解析几何题的解题法宝—数形结合

衡飞

摘要：数形结合思想是中学到高等数学解题中极其重要的解题方法，数形结合思想是解决解析几何题的法宝， 数学问题的解决中起着关键作用。数形结合思想是提高学生分析问题、解决问题的能力，美国著名数学教育家波利亚说过：“掌握数学就意味着要善于解题。”只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。中、高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。因此本文中我主要从2017年数学高考题第15题的三种解法入手，展示数形结合的主要解题方法与妙解。

关键词：数形结合；思想方法

2017年全国高考数学卷（Ι）第15题

15已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为.

解法一：如图所示，作AP⊥MN，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N兩点，则MN为双曲线的渐近线y=bax上的点，且A（a，0），|AM|=|AN|=b，而AP⊥MN，所以∠PAN=30°，点A（a，0）到直线y=bax的距离|AP|=|b|1+b2a2，在Rt△PAN中，cos∠PAN=|PA||NA|，代入计算得a2=3b2，即a=3b，由c2=a2+b2得c=2b，所以e=ca=2b3b=233.

【考点】双曲线的简单几何性质

双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc.以上是网上给的解析答案，笔者仍然利用数形结合的思想给出另外两种解法。

解法二：双曲线C：x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）的右顶点为A（a，0），

以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。

若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos300=32b，

可得：aba2+b2=32b，即ac =32，可得离心率为：e=233

故答案为：233

解法三：由于AM的长为等于双曲线的虚半轴b，OA为实半轴c， AM垂直x轴，OM为半焦距c.ΔAMN为等边三角形，∠AMN=600，所以∠AOM=300，可得离心率为：e=ca=cos300=233

解法三巧妙的利用双曲线图形的特征，解法使得相当简单，几乎可以口算答案在高中数学的教学过程当中，数形结合方法贯穿整个教学的始终。而 数形结合方法实质上就是按照数据和图形之间的对应关系，将比较抽象的语言，通过图形表达出来，或者是将图形用数学语言表达出来。在高中数学的某些问题的解 题过程当中，通过应用数形结合思想，会使问题变得更加的简单化、直观化，开拓了学生的解题思路，使学生能够对一些比较难的问题也有了解题思路。因此，在高 中数学的教学过程当中，要积极培养学生在这方面的能力，将数形结合思想真正的应用到答题当中。

（作者单位：安徽省滁州市凤阳中学 233100）endprint