基于发现学习理论的教学设计

郑育玲

一、教材分析

1.内容

本节课选自人教A版必修4第三章第二节，分为两个课时，本节课为第一课时.

本节课的内容为简单的三角恒等变换，即对正余弦的倍角公式以及正余弦的和差公式进行恒等变换得到半角公式以及积化和差和差化积公式.在这个推导过程过程中，促使学生思考如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，体会代数式变换和三角变换的不同之处，蕴含了“换元思想”“方程思想”的数学思想以及“只变其形不变其质”的变换思想.

2.地位与作用

（1）三角恒等变换的地位和作用。三角恒等变换是对必修四所学正余弦的倍角公式以及正余弦的和差公式的11个公式的综合应用.它不仅回顾并复习了必修四中有关三角函数的11个公式，加深了学生对这些公式的记忆、理解及应用；同时，它又渗透了“换元思想”“方程思想”的数学思想，体会三角恒等变换中“恒等”的含义，也锻炼了学生的运算能力，推理能力.

（2）半角公式的地位和作用。半角公式的推导过程可以体会学生理解“降角升幂，降幂升角”的规律，同时，获得更多的逆向产生式以及变形产生式，帮助学生在进行三角恒等变换时，将灵活地式子中的半角，倍角换成同角，从而更快地找到合适的变形方法.

（3）积化和差和差化积公式的地位和作用。积化和差和差化积公式的推导过程可以帮助学生体会换元的思想，方程的思想，也学生意识到“积”可化为“和差”，“和差”也可以转化为“积”，为学生在进行三角恒等变换时，提供更多的思路及方法.

二、学情分析

1.认知基础

学生已经掌握了两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式，并能通过这些公式进行求值、化简、证明，虽然学生已经具备了一定的观察、推理、运算能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚有欠缺，即是对有目的的选用公式并进行变换以到达变换目标的能力还需要进一步培养.

2.情感基础

高二是承上启下的一年，学生一方面已经适应了高中的学习模式，开始由以前的被动学习逐渐变为在自己的思考、理解的基础上进行学习；另一方面，由于高考的冲击，开始意识到时间的紧迫，学生的学习自觉性增强.

三、教学设计思想

根据奥苏贝尔认知同化学习理论，学习是符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立非人为的和实质性的联系.因此，本节课采用引导探究法，先进行有针对的复习，让学生回顾所学的公式，再观察已学的公式中角的特点以及三角函数名称的特点，让学生的认知结构具备适当的观念以来推演发现新的公式.

四、教学过程

1.复习回顾

活动：让学生回顾正弦、余弦、正切的两角和差公式和二倍角公式.

点评：让学生重新回忆起这十一个公式，为探究新知做准备.

2.课堂探究

活动1：教师让学生观察正弦、余弦和正切的两角和差公式，分析式子结构的异同，通过两式相加相减得到积化和差公式，并揭示其本质就是加减消元的过程，通过换元构建方程组解方程.紧接着证明和差化积公式 ，引导学生发现三角函数名称以及各个角之间的联系，通过换元法与之间展开化简之间做对比，突出换元法的优越性.

点评：教师引导学生观察积化和差公式，让学生感受其结构上的同构特点及其中反映的角的三角函数与角的三角函数间的内在联系.另外，两式之间又反映了由角建立的转换关系，这体现了数学上的对应转换即映射反演的思想方法.

活动2：引导学生发现并推导降幂扩角公式 、 、 ，并从中推导出半角公式 、 、 ， 与 是什么关系？开方之后有正负，正负号该如何取舍呢？

点评：学生在熟练掌握倍角公式的基础上，理解角的倍、半间的相对性，采用小步子教学方式，引导学生将倍角公式进行多种形式的转换，学生更深刻第理解和掌握倍角公式，提高公式变换能力，培养运用方程思想、换元思想解决数学问题的能力.

3.巩固提高

活动1：证明 .一方面教师引导学生从等式左边出发，从左到右，扩角，利用降幂扩角公式.另一方面，教师引导学生从等式右边出发，从右到左，缩角，利用缩角升幂公式.

点评：考察学生对倍角公式的的理解掌握程度，及时巩固.

活动2：证明和差化积的另外三个等式 、 和 ，学生自主探究，教师根据巡视情况指定具有典型思路的学生上黑板板书.教师进行点评，总结解题方法.

点评：变式训练，课堂检验学生的听课效果，教师针对学生出现的问题及时调整教学计划，完善教学过程.在学生经历三角函数恒等变换的体会之后，教师总结出三角恒等变换的一般方法，可帮助学生理清思路，更好地着手解决三角恒等变换问题.

4.课堂小结

活动：通过举出合适的例子，说明代数式恒等变换与三角恒等变换的区别.并总结简单的三角恒等变换的一般方法，应注意三角函数种类和式子结构特点的变化，分析透彻.找到他们之间的联系，即学会“三看”——看角、看函数名称、看式子结构.

5.点评：复习简单的三角函数恒等变换“三看”原则及数学思想方法，使学生整体上把握该知识点.

參考文献：

[1]教学设计[M]. 高等教育出版社 ， 张祖忻， 2011 .