条件极值的求解及其应用

陈飞翔

【摘 要】本文主要讨论了多元极值的求解方法及其应用。

【关键词】驻点；极值；条件极值

函数极值是有关函数的一个重要的研究课题，它对于掌握函数有着重要的作用。求条件极值是高等数学中经常遇到的一种问题，拉格朗日乘数法是一种较为普遍、简单的方法。本课题主要探讨求函数极值的方法，有关函数极值在不同情况下的求值问题，特别是当函数是一元、二元或者多元时的极值求解条件，并讨论了多元函数条件极值的几种解法，以及条件极值在生活中的应用。

一、基本概念

定义1[1]、求函数在满足函数方程组（限制条件）

二、条件极值的求解

求解步骤：（1）由拉格朗日乘数法，做辅助函数，

（2）求的稳定点，即求方程组（n+m个方程）：

（3）由问题的实际意义，如果函数存在条件极值，通常方程组又只有唯一一个稳定点，则该点必为所求的极值点。

例1、求旋转抛物面与平面

三、条件极值的应用

1.利用条件极值证明不等式

例2、证明不等式其中，

证明：设函数再求条件下的最小值

2.利用条件极值求最值

例3、将长度为l的铁丝分为三段，用此三段分别做成圆，正方形，等边三角形，问如何分法，才能使这三个图形的面积之和最小。

解；法一：取x，y，z，分别表示圆之半径，正方形的边长，等边三角形的边长，于是总面积（目标函数） （1）

从而按上述比例分割铁丝，所围的面积极小，也是最小。

无论在理论上还是在实践中，函数的极值和最值具有广泛的应用，极值和最值是数学分析的重要组成部分之一，研究求函數的极值和最值的方法具有重要意义和现实必要性。

参考文献：

[1]刘玉琏，傅沛仁等.数学分析讲义（第四版）上册[M].北京：高等教育出版社，2003