三维”变化的联系；指数函数和对数函数互为反函数，有着极为密切的对称关系；圆、椭圆、双曲线、抛物线是不同截面对双圆锥截取而得，也有着离心率逐渐变化的联系.

（2）高在综合，从学科之间的联系入手. 培根说：“数学是打开科学大门的钥匙.”几千年来，凡是有意义的科学理论与实践成就，无一例外地借助于数学的力量. 我们在教学过程中，应该渗透这种思想，让学生体会到数学的实用性与趣味性.

如在对数教学时，我们将无理数e=2.71828…称为自然常数，该数是我们高中阶段数学学习的一个重要常数，然而学生对其很难理解. 此时，如果我们将其具有的特性进行阐述，学生将会非常乐于接受：数学家欧拉把

1+

=2.71828…记作e；e与对数螺线、阿基米德螺线、回旋螺线等有着密切关系，而正是这些螺线在自然界的应用（如向日葵花盘、树叶生长），才有了我们现在生存的美丽世界.

（3）高在生活，从知识应用的角度入手. 越来越热门的数学建模竞赛，比的就是学生自身对于知识的应用能力. 在我们高中教学中，我们也可以将建模思想逐渐渗透，既可以增加课堂的趣味性，又可以让知识得到很好的运用.

在选修2-2《1.3.1函数的单调性与导数》中的例3，就是一个很好的立足高处、应用实际的问题：

如图7，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像.

[?] 结束语

“要给学生一杯水，老师要有一桶水.” 这句话曾经在教育界一度非常流行，意思是教师要比学生懂得更多、更丰富的知识，才有资格成为一名教书育人的老师. 但在信息高速发达、社会快速进步的今天，这句话也给我们提出了更高的要求. 学无止尽，立足高处，敢于创新. 为了给学生更好的教育，让我们教育工作者不断努力，不断学习，拓开思路，携手共进.