对一道伊朗国家队选拔考试题的推广

广州大学数学与信息科学学院 (510006)

邱际春

广州大学附属中学 (510006)

罗 芳

对一道伊朗国家队选拔考试题的推广

广州大学数学与信息科学学院 (510006)

邱际春

广州大学附属中学 (510006)

罗 芳

2009年伊朗国家队选拔考试第7题是一道组合几何试题，如下：

题目 在平面内有三个由直线构成的集合，每个集合各由11条(不同的)平行线组成．若三组平行线内各存在一条直线通过平面内的同一点，求这样的点的数目的最大值．[1]

首先，为了表述上的简洁与方便，下面先给出一个定义：

定义 若平面内有m(m≥3)组平行线，且m组平行线内各存在一条直线通过平面内的同一点，称这样的点为m阶特殊点．

接下来，将题目中的11条平行线推广到n(n∈N*)条平行线的情形，得到下面的命题1．

解析:建立一个仿射标架[O;d1,d2]，则在仿射变换σ下，这三组平行线分别平行于x=0,y=0,y=x.

不妨设第一组平行线为x=i,i=1,2,…,n，记为x型直线；第二组平行线为y=j,j=1,2,…,n，记为y型直线；第三组平行线为x-y=b,b=1,2,…,n，记为x-y型直线．

根据定义，命题1中所述的点(即三条直线均通过的点)为3阶特殊点．

接下来，考虑第一条x型直线(即x=1)和第一条y型直线(即y=1)，记P为两直线的交点．

显然，点P的左边和下边不存在3阶特殊点．

容易看出，每一条x-y型直线与这两条直线各交于一点，这些除点P之外的交点，要么在直线y=1上点P的左侧，要么在直线x=1上的点P的下侧．

因此，每一条x-y型直线至多通过一个第一条x型直线或第一条y型直线上的3阶特殊点．

若擦去第一条x型直线和第一条y型直线，则至多移走了n个3阶特殊点．

同样地，每一条x-y型直线至多通过一个第二条x型直线或第二条y型直线上的3阶特殊点．

再擦去第二条x型直线和第二条y型直线，则至多共移走了2n个3阶特殊点．

于是，对上述结论简化，可得命题1的一个等价形式，表述为：

推论1 若平面内有三个由直线构成的集合，每个集合各由n(n∈N*)条(不同的)平行线组成，则①当n=2k时，平面内最多存在3k2个3阶特殊点； ②当n=2k+1时，平面内最多存在3k2+3k+1个3阶特殊点．

下面将命题1中的3个集合初步推广到4个集合的情形可得命题2．

解析:建立一个仿射标架[O;d1,d2]，则在仿射变换σ下，这4组平行线分别平行于x=0,y=0,y=x,y=2x．

不妨设第一组平行线为x=i,i=1,2,…,n，记为x型直线；第二组平行线为y=j,j=1,2,…,n，记为y型直线；第三组平行线为x-y=b1,b1=1,2,…,n，记为x-y型直线；第四组平行线为2x-y=b2,b2=1,2,…,n，记为2x-y型直线．

根据定义，命题2中所述的点(即4条直线均通过的点)为4阶特殊点．

显然，点P的左边和下边不存在4阶特殊点．

容易看出，每一条2x-y型直线与这3条直线各交于一点，这些除点P之外的交点均在点P的左下方．

若擦去第一条x型直线、第一条y型直线和第一条x-y型直线，则至多移走了n个4阶特殊点．

同样地，再擦去第二条x型直线、第二条y型直线和第二条x-y型直线，则至多共移走了2n个4阶特殊点．

于是，问题转化为：

注意到，上述3阶特殊点的个数唯一决定了4阶特殊点的个数．

同样地，简化上述结论可得命题2的一个等价形式，表述为：

推论2 若平面内有4个由直线构成的集合，每个集合各由n(n∈N*)条(不同的)平行线组成，则①当n=22k-1或22k时，平面内最多存在3k2个3阶特殊点； ②当n=22k+1或22k+2时，平面内最多存在3k2+3k+1个3阶特殊点．

[1]2009年伊朗国家队选拔考试[J]．中等数学，2010(增刊二)．