浅谈在方程（组）教学中培养初中生的化归思想

林志伟

【摘 要】掌握化归思想方法对提高学生学习数学、发展解题的能力有极大的帮助。化归方法没有固定的模式，在方程（组）教学中，教师必须着重培养学生化归意识，使他们形成化归思路，掌握化归要点，熟练运用化归思想方法解题。

【关键词】化归思想 ；方程（组）解题；方法；初中数学

数学思想方法是数学的灵魂。化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的一种方法。化归思想贯穿于整个初中数学的课堂教学中，是方程（组）教学的一个重要部分。近年来数学中考省命题的试题中，涉及“化归思想”的方程（组）题较常见，试题不仅考查学生的数学基础，而且考查了学生对问题的思维深刻性。学生失分原因较多在于变形化简能力的欠 缺，这可见教师平时在教学中对“化归思想”重视不够，渗透不足，导致学生的化归思想应用能力低下。在初中阶段，要改变学生以上现状，逐步提高其在方程（组）应用化归解题的能力，教师应从化归的角度宏观把握初中数学方程（组）的知识系统，结合学生的认知水平，制定出长期合理的计划，逐步培养学生的化归思想。

一、培养化归意识，形成化归思路

数学知识体系中，各知识点之间总是存在着联系的。新知识的学习往往可以迁移到旧知识的层面去解决，但学生这个“迁移”能力不是一蹴而就的，在教学过程中，教师要不断引导学生细心观察和分析，学会明确问题的已知和隐含条件，并联想到相关的概念、性质、定理、公式、法则、规律甚至相关类型题的解题方法。这使学生有意识地把未知转化为已知，把新知识化归为已经掌握的知识，从而找到解题的思路和方法。

例如：解方程6x+5=9x-7

引导分析：

（1）明确目标：6x+5=9x-7→x=a？

（2）化归思路：由这是一个等式，联想到利用等式的性质求解。

（3）分析差异：右端多一个9x，左端多一个5。

（4）运用等式的性质（旧知识）消除差异：两边同时减“（9x+5）”，得：-3x=-12。

让学生按以上思路进一步解题：

（1）明确目标：-3x=-12→x=a？

（2）化归思路：再次联想运用等式的性质来解决。

（3）分析差异：一次项x的系数为-3，需要化系数为1。

（4）运用等式的性质（旧知识）消除差异：两边同时除以“-3”得x=4

以上是利用等式的性质来解一元一次方程的，待学生掌握后，教师进一步引导学生观察和分析解题过程，归纳出解一元一次方程的步骤，注重解题步骤中的新旧知识迁移，以此渗透化归思想，培养化归意识。学生在一元一次方程的解题中逐步形成了化归思路，下一阶段的学习将事半功倍。

接下来方程的学习中，要善于引导学生，使其最终形成相关方程的化归思路如下：

二、掌握化归要点，提高化归技能

在学生对“化归模式”有了一定的接触和掌握后，就到了化归思想的攻坚突破阶段。在面对稍复杂的问题时，教师要求学生一是要认识到“需要转化”，即意识到需转化为一个新的较容易解决的问题；二是根据问题确定“化”的方向，即“如何转化”。按“观察——联想——化归”的要点，抓住化归的关键来解题。

例如：

解方程组

引导分析：观察题目特点，找出化归方向为“化二元为一元”，联想到前面刚学到的“用含一个字母的式子表示另一个未知数”的知识，确定运用这个刚学的知识可以实现消元化归。

解题过程：

（1）将方程①用含有一个未知数（比如y）的式子表示另一个未知数：。

（2）观察到方程②有x，于是将③代入②得到：，从而得y=-2，再把y=-2代入方程③，从而得出x的值。

在方程（组）的教学中，二元一次方程组的教学是掌握化归要点，提高化归技能的重要环节。学生在学习二元一次方程组时，先仔细观察、分析二元一次方程组的特点，弄清如何进行知识的“迁移”，明确化归方向后，再展开讨论如何将二元一次方程组“化二元为一元”， 从而找到解题关键——消元。这样一步一步地按“观察——联想——化归”的要点来解题，实践证明，大部分学生都能掌握方程（组）的化归要点，化归技能得到提高。因而也能比较容易总结出解三元一次方程组的一般思路：

。

三、加强探索应用，活用化归思维

化归思想在数学中运用十分广泛，但很多时候，学生需要抓住“观察——联想——化归”的要点，反复寻找新旧知识的切入点，来理清解题思路的。所以教师在化归思想的应用上，应引导学生多角度自主探索并加强运用，从而达到活学活用的目的。

例如：已知关于m、n的方程组

的解相同，求p、q的值。

先让学生尝试解题，再引导探索不同的解题方案：把p、q当作已知数，分别求出每个方程组的（含有p、q的代数式的）解，利用两个方程组的解相同，最后可以求出p、q的值，但这样解题运算较为繁杂。我们换一个角度思考，分析条件可知两个方程组的解相同，那么这个解一定也是不含字母p、q的两个方程的解。因此，可以考虑把方程组重新组合，先由关于m、n的方程组求出m、n的值，再将m、n的值代入关于未知数p、q的方程组求p、q的值：

解方程组

把代入方程组，得方程组 解这个方程组得

这种解题策略就是把解字母系数方程组的问题，化归为已知方程组的解，求字母系数的值，大大简化了运算。又如：已知a4+b4+2a2b2-2a2-2b2-15=0，求代数式a2+b2的值。学生刚接触此类题时，往往束手无策，望而止步。这时教师应点拨学生认真分析条件的特点，反复尝试将该方程转化为已学过的方程类型去解题。

解题策略：运用因式分解将条件变形为（a2+b2）2-2（a2+b2）-15=0。把（a2+b2）视为一个整体，设a2+b2=x，原方程就转化成了一元二次方程x2-2x-15=0，求出x即为代数式a2+b2的值。本题的解题技巧在：将条件的等式进行等价化归和变形后，再利用“整体换元”的方法将问题“转化”成为一元二次方程，从而问题得到解决。学生在教师的激励和引导下开展探究并解决问题，其思维能力的提高比灌输的效果要好得多。所以，指导学生积极探索化归方法的应用，活学活用化归思维，也是培养学生化归思想的重要一环。

由此可見，化归思想是解方程（组）的基本思想，在方程（组）教学中地位不可小觑。教师在方程（组）教学中注重培养学生的化归思想，不仅能提高学生解方程（组）的能力，也能提高应用化归思想解决其他数学问题的能力，更能教会学生以动态的视角去学习知识，达到了强化学生解决数学问题的应变能力，提高思维能力和技能、技巧的最终目的。

参考文献：

[1]孙厚康.初中数学思想方法导引[A].浙江大学出版社，2015.6

[2]施琴.浅析化归思想形成的阶段性[D].数学教师杂志编辑部，1995（2）.27-29