矩阵对角化的应用

陈飞翔

【摘 要】本文通过实例说明矩阵对角化方法在矩阵研究中的作用。

【关键词】对角化；实对称矩阵

矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象。对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。通过相似这种等价关系，对角矩阵相当于对一类矩阵在相似意义下给出的一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式，特征根，行列式等。本文主要研究矩阵对角化的几个简单应用。

1几个基本概念和基本定理

定义1[1]、设A是一个n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵，那么就说矩阵A可以对角化。

定理1[1]、 n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

定理2[1]、 n阶实对称矩阵一定可以对角化。

2矩阵对角化的应用

例1、设n阶实对称矩阵A2=A且A的秩为r，试求行列式|2E-A|的值.

解：设Ax=λx，x≠0，是对应特征值λ的特征向量，因为A2=A，则λx=Ax=A2x=λ2x，从而有（λ2-λ）x=0，因为x≠0，所以λ（λ-1）x=0，即λ=1或0，又因为A是实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵，A的秩为r，故存在可逆矩阵P，使，其中Er是r阶单位阵，从而

例2、设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=λ3=1。对应于λ1的特征向量 为P1=（0，1，1）T，求矩阵A.

解：因为A是实对称矩阵，所以A可以对角化，即A有三个线性无关的特征向量。设对应于λ2=λ3=1的特征向量为P=（x1，x2，x3）T，它应与特征向量P1正交，即，该齐次方程组的基础解系为，它们即是对应于λ2=λ3=1的特征向量。

例3、下述矩阵是否相似， 。

解：矩阵A1，A2，A3的特征值都是λ1=2 （二重），λ2=3，其中A1已是对角阵，所以只需判断A2，A3是否可对角化，先考查A2，對于特征值λ1=2，解齐次线性方程组（2E-A2）x=0得其基础解系为，由于λ1=2是A2的二重特征值，却只对应于一个特征向量，故A2不可对角化或者说A2与A1不相似。

再考查A3，对于特征值λ1=2，解齐次线性方程组（2E-A3）x=0，得基础解系，对于特征值λ2=3解齐次线性方程组，得基础解系，由于A3有三个线性无关的特征向量，所以A3可对角化，即A3与A1相似。

参考文献：

[1] 同济大学应用数学系编.线性代数[M]. 北京：高等教育出版社，2007年1月.endprint