浅谈解析几何中参数取值范围的求法

沈向前

解析几何中确定参数的取值范围，几乎成了高考必考题之一，是综合性较强的一类问题。

在平时学习时，对于这类问题的求解普遍感觉困难。在学习过程中，总结归纳出解决这类问题的基本思路是：寻找所求变量与相关变量的关系，从中建立相应的函数方程或不等式，将问题转化为求相应函数、方程或不等式中有关变量的取值范围。即转化为代数中求值域或最值问题的求解，或建立相应关系式转化为几何表示，根据关系式的几何意义求解。

本文通过几个简单的例子，加以解释。首先，明确解析几何中产生范围的因素主要有两个方向面：一是当直线与曲线相交时，消元后得到的一元二次方程的判别式大于零。二是圆锥曲线上点坐标所具有的范围。这个范围往往隐含在已知条件中，而恰恰是这个范围决定了所要解决的目标的范围问题。下列通过实例介绍解决这两类问题的方法。

一、利用消元后的一元二次方程的判别式大于零

例1：直线Y=kx+1与双曲线。X2-y2=1的左支交于A、B两点。另一条直线L过点（-2，0）和AB中点，则直线l在y轴上的截距b的取值范围为。

满分解答：由方程组y=kx+1

x2-y2=1消去y

得（1-k2）x2-2kx-2=0 ①

设A（x1，y1），B（x2，y2），由于直线y=kx+1与双曲线左支交于A、B两点，则方程①应有不大于-1的不等实根。

令f（x）=（1-k2）x2-2kx-2則Δ=（-2k）2+8（1-k2）>0

2-k1-k2<-1

（1-k2）f（-1）>0且1-k2≠0

解得-2 -11

k>1或k<-1 得1 又由一元二次方程根与函数关系，知x1+x2=2k1-k2

∴AB中点为（k1-k2，11-k2）

∴直线L的方程为y-011-k2-0=x+2k1-k2+2

即y=x+2-2k2+k+2令x=0，得

b = 2-2k2 + k + 2 = 1-（k-14）2 + 1716

（找到目标b与k的函数关系）

∵12

例2：已知抛物线C方程为y2=-4x，设过点N（1，0）的直线L斜率为k，且与抛物线C相交于点P、Q，若P、Q两点只在第二象限内运动，线段PQ的垂直平分线交X轴于点M，则M点横坐标取值范围为

解题思路：根据条件设出PQ的方程，然后利用根与系数关系确定线段PQ中点坐标，求出垂直平分线方程，从而可求范围。

解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意得PQ方程为y=k（x-1）（k≠0）与y2=-4x联立消元得ky2+4y+4k=0，y1+y2=-4k，y1y2=4∵直线L交抛物线C于两点

∴Δ=16-16k>0

y1>0

y2>0 ∴得-1 可求得线段PQ中点坐标为（-2k2+1，-2k）

∴线段PQ的垂直平分线为y+2k=-1k（x+2k2-1）

令y=0，得M点的横坐标为Xm=-2k2-1<-3

（k2>1）

∴M横坐标取值范围（-∞，-6）。

归纳：①由判别式确定变量K范围

②用K表示目标变量

二、转化为几何知识求解范围

例3：已知F1F2是椭圆的2个焦点，满足MF1·MF2=0点M总在椭圆内，求椭圆离心率范围。

解：∴MF1·MF2=0∴MF1⊥MF2

∵点M在以O为圆心、以C为半径的圆上∵点M总在椭圆内部，∵c 又∵a2=b2+c2∴a2>2c2∴0 例3：若点A（4，0）在线L与曲线（x-2）2+y2=1有公共点，求直线L斜率取值范围。

解：显然直线L斜率存在，设直线L方程为y=k（x-3）

即：kx-y-1=0∵直线L与曲线（x-2）2+y2=1有公共点

∴2k-0-3kk2+1≤1∴-33≤k≤33

（也可以转化为判别式法）

例4：已知坐标平面内定点A（-1，0），B（1，0），M（4，0），N（0，4）和动点P（x，y），若AP·BP=3求MP·NP取值范围？

满分解答：根据AP·BP=3得（x+1，y）·（x-1，y）=3即X2+y2=4

由MP·NP=x2+y2-4x-4y=（x-2）2+（y-2）2-8

∵（x-2）2+（y-2）2表示圆x2+y2=4上的点到点（2，2）距离，

这个距离的最小值是22-2，最大值为22+2

∴MP·NP的范围是4-82，4+82

三、点在曲线上确定范围

例5：双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，则PF1=2PF2，则双曲线离心率范围？

解：设PF2=m，则PF1=2m，∴m=2a

又∵P在椭圆上，且PF2≥c-a，∴2a≥c-a，1 例6：已知F1F2是椭圆x24+y2b2=1（b>0）在X轴上的两个焦点，若椭圆上存在点P，使PF1·PF2=0，求b点取值范围。

解：先证结论，若B为椭圆短轴端点

则∠F1PF2≤∠F1BF2设∠F1PF2=θ

PF1=r1，PF2=r2

cosθ = r21 + r22 -4c22r1 r2 = 4a2-4c22r1 r2 -1

又∵r1r2≤（r1+r22）2=a2

∴cosθ≥a2+b2-4c22a2=cosF1BF2

当且仅当r1=r2时等号成立，即∠F1PF2≤∠F1BF2，题中椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=90°

当且仅当∠F1BF2≥90°即cos∠F1B0≤22∴b≤22a∵a≤2

∴b≤22*2=2∴b∈（0，2]

另法：∵r1+r2=2ar12+r22=4c2

∴r1r2=2b2又2r1r2≤r12+r22

∴b2≤c2=4-b2即b∈（0，2]

例7：若点O过点F（-2，0）分别是双曲线x2a2-y2=1（a>0）中心和左焦点，点M为双曲线右支上的任意一点，求OM·FM取值范围。

思路分析：①首先，根据双曲线中心过焦点求出双曲线方程

②再将OM，FM用坐标表示出来，列出OM·FM的表达式

③根据点P的坐标范围，从而求出结果

解：∵a2=（-2）2-1=3∴双曲线方程式：x23-y2=1endprint